高等数学教学课件：v-11-7-2008

1、第七节 傅里叶级数,一、引 言 二、三角级数 三角函数系的正交性 三、将周期函数展成傅里叶级数,Fourier Series,傅里叶 ( J.-B.-J. Fourier,1768- 1830) 法国数学家，法国科学院院士。其著作 热的解析理论被誉为数学史一部经典性的 文献。研究方向为热传导理论和数学物理学。 名人名言: 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。 -傅里叶 * 人们发现，调和分析，也即傅里叶分析，几乎对数学和自然科学的每一个领域都是极为重要的。 * 数学中的每项新成就都未必会有傅里叶分析那样强烈的影响 -1981年美国国家委员会报告 见美国数学的现在和未来,复旦大学出版社,198

2、6,幂函数系,简单”：只有加、减和乘运算，容易计算,非正弦周期函数:矩形波,不同频率正弦波逐个叠加,一、问题的提出,周期函数,最简单的周期函数：正弦与余弦函数,简单”：工程技术中容易实现,基本问题,谐波分析,二、三角级数 三角函数系的正交性,1.三角级数,谐波分析,三角级数,2.三角函数系的正交性,三角函数系,此性质称为三角函数系在 的正交性,正交即垂直. 注：空间直角坐标系中，向量,则,三、函数展开成傅里叶级数,问题,1.若能展开, 是什么,2.展开的条件是什么,1.傅里叶系数,傅里叶系数,傅里叶级数,问题,2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理,注意: 函数展开成傅里叶级数的

3、条件比展开 成幂级数的条件低的多,解,所给函数满足狄利克雷充分条件,和函数图象为,所求函数的傅里叶展开式为,注意,对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数,作法,解,所给函数满足狄利克雷充分条件,延拓的周期函数的傅里叶级数展开式在 收敛于 ，图形为,所求函数的傅里叶级数为,利用傅氏展开式求级数的和,播放,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,思考题,思考题解答,作 业 P303: 1(1)(3), 2, 3,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分

4、 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系

5、数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期函数的 傅氏展开式,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念,2.傅里叶系数,3.狄利克雷充分 条件,4.非周期