概率论与数理统计第2章随机变量及其分布.ppt

1、第2章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,2.2 离散型随机变量,2.3 连续型随机变量,2.4 随机变量函数的分布,我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也可以是非数量性质的，概率论是从数量的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题为此，需要将样本空间的样本点与实数联系起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是随机变量 本章首先引入随机变量的概念，介绍一些常用的随机变量，最后讨论随机变量函数的分布,第2章 随机变量及其分布,【工作效率问题】 某工厂有80台同类型设备，各台工作是相

2、互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一人处理为了提高设备维修的效率，节省人力资源，考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台 试比较两种配备维修工人方法的工作效率，即比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小,第2章 随机变量及其分布,2.1.1 随机变量概念 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，也可以用非数量表示 在研究随机试验的结果时，可能关心的不是样本空间的各个样本点本身，而是对于与样本点联系着的某个数感兴趣.,2.1 随机变量,第2章 随机变量及其分布,【例2-1】有朋自远方来，他可能乘船，乘火车

3、，或者乘飞机，记1 = 乘船，2 = 乘火车，3 = 乘飞机，这就是以 = 1，2，3为样本空间的随机试验. 现考虑该客人的旅费，假定乘船，火车与乘飞机的单价分别为100，200，300元，则所需旅费就是如下实值函数 X=X()是定义在上，随试验结果而变化的变量.,2.1.1 随机变量的概念,实例2 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,X() 的所有可能取值为:,实例1 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,X() 的所有可能取值为:,2.1.1 随机变量的概念,实例3 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的

4、时刻是随机的,X() 的所有可 能取值为:,2.1.1 随机变量的概念,定义2.1 设随机试验的样本空间为 = ，X=X()是定义在样本空间上的实值单值函数，称X = X()为随机变量,随机变量所取的值一般采用小写字母x,y,z等.,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母,等表示,2.1.1 随机变量的概念,说明 (1) 随机变量与普通的函数不同； (2) 随机变量是一个实值单值函数， (3) 随机变量的取值具有一定的概率规律.,2.1.1 随机变量的概念,引入随机变量后，我们很容易用随机变量的关系式 表示随机事件和随机事件发生的概率 例如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，

5、它是一个随机变量. 收到不少于1次呼叫 X 1 没有收到呼叫 X= 0 再例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高. 把身高看作随机变量X, 可以提出关于X的各种问题. 如 PX1.7=？ PX1.5=? P1.5X1.7=? .,2.1.1 随机变量的概念,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,2.1.1 随机变量的概念,2.1.2 随机变量的分布函数 为了计算与随机变量X有关事件的概率，下面引入随机变量的分布函数的概念 定义2.2

6、设X是一个随机变量，对任意实数x，称事件X x发生的概率 为随机变量X的分布函数，且称X服从F(x)，记为XF(x),由分布函数的定义易知,对任意实数a, b (a b),有 可见，若已知X的分布函数F(x)，那么，计算X 落如某个区间的概率就非常方便了 由于分布函数是一个普通的函数，通过它我们可以方便地利用数学方法来研究随机变量,2.1.2 随机变量的分布函数,分布函数F(x)具有以下三条基本性质： (1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(，+)上的单调非减函数，即对任意的x1 x2，有 F(x1) F(x2)； (2) 有界性：对任意的，有0 F(x) 1，且 (3) 右连续性：F(x

7、)是x的右连续函数，即对任意的x0，有,2.1.2 随机变量的分布函数,还可以证明,满足这三个基本性质的函数一定是某个随机变量的分布函数从而这三个基本性质成为判别某个函数是否能成为分布函数的充要条件,2.1.2 随机变量的分布函数,【例2.2】向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数，并求 解：事件X x表示所抛一点落在半径为x （0 x r）的圆内 若x0，X x为不可能事件, 则F(x)=PXx=0； 若xr，X x为必然事件，F(x) = PX x =1； 若0 x r，由几何概型知,2.1.2 随机变量的分布函数,若x0，X x为不可能事件, 则F(x)=PXx=0；

8、 若xr，X x为必然事件，F(x) = PX x =1； 若0 x r，由几何概型知 从而X的分布函数为 且,2.1.2 随机变量的分布函数,【例2.3】证明 是一个分布函数 证：显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且 因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布函数 该函数称为柯西分布函数,2.1.2 随机变量的分布函数,随机变量的分类,离散型,(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量.,随机变量 X为掷一个骰子出现的点数.,X 的可能值是 :,随机变量,连续型,实例1,1, 2, 3, 4, 5, 6.,非离散型,其它,实例2

