高等代数机算讲稿

1、.1 矩阵的基本运算1. 矩阵赋值方法；2. 矩阵加法、数乘、转置和乘法运算；3. 矩阵幂运算及逆运算；4. 矩阵元素群运算；5. 演算矩阵的运算规则。例1.1 用MATLAB软件生成以下矩阵：（1）（2）（3）（4）解：（1）在MATLAB命令窗口输入：A=9,3,2;6,5,6;6,6,0 或：A=9 3 2;6 5 6;6 6 0 或：A=9 3 2 6 5 6 6 6 0结果都为：A = 9 3 2 6 5 6 6 6 0（2）输入：B=eye(3) 结果为：B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1（3）输入：C = zeros(2)结果为：C = 0 0 0 0（4）输入：D =

2、ones(4)结果为：D = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1例1.2 随机生成两个3阶方阵A和B，分别计算：（1）AB；（2）AB；（3）5A；（4）AB；（5）解：输入：A=round(rand(3)*10) B=round(rand(3)*10)结果为：A = 10 2 3 5 10 9 9 3 7B = 1 2 3 0 3 5 9 7 1（1）输入：AB结果为：ans = 11 4 6 5 13 1418 10 8其中“ans”表示这次运算的结果。（2）输入：AB结果为：ans = 9 0 0 5 7 4 0 -4 6（3）输入：5*A结果为：ans =

3、50 10 15 25 50 45 45 15 35（4）输入：A*B结果为：ans = 37 47 43 86 103 74 72 76 49（5）输入A结果为ans = 10 5 9 2 10 3 3 9 7例1.3 已知矩阵，分别计算：（1）；（2）解：输入：A=1,2,3;0,1,0;2,1,7结果为：A = 1 2 3 0 1 0 2 1 7（1）输入：A5结果为：ans = 3409 2698 11715 0 1 0 7810 6177 26839（2）输入：inv(A)或输入A-1结果都为：ans = 7 -11 -3 0 1 0-2 3 1例1.4已知矩阵，且满足，计算矩阵和。

4、解：方法一：利用求逆矩阵的方法，输入：A=6,9,5;0,5,2;2,9,1B=6,6,2;1,0,4;2,8,1P=B*inv(A)Q=inv(A)*B方法二：利用MATLAB软件特有的矩阵“左除”和“右除”运算，输入：A=6,9,5;0,5,2;2,9,1B=6,6,2;1,0,4;2,8,1P=B/A % 矩阵右除Q=AB % 矩阵左除两种方法的运算结果都为：A = 6 9 5 0 5 2 2 9 1B = 6 6 2 1 0 4 2 8 1P = 0.8043 -1.3043 0.5870 0.5761 1.1739 -1.2283 0.0435 -0.0435 0.8696Q = 0

5、.6087 1.4565 -1.2065 0.0435 0.7826 0.2174 0.3913 -1.9565 1.4565例1.5 已知矩阵，分别按以下要求进行矩阵元素的群运算：（1）把矩阵A和矩阵B所有对应元素相乘，得到9个乘积，计算由这9个数所构成的同形矩阵C。（2）对矩阵A中的所有元素进行平方运算，得到矩阵D，求该矩阵。解：Matlab软件提供了矩阵元素群运算的功能，输入：A=5,0,3;6,2,0;7,0,1B=2,1,3;3,0,6;4,5,-2结果为：A = 5 0 3 6 2 0 7 0 1B = 2 1 3 3 0 6 4 5 -2（1）输入：C=A.*B 结果为：C =

6、10 0 9 18 0 0 28 0 -2（2）输入：D=A.2 结果为：D = 25 0 9 36 4 0 49 0 1例1.6 生成符号矩阵，.解 可用命令A= sym（a b c;b c a;c a b ）或syms a b c A = a b c;b c a;c a bB=sym(1 2 3;3 sqrt(2) 0;2 -1 1/3)命令来实现，其中sqrt为平方根函数.结果如下：A = a, b, c b, c, a c, a, bB = 1, 2, 3 3, sqrt(2), 0 2, -1, 1/32 行列式与方程组的求解1. 求行列式的命令；2. 求矩阵秩的命令；3. 求矩阵的

