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文档简介

1、0W1Z本択盖曲剪釀歸鞘寸E *农爼証护WSs巾邑EE泉氯应堰牛显穩国釀歸Z.E穩土釀制IE 曲护察歸團梢M絵数字电子技术逻辑代数与初等代数的比较初等代数逻辑代数变量A、X取值00 0、1、+oo0、1数值符号0、1、 90、1数值表示数值,有大小,例如:10两个对立的逻 辑状态,例如:1表示有,0表示无基本运算加、减、乘、除与、或、非河北工程大学信电学坯-数字电子技术3.1逻辑代数分析数字电路或数字系统的数学工具,用二值函数进行 逻辑描述和运算简单3.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式1、基本定律:加运算:0+0=0 f 0+1=1 f 1+0=1 f 1+1=1:乘运算:00=00*1=0

2、1*0=01*1=1A + 0 = A, A + l = l, A + A = A, A + A =1:非运算:1 = 0 0 = 1 A = A4、分配律求证:=AA+AB+AC+BC=A +A(B+C)+BC;分配律;分配律,A=AA2、交换律 A+B=B+A A B=B A3、结合律 A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA(B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+Cfti右边=(A+B)(A+C)v;分配律;1+B+C=1;A 1=1一河北工程大学信电学孩丄=A(1+B+C)+BC=A 1+BC=A+BC数字电子技术5、吸收律吸收是指吸收

3、多余(冗余)项,多余(冗余)因 子被取消、去掉n被消化了。(!) A+AB=A证明: A+AB=A(1+B)=A1=AJ利用吸收律可以对逻辑式进行化简。一/ 例如: AB + CD + ABD(E + F) = AB + CD(2) A(A+B)=A证明:A(A+B)=AA+AB=A+AB;AA=A=A;A+AB=A=河匕工程大学 信电学赛 丄数字电子技术 A+AB=A+BAB+ABA +( A + A=A + BA +ABC +DE =A +BC +DE(A+B)(A+C)二A+BC证明:(A+B)( A+C)=A A+AC+B A+BC=A+AC+BA+BC;AA=A=A+BA+BC=A+

4、BC;A+AB=A;A+AB=A河匕工程大学信电学跌_数字电子技术(5)AB+AC+BC二AB+AC证明:AB+AC+BC=AB + ACBC+ABC=AB + AC4(A + APC证明:B+AO+BCD=AB + ACVB=AB + ACB +ACB=AB + AC AB + AC + BCD = AB + AC河北工程大学信电学粮丄6、反演律 德摩根(De Morgan)定理:AB = A + BA + B = AB可以用列真值表的方法证明:ABA*BABABA + B0001111010110110010111110000反演定律具有特殊重要的意义,它经常用于求一个函数的非 函数或者对

5、逻辑函数进行变换。- 数字电子技术 3.1.2逻辑代数的基本规则1. 代入规则:等式中某一变量都代之以一个逻辑函数,则等式仍然成立。例如,已知aTb = AB (用函数A + C代替A) 则(A + C) + B = A + C B = A C B2. 反演规则:将Y式中”换成换成”“0”换成1,换成0”原变量换成反变量,反变量换成原变量注意:运算顺序:括号一乘一加不属于单个变量上的反号应保留不变反演规则的应用:求逻辑函数的反函数将Y式中”换成换成,Iy“0”换成换成0”原变量换应反变量,反麦量换成原变量例如:己知已知变换时,原函数运Yl=A(B + C) + CD/算的先后顺序不变YiA +

6、 BCC + DVy2=ab+c+d+c不属于单个变量上的反号应保留不变 丿Y2=(A + B)CDC3对偶规则:如果两个表达式相等,则它们的对偶式也一定相等。将Y中”换成+号+”换成”“0”换成换成o”Yf(对偶式)例如 yx=A(B + C) + CD y; = (A + BC)(C+D)Y2=AB + C+D + C Y; = (A + B)CDC对偶规则的应用:证明等式成立0 0 = 0 1 + 1 = 1A A = 0 A + A = 1注意:对偶规则 同反演规则的区 别:变量不变换数字电子技术 3. L 3逻辑函数的代数变换与化简法1.逻辑函数的变换 一个特定逻辑问题,; 对应的真

7、值表是唯一的; ,代数表达式和电路却: 是多样的。:例:同或门电路。yL = A 9 AB + jB AB&cB ABABA AB1=AB(A + B)=AB + ABB AB&AB2、逻辑函数的化简Y=AB + AC 最简与或式最简 与非.与非式、ABAC1 乘积项(与项)的个 数最少; 变量的个数最少。最简或与非式(A+B)(A + C)核心最简与或非式AB + AC最简或非或非式最简或与式(A + B) (A + C) a + B+ A + C(3)关于逻辑函数的代数化简法(与或式公式定理最简与或式)并项法:A + A = 1例 Y =ABC + ABC + ABC + ABC= A(B

