高考数学经典题解

1、题1*、已知9x+(4+a)3x+4=0,x属于-1,1,求a为何值时,方程有两根 解：令3x=yy2+(4+a)y+4=0x属于-1,1,则y1/3,3.原方程有两根等价于方程f(y)=y2+(4+a)y+4=0在1/3,3上有两个根。所以：判别式=(4+a)2-160a0或a-81/3-(4+a)/23-10a0,9x+(4+a)3x+4=0有解t2+(4+a)t+4=0有正根,则(4+a)2-440.,且-(4+a)0.,由a0或a-8;由a0 即题可以变为已知方程式Y2+(4+a)*Y+4=0至少有一解,且至少有一解大于零,求a的范围 所以(4+a)2-4*40 Y1*Y2=40 Y1

2、+Y2=-(4+a)0 (这是由Y1*Y2=40所决定的) 可解得a0且a1)是定义域在R上的奇函数(其中k属于R) (1)若f(1)0,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)0的解集；(2).若f(1)=3/2,且g(x)=a2x + a-2x -2mf(x)在1,+)上的最小值为-2,求m的值解:奇函数,有f(0)=k-1=0,则k=1,则f(x)=ax-1/ax。1)f(1)=a-1/a0,则a1,又f(x)=ax-1/ax在R上为增函数f(x2+2x)+f(x-4)0即是x2+2x4-x得x12)f(1)=a-1/a=3/2,则a=2. 令t=2x-1/2x(t=3/2) ,g(x)

3、=t2-2mt+2=(t-m)2+1-m2。当m3/2时候,t=m时函数最小值为1-m2=-2,则m=3。若m3/2则,g(x)的最小值为(3/2-m)2+1-m2=-2,得m=7/4(舍去),综上所述,m=3。题4、若函数f(x)和g(x)都是奇函数且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+)上有最大值5,则F(x)在(-,0)上( )选项：A.有最小值-5 B.有最大值-5 C.有最小值-1 D.有最大值-3解:f(x)和g(x)都是奇函数,则af(x)+bg(x)也是奇函数,令h(x)=af(x)+bg(x),h(x)为奇函数。则F(x)=h(x)+2h(x)的图像是关于原点对称的

4、,F(x)的图像是由h(x)的图像向上平移一个单位得到的所以,F(x)的图像关于点(0,2)对称假设F(x)在(0,+)上有最大值点为(m,5),F(x)关于点(0,2)成中心对称则根据对称性,可知F(x)在(-,0)上的最小值点为(-m,-1)。所以,选C 追问：为什么f(x)和g(x)都是奇函数,则af(x)+bg(x)也是奇函数啊？回答 h(x)=af(x)+bg(x)则h(-x)=af(-x)+bg(-x)因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以：f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x) 所以：h(-x)=-af(x)-bg(x)=-h(x)所以,h(x)=af(x)+bg(x)也

5、是奇函数注：奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数ps：不好意思,上面的回答有个地方写错了,是“F(x)的图像是由h(x)的图像向上平移2个单位得到的”,不是一个单位。题5、设f(x)为奇函数,且在(-,0)内是减函数,f(-2)=0,则xf(x) 0, f(x)在(2,0), f(x) 0, f(x)在(2,), f(x) 0xf(x)0 解得 x2题6、 已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数）,xR，F(x)=f(x),x0或-f(x),x0. (1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为0,+无穷),求F(x)的表达式(2)在(1)的条件下，当x属于-2,2时，g(x)

6、=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围(3)设mn0,a0，且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零解：(1) 根据题目条件： 知道二次函数的开口向上，且顶点坐标是（-1，0） 即两根之积为 1/a=1 所以 a=1 ,-b/a=-2 b=2 f(x)=x2+2x+1 F(x)=x2+2x+1 x0 F(x)=-(x2+2x+1) x0(2) 当x属于-2,2，g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1 是增函数，必须对称轴是在区间以左， 即 (k-2)/2 =-2 k=2 k=6综上 k=6(3) f(x)是偶函数，则必然有b=0 f(x)=ax2+1根据条件 mn