9、随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”.,则 X 的取值范围为 (a, b) .,实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.,(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量.,则 X 的取值范围为,2.2 离散型随机变量 2.2.1 离散型随机变量及其分布律 有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量 如掷骰子朝上一面的点数，一昼夜110接到的呼叫次数等均为离散型随机变量,第2章 随机变量及其分布,定义2.3 设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x2，xn，则称X取xi的概率PX = xi =

10、pi，i = 1，2，为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数,X的分布律也可用如下的表格形式来表示：,2.2.1 离散型随机变量及其分布律,显然分布律应具有如下性质： (1) 非负性：pi 0，i = 1，2， (2) 归一性： 上述两条性质是分布律必须具有的性质，也是判别某个数列能否成为某个离散型随机变量的分布律的充要条件 根据分布函数的定义，易知离散型随机变量X的分布函数为： （ x ）,2.2.1 离散型随机变量及其分布律,【例2.5】设离散型随机变量X的分布律为 X -123 pi 1/41/21/4 试求 ， ，并写出X的分布函数. 解：,2.2.1 离散型随机变量及其分布律

11、,X的分布函数为 的图形呈阶梯形右连续，如图所示，在X的可能取值-1，2，3处有跳跃点，其跃度分别为1/4，1/2，1/4,2.2.1 离散型随机变量及其分布律,2.2.2 常用离散分布 1. 0-1分布 如果随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 则称X服从0-1分布或两点分布0-1分布的分布律也可写成,(其中 0p1),对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个样本点1、2，我们总能在上定义一个服从0-1分布的随机变量 来描述这个随机试验的结果,2.2.2 常用离散型分布,实例1 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服

12、从(0 1)分布.,2.2.2 常用离散型分布,实例2 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (01) 分布.,2.2.2 常用离散型分布,0-1分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,2. 二项分布 在上一章介绍的n重伯努利试验中我们已经知道，若事件A在每次试验中发生的概率为P(A) = p，(0 p 1)，则n次试验中事件A发生k次的概率为 pk = , k = 0，1，n 定义2.5 如果随机变量X的分布律是 ，k = 0，1，n 则称X服从二项分布，记为X B(n，

13、p),2.2.2 常用离散型分布,2.2.2 常用离散型分布,注意: 伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： (1) 每次试验条件相同； (2) 每次试验只考虑两个互逆结果A或 ，P(A)=p ， (3) 各次试验相互独立.,二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.,2.2.2 常用离散型分布,显然，B(1，p)就是0-1分布，实际上二项分布是n重伯努利试验的概率模型 二项分布是一种常用的离散分布， 例如 “产品抽样检验中次品数”； “在相同条件下独立重复射击的射中次数”； 等等都服从二项分布.,2.2.2 常用离散型分布,分析：元件的总数很大, 抽查元件

14、的数量相对很小, 可近似当作放回抽样来处理.,2.2.2 常用离散型分布,【补充例】,解,2.2.2 常用离散型分布,图示概率分布,2.2.2 常用离散型分布,【例2.6】设XB(2，p)，YB(3，p)，若PX 1 = 5/9，试求PY 1 解：由PX 1 = 5/9，知PX = 0 = 4/9， 所以(1 p)2 = 4/9， 由此得p = 1/3 再由YB(3，p)，可得 PY 1 = 1 PY = 0 = 1 (1 1/3)3 = 19/27,2.2.2 常用离散型分布,3. 泊松分布 泊松分布是概率论中又一种重要的离散分布，它在理论和实践中都有广泛的应用 定义2.6 如果随机变量X的

15、分布律为 0为参数， ，则称X服从泊松分布，记为X P(),2.2.2 常用离散型分布,【例2.7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率 解：以X表示铸件的砂眼数，由题意知XP(0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为 至少有2个砂眼的概率为 PX 2 = 1 PX 1 = 0.09,2.2.2 常用离散型分布,在二项分布B(n，p)的概率计算中，往往计算量很大，利用下面的泊松定理近似计算，可以大大减少计算量下面不加证明地给出泊松定理 定理2.1（泊松定理）设 0是一个常数，n是任意正整数，设np = （p

16、与n有关），则对于任一非负整数k，有,2.2.2 常用离散型分布,定理的条件np = （常数）意味着当n很大时p必定很小因此，当n很大p很小，有下面近似计算公式 该公式说明，在对二项分布B(n，p)计算概率时，如果n很大p很小，可以由参数为 = np的泊松分布的概率值来近似,2.2.2 常用离散型分布,Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,泊松资料,泊松定理于1837年由法国数学家泊松引入！,下面给出一个利用泊松分布作近似计