8、C + BC) + A (BC + BC)= ABC + A(BC)=A吸收法:A + AB = A例 Y =A_+A BC (A + BC + D) + BC= (A + BC) + (A + BC) (A + BC+D)= A + BC消去法:A + AB = A + B例Y=AB + AC + BC= AB + (A + B)C= AB + ABC =AB + C配项法:A=A (B + B) =AB+AB最简与或式乘积项的项数最少。每个乘积项中变量个数最少O利用 逻辑代数的基本公式提出AB例 1: F =ABC +ABC +ABC= ABC+AB(C+C)= ABC+AB= A(BC+

9、B)= A(C+反变量吸)-河匕工程大学信电铸跌一提出A=AC+AB例 2: F = AB + ABBC + BC= (AB + AW + (BC + BC)CS =AB +入玖至+ BC(A + A) + BC= AB + ABC + ABCzg=r)+ ABC + ABC + B=AB + ABC + ABC+ ABC + ABC + BC= AB + AC(B + B) + BC被吸收= AB + AC(B + B) + BC=AB + AC + BC- 数字电子技术 例3:证明Y = AB = AB +AB = A AB B AdB 右边=AAB + BAB; AB = A + B一一

10、一一-J = AAB + BAB; A = A=A (A + B) + B (A + B) ; A + B = A B= AA + AB + BA + BB ;展开= O + AB + BA + O=A B + B A=左边河匕工程大学 信电岗就 一数字电子技术 异或门可以用4个与非门实现:Y = AB = AB + AB = AABBABAB3代数法化简在使用中遇到的困难:1逻辑代数与普通代数的公式易混淆,化简过程要求对所有公式熟练掌握;2代数法化简无一套主善的方法可循,它依赖于人的经验 和灵活性;3用这种化简方法技巧强,较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难

11、。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。3-2逻辑函数的卡诺图化简法3、2、1最小项的定义及其性质 1、最小项的定义n个变量X. X2,,X的最小项是n个变量的乘积,每 个变量都以其原变量或非变量的形式在乘积项中出现,且仅出现一次。1)是n个变量的乘积(“与”形式) 2)最小项中包含所有变量 3)每个变量在最小项中出现,且只出现一次。包括所有变量的乘积项,每个变量均以原变 量或反变量的形式出现一次。Y =F(A,B )(2变量共有4个最小项)AB AB AB ABY =F(A,B,C)(3变量共有8个最小项)ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABCY=F(A,B,C

12、,D) ( 4变量共有16个最小项)ABCD ABCD 入万C万ABCD ABCD5 变量共有2个最小项)2、最小项的性质3变量全部最小项的真值表 对变量的任一组值,任意两个不同的最小项的乘积必为0。(3)对变量的任一组值,全部最小项的和必为1。3、最小项的编号把与最小项对应的变量取值当成二进制数,与之 相应的十进制数,就是该最小项的编号。对应规律:原变量o 1 反变量o 0I (二=1ABCABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC0000/1最小项的表示:通常用“表示最小项,加表示 最小项,下标i为最小项编号。100/A6m1%7m7 数字电子技术 3、2 2逻辑函数的最小项表

13、达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和,称为标准与或表达式,也称为最小项表达式y=A+BC=A(B + B)(C + C) + (A + A)BC=ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC=ABC + ABC + ABC + ABC + ABC=m0 4- mx + m2 + m3 4- m7= m(0, 1, 2, 3, 7 )- 数字电子技术 如果列出了函数的真值表,则只要将函数值为1的那些最 小项相加,便是函数的最小项表达式。ABCY最小项0 0 00=ABC0 0 11ni *0 101m2 m2=ABC0 111祝 310 00加4hm3=AB

14、C10 11叫1100m67 fm5=ABC1110m7Y = mj + m2 + m3 + m5 =工加 2,3,5)=ABC + ABC + ABC + ABC 数字电子技术 3、2、3用卡诺图表示逻辑函数1、卡诺图的引出卡诺图:将n变量的全部最小项都用小方块表示, 并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排 列起来,所得到的图形叫n变量的卡诺图。逻辑相邻:如果两个最小项只有_个变量互为反变 量”那么”就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项m6=ABC与 m7=ABC在逻辑上相邻m6 m7ABd + ABCF=l ABG + ABC + ABC4ABC+ABC=BC逻辑相邻下面举例说明