7、最简行矩阵的命令；4. 满秩线性方程组的各种方法；5. 符号变量的应用；6. 验证与行列式相关的公式和定理。例2.1 已知非齐次线性方程组：，要求用下列方法求解该方程组。（1）求逆矩阵法；（2）矩阵左除法；（3）初等行变换；（4）克莱姆法则。 解：（1）把非齐次线性方程组写为矩阵形式：，则，直接在MATLAB的命令窗口输入： A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10; b=80;59;90;22;85; x=inv(A)*b %或：x=A-1*b计算结果为：x = 9.0000 3.0000 2.0000 1.0

8、000 2.0000（2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律，Matlab软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算，针对方程组的矩阵形式，可用左除法等式两端同时左除A，得到：“”，即针对矩阵方程，可用右除法，等式两端同时右除A，即在MATLAB命令窗口中输入： A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10; b=80;59;90;22;85; x=Ab % 符号“”即为左除运算，注意它的方向。结果为：x = 9.0000 3.0000 2.0000 1.00002.0000（3）用初等行变换，把方程组的增广矩阵变换为最简行阶梯形式，

9、从而得到方程组的解。在MATLAB命令窗口中输入：A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10; b=80;59;90;22;85; U=rref(A,b)运算结果为：U = 1 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2（4）根据克莱姆法则，有：，其中是方程组的系数行列式，是用常数列向量b代替系数行列式的第i列所得到的行列式。用Matlab的M文件编辑器，编写la01.m文件如下：% 用克莱姆法则求解方程组clear % 清除变量n=input

10、(方程个数n) % 请用户输入方程个数A=input(系数矩阵A=) % 请用户输入方程组的系数矩阵b=input(常数列向量b=) % 请用户输入常数列向量if (size(A)=n,n) | (size(b)=n,1) % 判断矩阵A和向量b输入格式是否正确disp(输入不正确,要求A是n阶方阵，b是n维列向量) % disp：显示字符串elseif det(A)=0 % 判断系数行列式是否为零 disp(系数行列式为零，不能用克莱姆法则解此方程。)else for i=1:n % 计算x1,x2,.xn B=A; % 构造与A相等的矩阵B B(:,i)=b; % 用列向量b替代矩阵B中的

11、第i列 x(i)=det(B)/det(A); % 根据克莱姆法则计算x1,x2,.xn end x=x % 以列向量形式显示方程组的解end在MATLAB命令窗口中输入：la01得到以下人机对话结果：方程个数n5n = 5系数矩阵A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10A = 6 2 3 4 5 2 -3 7 10 13 3 5 11 -16 21 2 -7 7 7 2 7 3 -5 3 10常数列向量b=80;59;90;22;85b = 80 59 90 22 85x = 9 3 2 1 2例2.2求矩阵的

12、逆，要求用以下方法：（1）矩阵左除和右除运算；（2）初等行变换；（3）利用伴随矩阵求逆的公式。解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la02.m：% 逆矩阵各种求法：clearA=-7,-2,-6,4,6;1,3,-6,3,11;3,-11,9,5,-2;-3,0,-2,9,-3;7,30,-18,11,4;% 1.命令法：An1=inv(A)% 2.幂运算法：An2=A-1% 3.右除法：An3=eye(5)/A % eye(5)为5阶单位矩阵% 4.左除法：An4=Aeye(5)% 5.初等行变换法：B=rref(A,eye(5); % 对矩阵A , I 进行初等行变换% B为矩阵A