7、0 ，知道 m n异号不妨设 m是正数，n是负数因为f(x)是偶函数，可以得知f(-x)=f(x)F(n)=-f(n)=-f(-n)因为a0 且函数对称轴是x=0F(m)+F(n)=f(m)-f(-n)由于 m+n0 所以 m-n0 而f(m)在大于0区间是增函数，所以 f(m)-f(-n)0即F(m)+F(n）0题7、已知函数f(x)=x2+ax+3,当x-2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解：该问题等价于当x-2,2时，f(x)-a0恒成立。所以由g(x)=f(x)-a=x2+ax+3-a 知g(x)的图形是开口向上的抛物线，其对称轴为 x=-a/21、若对称轴在 -2,2 左侧时

8、，x=-a/24。抛物线在 -2,2 上单调增，只须g(-2)0即4-2a+3-a0，解得 a7/3。但因为 a4，故此时无解。2、若对称轴在 -2,2 上时，有-2-a/22,得 -4a4。此时必须 0，即 a-4(3-a)0解得 -6a2，故取 -4a2。3、若对称轴在 -2,2 右侧时，-a/22,得a-4。抛物线在 -2,2 上单调减，只须g(2)0即4+2a+3-a0，解得a-7，故取取 -7a-4。综上所述，所求的取值范围是-7a2题8、已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是( ) y=f（|x|）；y=f（-x）；y=xf（x）；y=f（x）+x解：函

9、数y=f（x）是定义在R上的奇函数，y=f（|x|）；y=f（-x）；y=xf（x）；y=f（x）+x的定义域都是R对于、f（x）的定义域为R，f（|-x|）=f（|x|），y=f（|x|）是偶函数；对于、令F（x）=f（-x），则F（-x）=f（x）=-f（-x）=-F（x），F（x）是奇函数，是奇函数；对于、令M（x）=xf（x），则M（-x）=-xf（-x）=xf（x）=M（x），M（x）是偶函数；对于、令N（x）=f（x）+x，则N（-x）=f（-x）-x=-f（x）-x=-f（x）+x=-N（x），N（x）是奇函数，故、是奇函数故答案为：题9、设奇函数f(x)在(0,+)上为减函数,

10、且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)/x f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数且f(x)在(0,+)上为减函数 f(1)=0 = f(x)在(-,0)为减函数且f(-1)=f(1)=0 = (-,-1)并(0,1) f(x)0;(-1,0)并(1,+) f(x)0不等式可以化为 2f(x)/x f(x)/x找函数值与x异号的区间(-,-1)并(1,+)题10、已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为a-1,2a,求f(x)的值域解：因为是偶函数所以f（-x）=f（x）=ax-bx+3a+b=ax+bx+3a+b=b=0因为是偶函数所以定义域关于原点对称所以a-1=

11、-2a= a=1/3= f（x）=1/3x+1= 定义域是【-2/3,2/3】根据推出的解析式和定义域 = 值域就是【1,31/27】题11、若f(x)是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x,y0，满足f(x/y)=f(x)-f(y)(1) 求f(1)的值；(2) 若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/3)2解：(1) 由f(x/y)=f(x)-f(y)令x=y得f(1)=0(2) f(x+3)-f(1/3)2得f(x+3)-（f(1）-f(3)2,f(x+3)2-f(3),f(x+3)f(6)+f(6)-f(3),f(x+3)f(6)+f(2),f(x+3)-f(2)f(6),f(

12、x+3)/2)f(6),因为f(x)是定义在（0，+）上的增函数，0（x+3)/26,0x+312,所以，-3x0且a1） （1）求m的值 （2）判断在区间（1，+）的 单调性并证明。解1：(1)由奇函数则f(-x)=-f(x)则f(-x) =loga(1+mx)/-x-1 =-f(x) =loga(x-1)/(1-mx) 1-m2x2=1-x2 (1-m2)x2=0 m=1. 当m=1时,真数=-10,且是减函数. 则loga t在R+上 当0a1时,是增函数. 又由复合函数单调性 当0a1时,f(x)在(1,+）上是单调递减函数解2：（1）f(x)图像关于原点对称f(x)是奇函数f(-x)=loga(1+mx)/-x-1 =-f(x) =-loga(1-mx)/(x-1) =loga(x-1)/(1-mx) 1+mx/-x-1=x-1/1-mx 解得：m=1m=-1 1-mx/x-10 1-mx0,x-10 或1-mx0,x-10即：1x1/m 或 1/mx1 x+1/x-1=(x-1)+2/(x-1) =1+2/(x-1) 当x增大时 2/x-1递减 即:x+1/x-1 随X的增大而