线性代数第四章矩阵的特征值.ppt

1、第四章 矩阵的特征值,第一节 矩阵的特征值与特征向量,第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量,第二节 相似矩阵,一 矩阵的特征值,二 特征值与特征向量的基本性质,第一节 矩阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念,定义4.1,若,则称为的特征值，,称为的特征向量,（）,注,并不一定唯一；,阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组,特征向量 ，特征值问题只针对方阵；,有非零解的值，即满足,的都是方阵的特征值,定义4.2 设A为n阶矩阵,含有未知量的矩阵I-A称为A的特征矩阵,其行列式,为的n次多项式,称为A的特征多项式,称为A的特征方程.,求n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤:,1. 由矩阵A的

2、特征方程,求出A的特征值,2. 对于矩阵A的不同的特征值,求出,一个基础解系,则,为矩阵A对应特征值,的特征向量.,例1. 求矩阵的特征值和特征向量,例2. 求矩阵的特征值和特征向量,练习. 求矩阵的特征值和特征向量,例3. 求矩阵的特征值和特征向量,练习. 求矩阵的特征值和特征向量,例3. 求矩阵的特征值和特征向量,的一个基础解系为,的一个基础解系为,练习. 求矩阵B 的特征值和特征向量,二、特征值和特征向量的性质,定理4.1 n阶矩阵A与它的转置有相同的特征值.,有一个成立,则矩阵A的所有特征值的模小于1.即,定理4.2 n阶矩阵A=(aij),若,定理4.3 互异特征值对应的特征向量线性

3、无关。,对应于特征值 的线性无关的特征向量.,对应于特征值 的线性无关的特征向量.,、若为可逆阵的特征值，则,的一个特征值为（）,、证阶方阵的满足，则的特征值为,或,、三阶方阵的三个特征值为、，则,（）,、求下列方阵的特征值与特征向量,一 相似矩阵及其性质,二 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,第二节 相似矩阵,可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵,则,定理4.4 (1)相似矩阵有相同的特征值.,(2) 相似矩阵有相同的秩,(3) 相似矩阵的行列式相同.,(4) 相似矩阵同时可逆或者同时不可逆.,注(1)任何一个n阶矩阵都有相似矩阵; (2)我们赶兴趣的是一个n阶矩阵是否能够相似于一个对角矩阵? (3

4、)若不是任何一个矩阵都能相似于一个对角矩阵,矩阵相似于对角矩阵需要什么条件?或者说什么样的矩阵能相似于对角矩阵.,定理4.5 阶矩阵与n阶对角矩阵，,相似的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。,(二) n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,设存在可逆，,使得,于是有,因为可逆，故,且,是的个线性无关的特征向量。,充分性：,若有个线性无关的特征向量,对应的特征值为,即,令,则P 可逆，且,所以,即与对角矩阵相似,定理的证明告诉我们，如果阶矩阵与对角矩阵相似，则的主对角线上的元素就是的全部特征值相似矩阵P的列是对应于对角线上 元素的特征向量。,推论 若阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则必与对角矩阵相

5、似,注意,的顺序一致,（1）,因此也是不唯一的,推论 若阶矩阵有n个特征值,则可相似对角化的任ti重特征值有对应ti个线性无关的特征向量,n阶矩阵A对角化的步骤：,1. 求出n阶矩阵A的所有特征值,2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量,特征值和特征向量的对应.,若A的特征值的个数小于n（重根按重数计算）， 则A不与对角矩阵相似。,若A有一个t重特征值，对应的特征向量在线性 无关的意义下小于t，则A不与对角矩阵相似。,3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。,1. 求出n阶矩阵A的所有特征值,2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量,3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。,的一个基础解系为,的一个基础

6、解系为,且,第四节 实对称矩阵的特征值和特征向量,一 内积的定义和性质,三 正交向量组,二 向量的长度与夹角,四 正交矩阵与正交变换,五 对称矩阵的相似变换,一、内积的定义与性质,定义4.5,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,定义4.6 对于n维列向量,其长度为,向量长度也叫向量的模或范数.,特别地,长度为的向量称为单位向量.,（1）正定性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,向量长度的性质,（4）柯西施瓦兹（CauchySchwarz）不等式:,当且仅当与的线性相关时

7、，等号成立.,注,当,时，,由非零向量得到单位向量,是的单位向量.,称为把单位化或标准化.,的过程,二、正交向量组,定义4.7,注, 若 ，则与任何向量都正交.,定义4.8 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为正交向量组，简称正交组.,由单位向量组成的正交组称为标准正交组.,定理4.8 正交向量组是线性无关的.,证明: 若向量组,下面证明,是正交向量组,则对于任意,对于任意的i,即,由i的任意性可得,即正交向量组是线性无关的.,施密特（Schmidt）正交化法,设,是线性无关的,把它们化为标准正交,向量组的过程称为标准正交化.这里我们讨论施密特（Schmidt）正交化法.

8、包括正交化和标准化两个过程.,1）正交化,令,就得到的一个标准正交向量组.,2）标准化,令,注,上述方法中的两个向量组对任意的,例1,的充要条件是正交.,解,所以,成立的充要条件是,即正交.,已知三维向量空间中，,例2,正交，,解,设,则,即,例3,解,设非零向量 都于正交，,即满足方程,或,其基础解系为,令,1）正交化,令,2）标准化,令,第四章第三节 (三)正交矩阵,1、定义,如果阶矩阵满足：,则称为正交矩阵.,正交矩阵的性质,1、正交矩阵行列式为1或者-1；,2、若Q为正交矩阵，则Q可逆，且Q-1=QT;,3、两个正交矩阵的乘积为正交矩阵。,定理4.9 设Q为n阶矩阵，则Q为正交矩阵的充要条件为Q的行(列)向量组是单位正交向量组。,例:判断下列矩阵是否为正交矩阵.,定理4.10 对称矩阵的特征值为实数.,(四) 实对称矩阵的特征值和特征向量,定理4.11对称矩阵的互异特征值对应的特征向量 正交.,结