13、的最简行阶梯矩阵if(rank(B(:,1:5)=5) % 判断最简行阶梯矩阵B的前5列是否为单位阵An5=B(:,6:10) % 取出矩阵的后5列，并显示elsedisp(A不可逆);end% 6.伴随矩阵求逆法：for i=1:5 % 构造伴随矩阵的55个元素 for j=1:5 T=A; % 把矩阵A赋给矩阵T T(i,:)=; % 删去矩阵T的第i行 T(:,j)=; % 删去矩阵T的第j列 % 此时，|T| 为矩阵A元素aij的余子式 AA(j,i)=(-1)(i+j)*det(T); % 算出aij的代数余子式% 并放入矩阵AA的第j行、第i列% 当循环结束，矩阵AA即为A的伴随矩

14、阵 endendif det(A)=0An6=AA/det(A)elsedisp(A不可逆);end运算程序la02，前四个方法计算结果相同： 1.0e+004 * -1.5895 1.3448 -1.0646 1.6206 -0.6308 1.6298 -1.3789 1.0916 -1.6617 0.6468 2.5392 -2.1483 1.7007 -2.5889 1.0077 0.3631 -0.3072 0.2432 -0.3702 0.1441 0.9860 -0.8342 0.6604 -1.0053 0.3913后两个方法计算结果相同： -15895 13448 -10646

15、 16206 -6308 16298 -13789 10916 -16617 6468 25392 -21483 17007 -25889 10077 3631 -3072 2432 -3702 1441 9860 -8342 6604 -10053 3913从计算结果可以发现，前四个方法得到的是实数矩阵，而后两个方法得到的是整数矩阵。如果在Matlab环境下，键入：format long然后再重新运行该程序，会发现前四个方法的运算结果存在误差，这是计算机做数值运算时，存在舍入误差的原因。为了进一步观察计算机做数值运算所产生的误差，现在用上述六种方法来计算矩阵的逆，A=1,2,3;10,10,

16、10;11,12,13前四种方法得到以下类似结果：Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.135044e-018.ans = 1.0e+015 * -4.5036 -4.5036 4.5036 9.0072 9.0072 -9.0072 -4.5036 -4.5036 4.5036显然此结果是不正确的，因为A不可逆。例2.3 解方程：。解：Matlab软件定义了“符号变量”的概念。在MATLAB的M文件编辑器中，应用“符号变量”编写程序la03.m：%

17、求解符号行列式方程clear all % 清除各种变量syms x % 定义x为符号变量A=3,2,1,1;3,2,2-x2,1;5,1,3,2;7-x2,1,3,2 % 给矩阵A赋值D=det(A) % 计算含符号变量矩阵A的行列式Df=factor(D) % 对行列式D进行因式分解 % 从因式分解的结果，可以看出方程的解X=solve(D) % 求方程“D0”的解在MATLAB的命令窗口输入：la03运行结果为：A = 3, 2, 1, 1 3, 2, 2-x2, 1 5, 1, 3, 2 7-x2, 1, 3, 2D =-6+9*x2-3*x4f =-3*(x-1)*(x+1)*(x2-

18、2)X = 1 -1 2(1/2) -2(1/2)例2.4 请用Matlab软件验证行列式按行（列）展开公式：解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la04.m：% 验证行列式按行（列）展开公式clearA=round(10*randn(5); % 构造5阶随机数方阵D=det(A); % 计算矩阵A的行列式% 矩阵A按第一行元素展开：s=a11*A11+a12*A12+a15*A15s=0;for i=1:5 T=A; T(1,:)=; % 删去阵矩第1行 T(:,i)=; % 删去矩阵第i列 % 此时，|T| 为矩阵A元素a1i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)(1+i)*de

19、t(T);ende=D-s % 验算D与s是否相等在MATLAB的命令窗口中输入：la04计算结果为：e = 0在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la05.m：% 计算5阶方阵A的第一行元素与第三行元素对应的代数余子式乘积之和：% s=a11*A31+a12*A32+a15*A35clearA=round(10*randn(5); % 构造5阶随机数方阵s=0;for i=1:5 T=A; T(3,:)=; % 删去矩阵第3行 T(:,i)=; % 删去矩阵第i列 % 此时，|T| 为矩阵A元素a3i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)(3+i)*det(T);ends % 验算s是