17、算的例子,2.2.2 常用离散型分布,【例2.8】已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率为多少？ 解：设该单位患有这种疾病的人数为X，则有XB(5000，0.001)，则所求概率为 取 = np = 5，用泊松分布近似计算并查附表1得,2.2.2 常用离散型分布,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等. 由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.一定时期内出现的稀有事件个数，都以泊松分布为其概率模型另外，服务系统中对服务的呼叫数，大量产品的缺陷数，等等都以泊

18、松分布为其概率模型因为上述例子本来就是n大p小的二项分布,2.2.2 常用离散型分布,为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解:,2.2.2 常用离散型分布,课堂练习,由泊松定理得,故有,2.2.2 常用离散型分布,解:,【实验2.1】用Excel计算例2.8中的概率 实验准备： 函数BINOMDIST的使用格式：

19、BINOMDIST(number_s, trials, probability_s, cumulative),功能：返回二项式分布的概率值number_s为试验成功的次数，trials为独立试验的总次数，probability_s为每次试验中成功的概率，Cumulative为一逻辑值，用于确定函数的形式,如果cumulative为TRUE，函数BINOMDIST返回累积概率（即分布函数值）；如果为FALSE，返回概率函数值，即number_s次成功的概率,实验步骤： (1) 在单元格B2中输入n值：5000 (2) 在单元格B3中输入p值：0.001 (3) 在单元格B4中输入公式：= BIN

20、OMDIST(5, B2, B3, TRUE) 计算例2-8中的概率,【实验2.2】用Excel验证二项分布与泊松分布的关系 实验准备： 函数POISSON的使用格式：POISSON(x, mean, cumulative) 功能：返回泊松分布的概率值其中x为事件数，mean为期望值，cumulative为一逻辑值，确定所返回的概率形式如果cumulative为TRUE，函数POISSON返回泊松累积概率；如果为FALSE，则返回泊松概率函数值,实验步骤： (1) 在Excel中输入参数： 在单元格B2中输入n值：10 在单元格D2中输入值：4 在单元格F2中输入p值公式：=D2/B2 如图2

21、.3(a)所示,图2.3 计算二项分布与泊松分布的概率值,(2) 在单元格B4中输入计算二项分布B(n，p)的公式： = BINOMDIST(A4, B$2, F$2, FALSE) 并将公式复制到单元格区域B5:B16中； (3) 在单元格C4中输入计算泊松分布P()的公式： = POISSON(A4, D$2, FALSE) 并将公式复制到单元格区域C5:C16中，计算结果如图2.3(b)所示,(4)作折线图:选中单元格区域B4:C16，单击“图表向导”按钮，打开“图表向导”对话框在“图表类型”中选择“折线图”，直接单击“完成”按钮，即可得到概率分布的折线图，如图2.4所示 图2-4 折线

22、图,(5) 修改单元格B2中的n值为20、50、140，可以看到二项分布的图形逐渐逼近泊松分布的图形，如图2.5所示 图2-5 二项分布逐渐逼近泊松分布,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,2.3 连续型随机变量 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度 通俗的讲,连续型随机变量就是取值可以值可以连续地充满某个区间的随机变量. 定义2.4 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有 (2.2)

23、则称X为连续型随机变量其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数,第2章 随机变量及其分布,设离散型随机变量X在a, b内取n个值: x1=a, x2, x3, x4, ,xn=b,X,折线下面积之和！,画X的概率 直方图：,定义的引出,即小矩形的面积为取对应点的概率,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,若X为连续型随机变量，由于X在a, b内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线,而且：,由此推出连续 型随机变量 的定义,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,再看连续型随机变量的定义: 定义2.4 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对

24、于任意实数x有 (2.2) 则称X为连续型随机变量其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数 从(2.2)式可以看出，连续型随机变量的分布函数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有 (2.3),2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,概率密度函数的性质,这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量X的概率 密度函数的充要条件.,(3) X落入区间a,b内的概率,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即,连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关,由此可得,这是因为,2.3.1 连

25、续型随机变量及其概率密度,密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.,1,问题：f (a)是=a的概率吗？,不是!,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,如果为连续型随机变量，虽然PX=a=0，但 X=a 并非不可能事件.,可见，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=,问题：概率为零的事件一定是不可能事件吗？,类似可知，,不一定！,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,【例2-9】设随机变量X的概率密度为 试求：(1) 系数A；(2) X落在(1/2，1/2)内的概率； (3) X的分布函数F(x

