中考数学专题讲义-四点共圆模型

1、共圆模型模型1 共端点，等线段模型 如图，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆如图，若OAOBOC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上如图，常见结论有：ACBAOB，BACBOC.模型分析OAOBOC.A、B、C三点到点O的距离相等A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上ACB是的圆周角，AOB是的圆心角，ACBAOB.同理可证BACBOC.（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题模型实例 如图，ABC和ACD都是等腰三角形，ABAC，ACAD，连接BD求证：1290. 证明 证法一：如图，ABACADB、C、D

2、在以A为圆心，AB为半径的A上ABC2.在BAC中，BACABC2180,2122180.1290.证法二：如图，ABACADBAC21ABAC，B、C、D在以A为圆心，AB为半径的O上延长BA与圆A相交于E，连接CEE1（同弧所对的圆周角相等）AEAC，EACE.BE为A的直径，BCE902ACE90.1290. 小猿热搜1如图，ABC为等腰三角形，ABAC，在ABC的外侧作直线AP，点B与点 D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E求证：12证明A、D关于AP轴对称，AP是BD的垂直平分线ADAB，EDEB又ABAC.C、B、D在以A为圆心，AB为半径的圆上EDEB，EDBEB

3、D. 22EDB.又12CDB. 12.2己知四边形ABCD，ABCD，且ABACADa，BCb，且2ab，求BD的长 解答以A为圆心，以a为半径作圆，延长BA交A于E点，连接EDABCD，CABDCA，DAECDA. ACAD，DCACDA. DAECAB.在CAB和DAE中CABDAE. EDBCbBE是直径，EDB90.在RtEDB中，EDb，BE2a，BD模型2 直角三角形共斜边模型模型分析如图、，RtABC和RtABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，A、B、C、D四点共圆（） 共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆

4、；（） 四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一模型实例例如图，AD、BE、CF为ABC的三条高，H为垂线，问：（） 图中有多少组四点共圆？（） 求证：ADFADE解答（） 组C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处（）如图，由B、D、H、F四点共圆，得ADF=1. 同理：由A、B、D、E四点共圆，得ADE=.ADFADE

5、例如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE. 解答如图，连接DB、DF. 四边形ABCD是正方形，且BF是CBA的外角平分线，CBF=45，DBC=45， DBF=90又DEF=90，D、E、B、F四点共圆DFE=DBE=45（同弧所对的圆周角相等）DEF是等腰直角三角形FE=DE 1.如图，锐角ABC中，BC.CE是高线，DGCE于G，EFBD于F，求证：证明：由于RtBCE与RtBCD共斜边BC，B、C、D、E四点共圆DBC=DEG，同理，RtEDF与RtDGE共斜边DE，D、E、F、G四点共圆于是DEG=DFG，因此，DBC

6、=DFG于是FGBC2. 如图， BE.CF为ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：ADBC.3.如图，等边PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边PQR怎样运动，点M为不动点.4.如图，已知ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TDAB,TEAC.求证：AHD=AHE. 证明：（1）ADT=AHT=AET=90， D，E，H在以AT为直径的圆上， AHD=ATD，AHE=ATE， 又AT是角平分线，TDAB，TEAC， ATD=ATE， AHD=AHE 补充：】7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。富兰克林8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。