20、否为0在MATLAB命令窗口中输入：la05计算结果为：s = 0例2.5 求，的逆矩阵.解 format rat %用有理格式输出A=1 2 3; 2 2 1; 3 4 3;AN=inv(A) 或 AN=A(-1)B=hilb(3)BN= B（-1）或BN= inv(A) 或BN=invhilb(B) % invhilb为求希尔伯特矩阵的逆的函数显示结果如下：AN = 1 3 -2 -3/2 -3 5/2 1 1 -1 BN = 9 -36 30 -36 192 -180 30 -180 180 由于希尔伯特矩阵的条件数很大,不同的算法求其逆的精度有所不同,可以上机比较几种求矩阵逆的函数的差

21、别.例2.5 计算行列式的值.解 在MATLAB编辑器中建立M文件：syms a b c d A=1 1 1 1;a b c d;a2 b2 c2 d2;a4 b4 c4 d4;d1=det(A)d2=simple(d1) %用 simple函数化简表达式d1pretty(d2) %用pretty函数使表达式d2符合人们的书写习惯.则结果显示为：d1 =b*c2*d4-b*d2*c4-b2*c*d4+b2*d*c4+b4*c*d2-b4*d*c2-a*c2*d4+a*d2*c4+a*b2*d4-a*b2*c4-a*b4*d2+a*b4*c2+a2*c*d4-a2*d*c4-a2*b*d4+a2

22、*b*c4+a2*b4*d-a2*b4*c-a4*c*d2+a4*d*c2+a4*b*d2-a4*b*c2-a4*b2*d+a4*b2*cd2 =(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b) (-d + c) (b - d) (b - c) (-d + a) (a - c) (a - b) (a + c + d + b)函数 rank格式 k = rank (A) %求矩阵A的秩k = rank (A,tol) %tol为给定误差下计算矩阵的秩例2.6求向量组，的秩，并判断其线性相关性.解 A=1 -2 2 3;-2 4 -1 3;-1 2 0

23、 3;0 6 2 3;2 -6 3 4;k=rank(A)结果为k = 3由于秩为3小于向量组所含向量个数，因此向量组线性相关.3 向量组的相关性及方程组的通解1. 分析向量组线性相关性的方法； 2. 求解线性方程组通解的各种方法；例3.1求非齐次线性方程组的通解。解：在MATLAB命令窗口，输入以下命令：A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19; % 输入系数矩阵Ab=-2;7;-23;43; % 输入常数列向量bR,s=rref(A,b) % 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s计

24、算结果为：R = 1 2 0 2 9 3 0 0 1 0 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0s = 1 3程序la06.m给出非齐次方程组的通解。% 求非齐次线性方程组的通解clear A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19; % 输入系数矩阵Ab=-2;7;-23;43; % 输入常数列向量bR,s=rref(A,b); % 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量sm,n=size(A); % 矩阵A的行数、列数赋给了变量m、nx0=zeros(n,1); % 将特

25、解x0初始化为N维零列向量r=length(s); % 矩阵A的秩赋给变量rx0(s,:)=R(1:r,end); % 将矩阵R的最后一列按基准元素的位置给特解x0赋值disp(非齐次线性方程组的特解为：)x0 % 显示特解x0disp(对应齐次线性方程组的基础解系为：)x=null(A,r) % 得到齐次线性方程组Ax0的基础解系x，求A的零空间，Ax=0在MATLAB命令窗口中输入：la06运算结果为：非齐次线性方程组的特解为：x0 = 3 0 8 0 0对应齐次线性方程组的基础解系为：x = -2 -2 -9 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 1则方程组的通解为：齐次线性方程

