导数及不等式综合题集锦

1、导数及不等式综合题集锦1已知函数其中a为常数，且.（）当时，求在（e=2.718 28）上的值域；（）若对任意恒成立,求实数a的取值范围.2. 已知函数 （I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （II）求函数的单调区间； （III）当a=1，且时，证明：3. 已知（）（）求函数的单调递减区间；（）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围4已知函数 （I）若x=1为的极值点，求a的值； （II）若的图象在点（1，）处的切线方程为，（i）求在区间-2，4上的最大值；（ii）求函数的单调区间5已知函数 （I）当a0时，求函数的单调区间； （II）若函数f（x）在1，e上的最小值是求a的值.6已知

2、函数R （1）求函数的导函数； （2）当时，若函数是R上的增函数，求的最小值； （3）当时，函数在（2，+）上存在单调递增区间，求的取值范围.7已知函数 （1）若，求曲线处的切线； （2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围； （3）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。8.设函数（I）若直线l与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求实数p的值；（II）若在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围。9. 已知函数，如果在其定义域上是增函数，且存在零点（的导函数）。 （I）求的值； （II）设是函数的图象上两点，10. 设函数，。（）当a=0时，在（1，+）上恒成立，

3、求实数m的取值范围；（）当m=2时，若函数在1，3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；（）是否存在实数m，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由11. 已知函数 （I）试确定t的取值范围，使得函数上为单调函数； （II）求证：； （III）求证：对于任意的，并确定这样的的个数。12. 已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.（1）求、的表达式；（2）求证:当时,方程有唯一解；(3）当时,若在内恒成立,求的取值范围.13. 已知函数上恒成立. （1）求的值； （2）若 （3）是否存在实数m，使函数上有最小值5？若存在，请求出实数m的值；若不存在

4、，请说明理由.14. 已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围15. 设函数（）求f(x)的单调区间和极值；（）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由1.解：（）当时， 得2分 令，即，解得，所以函数在上为增函数， 据此，函数在上为增函数，4分 而，所以函数在上的值域为6分（）由令，得即 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增；7分 若，即，易得函数在上为增函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即而，即，所以此时无解.8分若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，要使对恒成立，只需，

5、即，由和得.10分 若，即，易得函数在上为减函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即，又因为，所以.12分 综合上述，实数a的取值范围是.13分2. 解：（I）函数，2分又曲线处的切线与直线垂直，所以即a=14分来 （II）由于当时，对于在定义域上恒成立，即上是增函数.当 当单调递增；当单调递减.8分 （III）当a=1时，令10分当单调递减. 又即故当a=1，且成立.13分3解：（） （1）当，即时，不成立（2）当，即时，单调减区间为（3）当，即时，单调减区间为-5分（），在上递增，在上递减，在上递增（1）当时，函数在上递增，所以函数在上的最大值是， 若对有恒成立，需要有解得 （2）当

6、时，有，此时函数在上递增，在上递减，所以函数在上的最大值是，若对有恒成立，需要有 解得（3）当时，有，此时函数在上递减，在上递增，所以函数在上的最大值是或者是 由，时，若对有恒成立，需要有 解得 时， 若对有恒成立，需要有 解得 综上所述， -14分4解：（1） 是极值点 ，即 或2. 3分（2）在上. （1，2）在上 又 （i）由可知x=0和x=2是的极值点. 在区间2，4上的最大值为8.8分 （ii） 令，得 当m=2时，此时在单调递减 当时： x(，2，m)2m（2m，0）0（0，+）G（x）0+0G（x）减增减当时G（x）在（，2，m），（0，+）单调递减，在（2m，0）单调递增.当时