26、) 解：(1) 由概率密度的归一性知 所以,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,(2) (3) 因为,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,故X的分布函数为,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,解:,【补充例】,得,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,【例2.10】设随机变量X的概率密度为 现对X进行n次独立重复观测，以Y表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y的分布律 解：事件“观测值不大于0.1”，即事件X 0.1的概率 由题意Y服从B(n，0.01)，于是Y的分布律为,2.3.1 连续型随机

27、变量及其概率密度,【例2.11】设随机变量X的分布为 求： (1) 系数A和B； (2) X落在(1，1)内的概率； (3) X的概率密度 解：(1) 由于 可知 解得,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,于是,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度,2.3.2 常用连续分布 1. 均匀分布 定义2.8 如果连续型随机变量X具有概率密度 (2.4) 则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为XU(a，b),2.3 连续型随机变量,均匀分布的意义,事实上，若X U(a, b)，则对于满足,的c,d, 总有,2.3.2 常用连续分布,均匀分布的分布函数为： f(x)和F(x)的图形见图2-6

28、图2-6 均匀分布的概率密度与分布函数,2.3.2 常用连续分布,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。,再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为候车时间服从区间(0，a)上的均匀分布 ,2.3.2 常用连续分布,解 设X表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且,【补充例】 （等待时间）公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率.,所求概

29、率为,X的概率密度为,2.3.2 常用连续分布,【例2.12】设随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率 解：因为随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，所以X的概率密度为 事件“对X的观测值大于3”的概率为,2.3.2 常用连续分布,设Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数， 则 于是,2.3.2 常用连续分布,2. 指数分布 定义2.9 如果随机变量X概率密度为 (2.6) 则称X服从参数为 的指数分布，记为XExp( ) 指数分布的分布函数为 (2.7),2.3.2 常用连续分布,指数分布的概率密度与分布函数的图形如下图所示 图2-7

30、指数分布的概率密度与分布函数,2.3.2 常用连续分布,因为指数分布只可能取非负实数，所以它被用作各种“寿命”分布的近似分布，例如电子元器件的寿命，随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布指数分布在可靠性理论与排队论中有着广泛的应用,2.3.2 常用连续分布,下面给出指数分布的一个有趣性质 定理2.2（指数分布的无记忆性） 设 ，则对任意 s 0,t 0 ，有 证：因为XExp()，所以PXs=1-F(s)=es/， 于是,2.3.2 常用连续分布,【例2.13】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位：分钟）服从 = 3的指数分布如果有一顾客恰好在你前头走到空闲的取款机，求(1) 该顾

31、客至少等候3分钟的概率；(2) 该顾客等候时间在3分钟至6分钟之间的概率 如果该顾客到达取款机时，正有一名顾客使用着取款机，上述概率又是多少？,2.3.2 常用连续分布,解：以X表示该顾客前面这位顾客所用服务时间，F(x)为X的分布函数，由(2.7)，所求概率 (1) (2) 如果该顾客到达时取款机正在为一名顾客服务，同时没有其他人在排队等候，那么由指数分布的无记忆性，取款机还需要花在你前面顾客身上的服务时间，与他刚到取款机相同，从而问题的答案不变,2.3.2 常用连续分布,3.正态分布 定义2.10 如果随机变量X的概率密度为 (2.9) 其中， ( 0)为参数，则称X服从参数为， 的正态分

32、布（又称为高斯分布），记为 ,Carl Friedrich Gauss Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany),2.3.2 常用连续分布,显然 f(x)0 ，下面来证明 若令 ， 得到 记 ，则有 ， 利用极坐标计算二重积分,2.3.2 常用连续分布,而 ，故有 即 ，于是 可见(2.9)中的f(x)满足概率密度的两个基本性质,2.3.2 常用连续分布,正态分布的分布函数为 (2.10) f(x)

33、和F(x)的图形如图2-8 图2-8 正态分布的概率密度和分布函数,2.3.2 常用连续分布,2.3.2 常用连续分布,正态概率密度函数的几何特征,2.3.2 常用连续分布,2.3.2 常用连续分布,2.3.2 常用连续分布,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,2.3.2 常用连续分布,特别，当时称X服从标准正态分布，记作XN(0，1)，其概率密度和分布函数分别用 (x)和(x)表示，即,2.3.2 常用连续分布,标准正态分布的概率密度如图2-11所

34、示易知 (x) = 1 (x) 图2-11 标准正态分布的概率密度 附表2对给出了 (x)的值，可供查用,2.3.2 常用连续分布,【例2.14】设XN(0，1)，利用附表2，求下列事件的概率： (1) PX 1.52 = (1.52) = 0.9357 (2) PX 1.52 = 1 (1.52) = 0.0643 (3) P| X | 1.52 = (1.52) ( 1.52) = 2 (1.52) 1 = 0.8714,2.3.2 常用连续分布,某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7