26、组的特解还可以用Matlab的矩阵左除运算来求得，直接在MATLAB命令窗口输入以下命令：A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19;b=-2;7;-23;43; x0=Ab % 用矩阵左除运算求得方程组特解x0x=null(A,r) % 得到齐次线性方程组Ax0的基础解系x运算结果为：Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.3099e-014.x0 = 0 0 7.3333 0 0.3333x = -2 -2 -9 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 1方程组的通解为：例3.2

27、已知向量组，求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。解：用笔计算的过程为：编写Matlab程序la07.m：% 找向量组的最大无关组，并用它线性表示其它向量cleara1=1;1;0;2;2; % 输入5个列向量a2=3;4;0;8;3;a3=2;3;0;6;1;a4=9;3;2;1;2;a5=6;-2;2;-9;2;A=a1,a2,a3,a4,a5; % 由5个列向量构造矩阵AR,s=rref(A); % 把矩阵A的最简行阶梯矩阵赋给了R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s % 向量s中的元素即为最大无关组向量的下标r=length(s); % 最大无关组所含

28、向量个数赋给rfprintf(最大线性无关组为：) % 输出字符串for i=1:r fprintf(a%d ,s(i) % 分别输出最大无关组的向量a1，endfor i=1:r % 从矩阵A中取出最大无关组赋给A0 A0(:,i)=A(:,s(i);endA0 % 显示最大无关组矩阵A0s0=1,2,3,4,5; % 构造行向量s0for i=1:r s0(s(i)=0; % s(i)是最大无关组的列号end % 若s0的某元素不为0，表示该元素为矩阵A中% 除最大无关组以外其它列向量的列号s0=find(s0); % 删除s0中的零元素 % 此时s0中元素为其它向量的列号for i=1:

29、5-r % 用最大无关组来线性表示其它向量fprintf(a%d=,s0(i)for j=1:r fprintf(%3d*a%d+ ,R(j,s0(i),s(j); end fprintf(bb n); % 去掉最后一个”+”end在MATLAB命令窗口中输入：la07运行结果为：最大线性无关组为：a1 a2 a4 A0 = 1 3 9 1 4 3 0 0 2 2 8 1 2 3 2a3= -1*a1+ 1*a2+ 0*a4 a5= 3*a1+ -2*a2+ 1*a4例3.22 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并用最大无关组表示其余向量，其中.解 format ratA=1,-2,-1,0

30、,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4;B=rref(A)运行结果得B = 1 0 1/3 0 16/9 0 1 2/3 0 -1/9 0 0 0 1 -1/3 0 0 0 0 0 记矩阵A的五个列向量依次为，则 ， 是列向量组的一个最大无关组.且有，.例3.3 已知齐次线性方程组：，当k取何值时方程组有非零解？在有非零解的情况下，求出其基础解系。解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la08.m% 计算带符号变量的齐次线性方程组的解clearsyms k % 定义符号变量kA=1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,1

31、1-k; % 给系数矩阵赋值D=det(A); % 算出系数矩阵的行列式Dkk=solve(D); % 解方程“D0”，得到解kk，即k值for i=1:4 AA=subs(A,k,kk(i); % 分别把k值代入系数矩阵A中fprintf(当k=);disp(kk(i); % 显示k的取值fprintf(基础解系为：n);disp(null(AA) % 计算齐次线性方程组“Ax=0”的基础解系end在MATLAB命令窗口中输入：la08运算结果为：当k=7/2基础解系为： 1 2 2 -2当k=14基础解系为： 1 2 2 5当k=-1基础解系为： -1, -1 1, 0 0, 1 0, 0