7、：x（，0）0（0，2m）2m（2m+）G（x）0+0G（x）减增减 此时G（x）在（，0），（2m，+）单调递减，在（0，2m）单调递增，综上所述：当m=2时，G（x）在（，+）单调递减； 时，G（x）在（，2m），（0，+）单调递减，在（2m，0）单调递增； 时，G（x）在（，0），（2m，+）单调递减，在（0，2m）单调递增.5解：函数的定义域为1分3分 （1）故函数在其定义域上是单调递增的.5分 （II）在1，e上，发如下情况讨论：当ae时，显然函数上单调递减，其最小值为仍与最小值是相矛盾；12分综上所述，a的值为13分6（I）解： 3分 （II）因为函数是R上的增函数，所以在R上恒成

8、立，则有设则当且r=1时，取得最小值. （可用圆面的几何意义解得的最小值）8分 （）当时是开口向上的抛物线，显然在（2，+）上存在子区间使得，所以m的取值范围是（0，+）.当m=0时，显然成立.当时，是开口向下的抛物线，要使在（2，+）上存在子区间使，应满足或解得或，所以m的取值范围是则m的取值范围是13分7解：（1）当时，函数曲线在点处的切线的斜率为 1分从而曲线在点处的切线方程为即 （2） 3分令，要使在定义域（0，）内是增函数只需在（0，+）内恒成立 4分由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，只需时，在（0，+）内为增函数，正实数的取值范围是 6分 （3）上是减函数， 时，即 1

9、分当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，且，所以内是减函数。当时，在因为，所以此时，内是减函数。故当时，上单调递减，不合题意；当时，由所以又由（2）知当时，上是增函数，不合题意； 11分当时，由（2）知上是增函数，又上是减函数，故只需而即解得，所以实数的取值范围是。 13分8. 解：（）方法一：，2分 设直线， 并设与相切于点M（） 3分 2代入直线的方程，解得p=1或p=3 6分方法二： 将直线方程代入得 解得p=1或p=3 6分（）， 要使为单调增函数，须在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又，所以当时，在为单调增函数； 9分要使为单调减函数，须在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，

10、又，所以当时，在为单调减函数 11分综上，若在为单调函数，则的取值范围为或12分 9. 解：（I）因为所以因为上是增函数。 所以上恒成立 1分当而上的最小值是1。于是（） 可见从而由（）式即得 . 4分同时，由解得，或由得 此时，即为所求 6分注：没有提到（验证）时，不扣分。 （II）由（I），于是 7分以下证明（） （）等价于 8分构造函数则时，上为增函数。因此当 即 从而得到证明。 11分同理可证 12分注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分。10. 解：（）由a=0，可得，即1分记，则在（1，+）上恒成立等价于.求得2分当时；当时， 3分故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故. 4分（

11、）函数在上恰有两个不同的零点等价于方程，在上恰有两个相异实根5分 令，则6分当时，当时，g（x）在1，2上是单调递减函数，在上是单调递增函数故8分又g（1）=1，g（3）=3-2ln3 g（1）g（3），只需g（2）0，解得x或x-（舍去）故时，函数的单调递增区间为（，+） 单调递减区间为（0， ）12分而h（x）在（0，+）上的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+）故只需=，解之得m= 13分即当m=时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性14分.11. 解：（I）因为 1分 （II）证：因为处取得极小值e （III）证：因为，当上有解，且只有一解11分当，所以

12、上有解，且有两解当上有且只有一解；12. 解: （1）依题意,即,.上式恒成立, 1分又,依题意,即,.上式恒成立,2分由得.3分4分（2）由(1)可知,方程,设,令,并由得解知 5分令由 6分 列表分析:(0,1)1(1,+)-0+递减0递增可知在处有一个最小值0, 7分当时,0,在(0,+)上只有一个解.即当x0时,方程有唯一解. 8分（3）设, 9分在为减函数 又 11分所以：为所求范围. 12分13. 解：（1）恒成立即恒成立显然时，上式不能恒成立是二次函数由于对一切于是由二次函数的性质可得即 （2）即 当，当 （3）该函数图象开口向上，且对称轴为假设存在实数m使函数区间 上有最小值5.当上是递增的.解得舍去当上是递减的，而在区间上是递增的，即解得 当时，上递减的即解得应舍去. 综上可得，当时，函数14. 解：（