35、:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,2.3.2 常用连续分布,课堂练习,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,2.3.2 常用连续分布,在实际中，有些随机变量往往不能直接观测到，而它却是某个能直接观测到的随机变量的函数，在这一节中，我们将讨论如何由已知

36、的随机变量X的概率分布去求它的函数Y = g(X)，（g(.)是已知的连续函数）的概率分布,2.4 随机变量函数的分布,第2章 随机变量及其分布,2.4.1 离散型随机变量函数的分布 设X是离散型随机变量，X的分布律为 X x1x2xn pip1p2pn 则Y = g(X)也是一个离散型随机变量， 此时Y的分布律为 Y=g(X)g(x1)g(x2)g(xn) pip1p2pn 当中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,【例2.15】已知随机变量的分布律为 X 2 1012 pi0.20.10.10.30.3 求Y = X 2 +

37、 X，Z = X 2 + 1的分布律 解：由X的分布律可得如下表格 pi0.20.10.10.30.3 X 2 1 0 1 2 X2 + X 2 0 0 2 6 X2 + 1 5 2 1 2 5 由此表格，得Y，Z的分布律分别为,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,解：由X的分布律可得如下表格 pi 0.2 0.10.10.30.3 X 2 1 0 1 2 X2 + X 2 0 0 2 6 X2 + 1 5 2 1 2 5 由此表格，得Y，Z的分布律分别为,0.3,0.5,0.2,0.5,0.4,0.1,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,2.4.2 连续型随机变量函数的分布 求连续型随机

38、变量的函数的概率密度主要有两种方法，即分布函数法和公式法 1. 分布函数法 设连续型随机变量X的概率密度为fX(x)， 求X的函数Y = g(X)的概率密度fY(y)方法如下: (1) 先求其分布函数： FY(y) = PY y = Pg(X) y (2) 在上式两端对y求导，即可求出概率密度fY(y),2.4.2 连续型随机变量函数的分布,【例2.16】设XN(0，1)，求Y = | X |的概率密度 解： 1) 当y 0时， 是不可能事件，所以 2) 当y 0时， 则 由1)与2)得到,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,【例2.17】设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度 解：

39、分别记X，Y的分布函数为 ， 先求Y的分布函数，由于 故当时 ， ； 当y0 时有 将 关于y求导数，得Y的概率密度为,，,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,用分布函数法,可以证明下述正态分布的重要性质: 定理2.3 设 ，则 (1) Y = aX + b N (a + b，(a)2)， 其中a（ 0），b为常数； (2) 证：(1) 分别记Y的分布函数及概率密度为FY(y)和fY(y)，则由分布函数的定义知 若a 0，则有,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,若a 0，则有 将上面两式分别对y求导得 故Y = aX + b N(a + b，(a)2),2.4.2 连续型随机变量函数的分

40、布,通常称 为对X进行的标准化变换 由定理2.3，若 ，则X的分布函数可写成： 这样，利用(x)的函数表就能求出一般正态分布变量落在任意区间中的概率了 即有：,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,【例2.18】设XN(108，9), 试求P102X 117 解：,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,也可以这样计算： 若 ,则由的函数表可以得到 正态随机变量的值几乎完全落在了区间( 3， + 3)，这就是人们所说的“3法则”,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,【实验2.3】用Excel计算例2-18中概率 实验准备： 函数NORMDIST的使用格式：NORMDIST(x, mean, s

41、tandard_dev, cumulative) 功能：返回指定均值和标准差的正态分布函数值其中x为给定实数；mean为分布的均值；standard_dev为分布的标准差；cumulative为一逻辑值，指明函数的形式如果cumulative为TRUE，函数NORMDIST返回累积函数值（即分布函数值）；如果为FALSE，返回概率密度值,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,实验步骤： (1)在单元格B2中输入计算PX 102的公式： = NORMDIST(102, 108, 3, TRUE) (2) 在单元格B3中输入计算PX 117的公式： = NORMDIST(117, 108, 3, TRUE) (3) 在单元格B4中输入计算P102 X 117的公式：=B3-B2 即得计算结果：P102 X 117 = 0.9759,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,图2-12 计算例2-18中的概率,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,2. 公式法 上面介绍的分布函数法是求随机变量函数Y = g(X)的分布的主要方法，它适用范围广泛，对g(x)为单调函数与