天一大联考2019-2020学年高中毕业班阶段性测试(一)理科数学试题

1、天一大联考2019-2020学年高中毕业班阶段性测试（一)理科数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_1已知集合， ，则（ ）ABCD 2已知z1=510i，z2=3+4i，且复数z满足z=1z1+1z2，则z的虚部为（ ）A225B225C225iD225i3某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为710.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（）A14B20C21D704设等差数列|的前项和为，若，则（ ）A13B15C20D225已知向上满足 ,，则向量与的夹角为（

2、）ABCD6马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了小时，则他平均每分钟的步数可能为（）ABCD7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）ABCD8已知双曲线，F为E的左焦点，P，Q为双曲线E右支上的两点，若线段PQ经过点，PQF的周长为，则线段PQ的长为（ ）A2BC4D9已知函数，若，则x的取值范围是（）ABCD10已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭

3、圆C的离心率为（ ）ABCD11设函数在上最小的零点为，曲线在点处的切线上有一点，曲线上有一点，则的最小值为（ ）ABCD12已知四棱锥的四条侧棱都相等，底面是边长为的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为的球面上，则与底面所成角的正弦值为（ ）AB或CD或13设变量满足约束条件则目标函数的最大值为_.14已知正项等比数列满足.记，则数列的前项和为_.15在的展开式中，含项的系数为_.16已知，则的值是_.17已知平面四边形中，且内角与互补.（1）求的值.（2）求四边形的面积.18如图，在直三棱柱中，分别是与的中点，为的重心.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.19已知动圆M过点且与直线相

4、切.（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）斜率为的直线l经过点且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点N，求的值.20一间宿舍内住有甲乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件.（1）求.（2）设表示“第天甲值日”的概率，则，其中，.（）求关于的表达式.（）这种游戏规则公平吗？说明理由.21设函数（1）讨论函数的单调性；（2）设函

5、数的图象与直线交于，两点，且，求证：.22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（m为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于M，N两点.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求|MN|.23设函数.（1）求不等式的解集；（2）设，函数的最小值为，且，求证：.参考答案1A【解析】【分析】要使根式有意义，则需，可求集合，再求，解二次不等式，可求得集合，从而求得即可.【详解】解：=，即，又=，即，故选A.【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题.2B【解析】【分析】

6、把z1=510i，z2=3+4i代入z=1z1+1z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】z1=510i，z2=3+4i，z=1z1+1z2=1510i+13+4i=5+10i(510i)(5+10i)+34i(3+4i)(34i)=125+225i+325425i=425225i，z的虚部为225故选B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念，考查基本运算求解能力.3A【解析】【分析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数.【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170，故老年职工人数为

7、70，中年职工人数100，抽样比为，则抽取的老年职工的人数为，故选【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力.4C【解析】【分析】由等差数列前5项和求得，设等差数列的公差为，由得到关于的方程，再由等差数列的通项公式求【详解】由题意，得设等差数列的公差为，由，得，解得故选：【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前项和公式的应用，考查基本量法求解数列问题.5B【解析】【分析】先由题意求出，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，因此，所以，因此向量与的夹角为【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型.6C【解析】【分析】先求出运动员每

8、分钟跑米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解.【详解】解：千米米，小时分钟，故运动员每分钟跑米；若运动员每分钟跑步，则运动员的身高超过米不太可能；若运动员每分钟跑步，则运动员的身高稍超过米不太可能；若运动员每分钟跑步，则运动员的身高超过米，基本符合实际，故选：C.【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.7B【解析】【分析】由题意可知该几何体是一个半圆台，利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解.【详解】该几何体是一个半圆台，上底面半圆的半径为1，下底面半圆的半径为2，高为2，母线长为，其侧面一部分展开是扇环，一部分是等腰梯形.所以其侧面积为.故选：B.【点睛】本题

9、考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解，属于基础题.8B【解析】【分析】根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：，再根据周长的值，求得线段PQ的长.【详解】双曲线的左焦点，；双曲线的右焦点在线段上，所以的周长为，得，故选：【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力9A【解析】【分析】根据得为偶函数，利用导数得函数在，上为增函数，结合偶函数的性质，将转化为，两边平方解得的取值范围【详解】根据题意，因为，所以为偶函数；又由，当时，则函数在上为增函数，所以，即，解得：.故选：【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调

10、性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.10C【解析】【分析】利用直线AM和直线BM的斜率之积为，得到这一关系，再代入离心率的公式，求得的值.【详解】由已知得，设，由题设可得，所以.因为，所以，则，所以.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.11C【解析】【分析】由题意得，由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为，证明切线与曲线无交点，当点处的切线与平行时，点到直线的距离即为最小值，利用导数几何意义求得点后即可得解.【详解】令，则，最小为.因为，所以曲线在点处的切线斜率为，则切线方程为，设，则，在处取最小值，所以恒成立，所以

