高三数学教学内容参数方程极坐标

1、学科：数学教学内容：参数方程、极坐标一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为的直线l(如图)的参数方程是 (t为参数)(2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tg=的直线的参数方程是 (t不参数)

2、 在一般式中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,即为标准式，此时， t表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b21，则动点P到定点P0的距离是t.直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是 (t为参数)若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cos,y0+t1sin)(x0+t2cos,y0+t2sin)；(2)P1P2=t1-t2;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=中点P到定点P0的距离PP0=t=(4)若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.2.圆锥

3、曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是 (是参数)是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，0,2(见图) (2)椭圆 椭圆=1(ab0)的参数方程是 (为参数)椭圆 =1(ab0)的参数方程是 (为参数)3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一 不可.点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用表示线段OM的长度，表示射线Ox到OM的角度 ，那么叫做M点的极

4、径，叫做M点的极角，有序数对(,)叫做M点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程： (为参数)则圆上点P坐标为(2+5cos，1+5sin)，它到所给直线的距离为d=4cos+3sin +6=5（cos+sin）+ =5cos(-)+ ，其中cos=，sin=

5、.故当cos(-)=1，即=时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(-)=-1,即=-时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出 现.例2 极坐标方程表示的曲线C1=f(),C2=-f()必定是( )A.关于直线=对称 B. 关于极点对称C.关于极轴对称 D.同一曲线解：因(，)与(-，+)表示相同的点，故选D.(三)综合例题赏析例3 椭圆 (是参数)的两个焦点坐标是( )A.(-3，5)，(-3，-3) B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，

6、1) D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得=1a2=25,b2=9,得c2,c=4.F(x-3,y+1)=F(0,4)在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4 参数方程 (0 2)表示( )A.双曲线的一支，这支过点(1，)B.抛物线的一部分，这部分过(1，)C.双曲线的一支，这支过(-1，)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)解：由参数式得x2=1+sin=2y(x0)即y=x2(x0).应选B.例5 曲线的参数方程为 (0t5)则曲线是( )A.线段 B.双曲线的一支C.圆弧 D.射线解 消去t2得，x-2=3(y-1)是直线又由0t5,得2x7

7、7,故为线段应选A.例6 下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同 一曲线的方程是( )A. B.C. D.解：普通方程x2-y中的xR，y0，A.中x=t0，B. 中x=cost-1,1，故排除A.和B.C.中y=ctg 2t=，即x2y=1，故排除C.应选D.例7 曲线的极坐标方程=sin化 成直角坐标方程为( )A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4解：将=，sin=代入=4sin，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.应选B.例8 极坐标=cos(-)表示的曲线是( )A.双曲线 B.椭圆 C.抛

8、物线 D.圆解：原极坐标方程化为=(cos+sin )；2=cos+sin，普通方程为 (x2+y2)=x+y，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆=4sin相切 的条直线的方程是( )A.sin=2 B.cos =2C.cos=-2 D.cos=-4解：如图.C的极坐标方程为=4sin，COOX,OA为直径，OA=4,l和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(,)为l上任意一点，则有cos=，得cos=2，应选B.例10 极坐标方程4sin2=3表示曲线是 ( )A.两条射线 B.两条相交直线C.圆 D.抛物线解：由4sin2=3,得43,即y2=3 x2，y=x,它表示两相交直线.应选

9、B.【同步达纲练习】 (一)选择题1.点P的直角坐标为(1，-)，则点P的极坐标为( )A.(2，) B.(2，) C.(2，-) D.(-2，-)2.直线：3x-4y-9=0与圆：，(为参数)的位置关系是( )A.相切 B.相离C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心3.若(x，y)与(，)(R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲 线：=和sin=；=和tg=，2-9=0和= 3；和.其中表示相同曲线的组数为( )A.1 B.2 C.3 D.44.设M(1，1)，N(2，2)两点的极坐标同时满足下列关系：1+2=0 ，1+2=0，则M，N两点位置关系是( )A.重合 B.关

10、于极点对称C.关于直线= D.关于极轴对称5.实数x,y，满足x+yi=(cos+isin)(3cos+isin),当变化时，点(x,y)的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆6.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数的参数方程是( )A. B. C. D.7.将参数方程(m是参数，ab0)化为普通方程是( )A. =1(xa) B. =1(x-a )C. =1(xa) D. =1(x-a )8.把极坐标方程=2sin(+)化为直角坐标方程为( )A.(x-)2+(y-)2=1 B.y2=2(x-)C.(x-)(y-)=0 D.19.参数方程 (t

11、为参数)所表示的曲线是 ( )A.一条射线 B.两条射线C.一条直线 D.两条直线10.双曲线 (为参数)的渐近线方程为( )A.y-1=(x+2) B.y=xC.y-1=2(x+2) D.y+1=2(x-2)11.直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则直线的倾斜角为( )A.或 B. 或 C. 或 D.- 或-12.已知曲线(t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为( )A.2p(t1+t2) B.2p(t21+t22)C.2p(t1-t2) D.2p(t1-t2)213.若点P(x，y)在单位圆上以角速度按逆时针方向运动，点M(-2xy，y2

12、-x2)也在单位 圆上运动，其运动规律是( )A.角速度，顺时针方向 B.角速度，逆时针方向C.角速度2,顺时针方向 D.角速度2，逆时针方向14.已知过曲线 (为参数，且0)上一点P 与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )A.(3，4) B.(，2)C.(-3，-4) D.(，)15.直线=与直线l关于 直线=(R)对称，则l的方程是( )A.= B.=C.= D.=(二)填空题16.双曲线 的中心坐标是 .17.参数方程(为参数)化成普通方程为 .18.极坐标方程cos(-)=1的直角坐标方程是 .19.抛物线y2=2px(p0)的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段，则= .

13、(三)解答题20.设椭圆(为参数) 上一点P，若点P在第一象限，且xOP=，求点P的坐 标.21.曲线C的方程为 (p0，t为参数)，当t-1，2时 ，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且SAFB=14，求P的值.22.已知过点P(1，-2)，倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m(1)m取何值时，直线l和抛物线交于两点?(2)m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为. 23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线 ( 为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.24.A，B为椭圆=1，(ab0) 上的两点，且OAOB，求AOB的面积的最大值和最小值.25.坐标平面上有动点P(cos2t+sin2t,-cos2t+sin2t),Q(cost-sint,cost+sint),t0,当t变化时：(1)求P，Q两动点的轨迹；(2)当PQ时，求t的值.参考答案【同步达纲练习】(一)1.