15、卡诺图的画法。一变量卡诺图:(设变量为D )m。D0二变量卡诺图:(设变量为C、D )、门01mm2m30C卡诺图的每一个方块(最小项)代表一种输入组合,并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。三变量卡诺图:(设变量为B、C、00 0110叫m3m2m4m5m7m6)0四变量卡诺图:(设变量为A、B、C、D )AB00mmim3m2m4msm7m6mi2mi3m15mi4m8m9mio01B10xCD 00011110(1)(2)邻接”的特点。;ABCD1ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD;“折叠展开”

16、I的法则演示a、新增加 的方格按照 展开方向应 标以新变量b、新的方格 内最小项编 号应为展开 前对应方格 编号加2nl数字电子技术 2、卡诺图的特点一变量到多变量的卡诺图之间遵循“折叠展开”的法则。 最小项之间具有“几何相邻,逻辑相邻”,即“循环数字电子技术卡诺图的实质:几何相邻:是指 在卡诺图上相接 和廂对的关萦。逻辑相邻几何相邻紧挨着V行或列的两头、对折起来位置重合;在卡诺图上接在一起的最小项之间一定是逻辑相邻!;卡诺图的缺点:函数的变量个数不宜超过6个。例:五变量的卡诺图 (三十二个最小项)AB00加0mx加3加2加6m7叫叫加8m9加10伊15加13tn 12加24m25r几何相邻3

17、1加29加28加16mYlm21加20m19叫m22加23CDE-000 001 011 OlOlllO 111 101 100 !011110以此轴为对称轴Q对折后位置重合)!变超以无图行 窮数个,用进。 个六时使法简 量过上法形化100001110101110001CD00 01 11 10穴=3、已知逻辑函数画卡诺图(1)将函数化为最小项之和的形式;(2 )在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格 填上1 ”其余的小方格填上0 (有时也可用空格表示), 任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格页型輕最 小项之和。卡诺例1 :已知逻辑函数的最小项表达式,AB 画出卡诺图。01L(ABCD

18、= 7(2,4,5,6,10,13,14,15数字电子技术 例|2:画出下式的卡诺图L(A,B, C, D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D) (A + B + C + D)(A + B + C + D)解1-先求原函数的反函数,并化为最小项表达式L = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD=三(610,13,2.画卡诺图111010 0 11110|根据反函数的表达式,在其最小项的芮格内填入o ,其余方格内填入1 ,i即得到原函数的卡诺图。四变量卡诺图单元格的编号:CDCDnlakooJHkolOOO1

19、口1001324576121315149111011 10- 数字电子技术 3、2、4用卡诺图化简逻辑函数1、化简的依据 应用互补律A+A=l可以逐步对2个(为整数)循环逻辑邻接的 削、塑營半鯉 mn竺鬥穿迺蟹工纱主;ABCD 4- ABCD = ABDABCD + ABCD = ABDABD + ABD = ADABD + ABD = ADAD + AD = D河匕工程大学信电削完丄卡诺图中最小项合并规律:(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子400 01 11 10000111104;迫.(9: ABC ABC = BCABCD + ABCD = BCDABC + ABC = AB A

20、BCD + ABCD = ABD(2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子;0:3 12/ii! 8:b ill丨 a000110CD00 01 11 10()(2.! 57:11315J10000110BD00 01 11 10CDBCBD叫 +m2+ms +m10=ABCD + ABCD + ABCD + ABCD =BD:巳:匚亠化入手is弋专炉匸00132/000、f201:4501;4:57=6 : 11121311=12131514:10891110:108 :_(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子BDB00 01 11 1000 01 11 10C总结:2个相邻最小项合并可以

21、消去n个因子数字电子技术2、化简的步骤(1) 将逻辑函数写成最小项表达式。(2) 按最小项表达式填卡诺图,凡式中包含的 最小项,其对应方格填-其余方格填0。(3 )合并最小项,即将循环相邻的1方格圈成一 组(包围圈),每一组含2个方格(最小项),对 应每个包围圈写出一个新的乘积项。(4)将所有包围圈对应乘积项相加。例1:用卡诺图化简逻辑函数Y = BCD + BC + ACD + ABC解化简步骤:(1) 画函数的卡诺图(2) 合并最小项:(3) 写出最简与或表达式01111000101?11:1_r -111:9 10(BC:111Y =BCABD + ABC画句围圈时应遵循以下原则,(1)包围圈内的方格数一定是2个f且包围圈必须 呈矩形。001001AD00000010h101001 11 100001100000/0000

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