11、直线与曲线没有交点.令，得或（舍去），则的最小值为点到直线的距离，所以.故选：C.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12D【解析】【详解】解：因为的四条侧棱都相等，底面是边长为的正方形，则点在面内的射影落在正方形 的中心，连接交于点，设球心为,连接,则在直线上，由,解得，又,所以,所以或，当时，,则与底面所成角的正弦值为,当时，,则与底面所成角的正弦值为,即与底面所成角的正弦值为或，故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.134【解析】【分析】作出可行域，

12、将问题转化为可行域中的点与点连线的斜率的最大值，结合图形可得答案.【详解】作出可行域，如图所示：表示可行域中的点与点连线的斜率.由图可知，点与点连线的斜率最大，所以目标函数的最大值为4.故答案为: 4【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值，解题关键是转化为斜率求最大值，属于基础题.14【解析】【分析】由等比数列通项公式的求法可得：，又解得，由对数的运算可得：，即是以1为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列前项和公式即可得解.【详解】解：由数列为正项等比数列，设其公比为，则，又，所以，解得，即，所以，则是以1为首项，1为公差的等差数列，则数列的前项和为，故答案为：.【点睛】本题

13、考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前项和，重点考查了对数的运算，属基础题.1540【解析】【分析】由题意写出的展开式的通项，根据通项求出的展开式中和的系数，根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意的展开式的通项为，的展开式中的系数为，的系数为，因此，原展开式中含项的系数为.故答案为：40.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.16【解析】【分析】根据两角和差正切公式可构造方程求得或；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将化为，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为，代入即可求得结果.【详解】解得：或当时，当时，综上所述，本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐

14、次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.17（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意与也互补，在和中分别使用余弦定理，即可得，即可得解；（2）由平方关系可得，再利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）因为与互补，所以与也互补，可得，所以.在中，根据余弦定理可得.在中，根据余弦定理可得.由，得. （2）因为，所以.故四边形的面积.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.18（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标后，通过证明

15、，即可得证；（2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，求出后，利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：由题意可知，两两垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.由中点坐标公式可得，由重心的性质可得.则，.所以，所以，又，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为.则，所以，令，则.所以.设二面角的大小为，则.所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题.19（1）（2）【解析】【分析】（1）已知条件转化成圆心M到定点的距离与定直线的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心

16、M的轨迹C的方程；（2）设直线l的方程为，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到的中点坐标，进而得到线段的中垂线方程，令得到点的坐标，把弦长和线段都用表示，再进行比值即可得答案.【详解】（1）由已知可得，点M到点的距离等于点M到直线的距离，所以点M的轨迹是抛物线.点P为抛物线的焦点，直线即为抛物线的准线.设抛物线C的方程为，所以，所以，故动圆圆心M的轨迹C的方程为.（2）由已知可得直线l的方程为，记，.由消去y整理可得.由根与系数关系可得，所以.所以AB的中点坐标为.所以线段AB的中垂线方程为.令，可得，所以.所以.又由抛物线的定义可知.所以.【点睛】本题考查定义法求抛物线的方程、

17、直线与抛物线的位置关系，考查坐标法思想的运用，解题过程中要注意目标意识，即弦长和线段都借助变量进行表示，再进行运算求值.20（1）.（2）（）（）不公平，理由见解析【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果；（2）（）代入的值后，构造等比数列可求得结果；（）根据可知游戏不公平.【详解】（1）由题意可知，事件表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.抛掷两枚骰子所得点数的情况有种，事件包含的情况有，共6种情况.所以.所以.（2）（）由（1）可知.整理可得，所以是首项为，公比为的等比数列.所以.所以.（）不公平.理由如

18、下：因为恒成立，即每天甲值日的概率都大于，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平.【点睛】本题考查了古典概型扥概率公式和对立事件的概率公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.21（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求导后根据、分别求出、得解即可得解；（2）由题意得，则，令，求导后证明即可得证.【详解】（1）函数的定义域为.当时，恒成立，所以在是减函数；当时，令，得，令，得，所以在上是增函数，在上是减函数.综上，当时，在是减函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.（2）证明：由题意知方程有两个不相等的实根，且，所以，且.所以，所以.因为，所以令，则，所以在单调递减，所以.又因为，由（）知，所以.所以.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22（1）直线，曲线；（2）【解析】【分析】（1）把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，把曲线的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程；（2）写出直线参数方程的标准形式，代入曲线的普通方程，化为关于的一元二次方程，再由参数的几何意义求解【详解】（1）由（m为参数），消去参数m整理可得直线l的普通方程为.由曲线C的极坐标方程，得，即，故曲线C的直角坐标方程为，即.（2）由已知可得直线的斜率，设的倾斜角