32、当k=-1基础解系为： -1, -1 1, 0 0, 1 0, 04 特征向量与二次型1. 对向量组正交化； 2. 求方阵特征值和特征向量；3. 分析方阵是否可对角化；4. 化二次型为标准型； 5. 分析对称阵是否正定；例4.1 设向量组：，求由这三个向量生成的子空间V的一个标准正交基。解：在MATLAB命令窗口输入： a1=1;2;3;a2=-1;1;2;a3=5;1;0;A=a1,a2,a3P=orth(A) % 将矩阵A的列向量组正交规范化，% P的列构成了空间V的一个标准正交基% P的列数反应了空间V的维数运算结果为：P = -0.9266 0.3359 -0.3116 -0.4343

33、 -0.2105 -0.8358从矩阵P的列数可以看出，原向量组是线性相关的，它生成的空间是二维的。 MATLAB中将矩阵正交三角分解的函数为qr.命令 qr 格式 Q,R=qr(A) %将矩阵A分解为正交Q与上三角矩阵R的乘积.命令 orth 格式 B=orth(A) %给出矩阵A列空间的一组标准正交基B%且满足：B*B = eye(rank(A).例4.12 将矩阵的列向量组正交规范化并把其正交三角分解.解：A=4 0 0; 0 3 1; 0 1 3;B=orth(A)Q,R=qr(A)则显示结果为P = 1.0000 0 0 0 0.7071 -0.7071 0 0.7071 0.707

34、1Q = 1.0000 0 0 0 -0.9487 -0.3162 0 -0.3162 0.9487R = 4.0000 0 0 0 -3.1623 -1.8974 0 0 2.5298例4.2 求矩阵的特征值。解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写la09.m文件，它给出了三种求矩阵特征值的方法：% 矩阵特征值的求解方法clear A=2,-2,-20,-19;-2,16,-9,11;-8,4,-6,1;0,-8,-4,-7;%方法一：syms k % 定义符号变量kB=A-k*eye(length(A); % 构造矩阵B=(A-kI）D=det(B); % 计算行列式：|A-kI|lam

35、da1=solve(D) % 求|A-kI|=0的符号形式的解%方法二：p=poly(A); % 计算矩阵A的特征多项式 % 向量P的元素为该多项式的系数lamda2=roots(P) % 求该多项式的零点，即特征值%方法三：lamda3=eig(A) % 直接求出矩阵A的特征值在MATLAB命令窗口中输入：la09运算结果为：lamda1 = 12 -1/3*(19585+120*22674(1/2)(1/3)-385/3/(19585+120*22674(1/2)(1/3)-7/31/6*(19585+120*22674(1/2)(1/3)+385/6/(19585+120*22674(1

36、/2)(1/3)-7/3+1/2*i*3(1/2)*(-1/3*(19585+120*22674(1/2)(1/3)+385/3/(19585+120*22674(1/2)(1/3)1/6*(19585+120*22674(1/2)(1/3)+385/6/(19585+120*22674(1/2)(1/3)-7/3-1/2*i*3(1/2)*(-1/3*(19585+120*22674(1/2)(1/3)+385/3/(19585+120*22674(1/2)(1/3)lamda2 = -17.3347 12.0000 5.1673 + 6.3598i 5.1673 - 6.3598ilamd

37、a3 = -17.3347 5.1673 + 6.3598i 5.1673 - 6.3598i 12.0000 其中，方法一是根据笔算矩阵特征值的算法编写而成，MATLAB给出了一个符号形式的解，可以进一步把符号解转化为数值解，输入以下命令：lamda1=eval(lamda1)结果为：lamda1 = 12.0000 -17.3347 5.1673 - 6.3598i 5.1673 + 6.3598i例4.3 求下列矩阵A的特征值和特征向量，并判断矩阵是否可以对角化，若能对角化，请找出可逆矩阵V，使。(1) ；（2）；（3）解：（1）在MATLAB命令窗口输入：A=1,2,3;2,1,3;1,1,2;V,D=eig(A) % 矩阵D为矩阵A的特征值构成的对角阵% 矩阵V的列向量为矩阵A与特征值D对应的特征向量运行结果为：V