计量经济学第6章假设检验

1、第,6,章,回归模型的假设检验,回归分析,是要判断,解释变量,X,是否是,被解释变,量,Y,的一个显著性的影响因素。,在,一元线性模型,中，就是要判断,X,是否对,Y,具有,显著的线性性影响。这就需要进行,变量的显著性,检验。,变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学,中的,假设检验,。,计量经计学中,，主要是针对变量的参数真值是,否为零来进行显著性检验的。,第一节,假设检验,?,所谓,假设检验,，,就是事先对总体参数或总体分,布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断,原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否,有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设,。,?,假设检验采用的逻辑推理方法是反

2、证法。,先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察,由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否,接受原假设。,?,判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易,发生”这一原理的,1,、显著性检验,t,检验,),(,?,2,2,1,1,?,i,x,N,?,?,?,),2,(,?,?,?,1,?,1,1,2,2,1,1,?,?,?,?,?,?,n,t,S,x,t,i,?,?,?,?,?,?,t,值是用来检验根据,OLS,估计出来的回归系数是否显著,的统计量。,检验步骤：,（,1,）对总体参数提出假设,H,0,：,?,1,=0,，,H,1,：,?,1,?,0,（,2,）以原假设,H,0,构造,t,统计量，

3、并由样本计算其值,（,3,）给定显著性水平,?,，查,t,分布表，得临界值,t,?,/2,(n-2),(4),比较，判断,若,|t|,t,?,/2,(n-2),，则拒绝,H,0,，接受,H,1,；,若,|t|,?,t,?,/2,(n-2),，则拒绝,H,1,，接受,H,0,；,T=,1,1,(,2),(,),b,t,n,S,b,?,:,对于一元线性回归方程中的,?,0,，可构造如下,t,统计量进行显著性检验：,),2,(,?,?,?,0,?,0,2,2,2,0,0,?,?,?,?,?,?,n,t,S,x,n,X,t,i,i,?,?,?,?,?,在上述,收入,-,消费支出,例中，首先计算,?,2

4、,的估计值,13402,2,10,7425000,777,.,0,4590020,2,?,2,?,2,2,2,1,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,x,y,n,e,i,i,i,?,?,0425,.,0,0018,.,0,7425000,/,13402,?,2,2,?,1,?,?,?,?,?,i,x,S,?,?,41,.,98,7425000,10,/,53650000,13402,?,2,2,2,?,0,?,?,?,?,?,?,?,i,i,x,n,X,S,?,?,t,统计量的计算结果分别为：,29,.,18,0425,.,0,777,.,0,?,1,?,1,1

5、,?,?,?,?,?,S,t,048,.,1,41,.,98,17,.,103,?,0,?,0,0,?,?,?,?,?,?,?,S,t,给定显著性水平,?,=0.05,，查,t,分布表得临界值,t,0.05/2,(8)=2.306,|t,1,|2.306,，说明,家庭可支配收入在,95%,的置信,度下显著，即是消费支出的主要解释变量；,|t,2,|,2.306,表明在,95%,的置信度下，无法拒绝截,距项为零的假设。,2,、显著性检验,F,检验,F,检验属于回归方程的显著性检验，它是对所有参数感兴趣的,一种显著性检验。其检验步骤为：,第一步：提出假设。,原假设,H,0,：,（,同时为零）,备择

6、假设,H,1,：,不同时为零,0,1,?,?,，,0,1,?,?,?,=0,0,1,?,?,，,第二步：构造,F,统计量。,可以证明：,1,(1,2),(,2),ESS,F,F,n,RSS,n,?,?,?,:,(2.4.6),即,F,统计量服从第一自由度为，第二自由度为,n-2,的,t,分布。,F,统计量的计算一般通过下列方差分析表进行。,表,2.4.2,方差分析表,变差来源,平方和,自由度,均方,F,统计量,回归,残差,ESS,RSS,1,2,n,?,ESS,2,2,e,RSS,n,S,?,?,1,(,2),ESS,F,RSS,n,?,?,总变差,TSS,1,n,?,2,1,y,TSS,n,

7、S,?,?,第三步：给定显著水平,，查,F,分布临界值得到,第四步：做出统计决策,?,(1,2),F,n,?,?,例,2.3.2,仍以例,2.2.1,资料为例，,F,检验过程如下：,第一步：提出假设。,原假设,H,0,：,（,同时为零）,备择假设,H,1,：,不同时为零,0,1,?,?,，,0,1,?,?,?,=0,0,1,?,?,，,第二步：计算,F,统计量,因为,ESS,1602708.6 (,计算过程见表,2.4.3),或直接取自输出结果,2.2.1,中的方差分析部分“回归分析（行）,SS,（列）”,(1602708.6),。,2,1,?,(,),n,i,i,RSS,y,y,?,?,?,

8、?,40158.071 (,计算过程见计算表,2.3.3),或直接取,自输出结果,2.2.1,中的方差分析部分“残差（行）,SS,（列）”,(40158.071),。,(,见方差分析表,2.3.4),1602708.6/1,1,399.09999,40158.071 /10,(,2),ESS,F,RSS,n,?,?,?,?,或直接取自输出结果,2.2.1,中的方差分析部分“回归分析（行）,F,（列）”,(399.09999),。,(,见表,2.4.4),表,2.4.3,计算表,汽车销售量（辆）,y,广告费（万元）,x,?,i,y,2,?,(,),i,i,y,y,?,2,?,(,),i,y,y,

9、?,1000,1100,1250,1280,1360,1480,1500,1720,1800,1890,2100,2200,357,385,420,406,490,525,602,651,735,721,840,924,1087.996761,1144.805205,1215.81576,1187.411538,1357.83687,1428.847425,1585.070646,1684.485423,1854.910755,1826.506533,2067.94242,2238.367752,7743.429946,2007.506395,1168.562264,8572.623296,4

10、.679131397,2616.585929,7237.014811,1261.285179,3015.191015,4031.420352,1027.688435,1472.084394,219651.4805,169629.8636,116179.3406,136349.35,39533.28804,16337.75854,806.786042,16337.63447,88949.53623,72813.55346,261402.8959,464716.3697,表,2.4.4,方差分析表,方差分析,变差来源,df,SS,MS,F,Significance F,回归,1 1602708.6

11、,1602708.6,399.09999,2.16982E-09,残差,10 40158.071,4015.8071,总计,11 1642866.7,第三步：给定显著水平,5%,?,?,，查,F,分布临界值得到,0.05,(1,10),4.96,F,?,第四步：做出统计决策,，所以我们拒绝原假设,0,H,，接受备择假设，认为,x,与,y,关系显著即回归方程显著，,F,检验通过。,因为,F=399.09999,0.05,(1,10),4.96,F,?,?,三，结构变化的,F,检验,结构变化的,F,检验，也成为,Chow test,，用于调查，检验经济分析中一个极其重,要的问题，即,“,是否存在结

12、构变化,”。,步骤,1,：在利用时间序列所做的回归分析中，找,出估算期间内发生结构变化的时点（分界点）,，以此时点为标准，将期间分为前期和后期。,步骤,2,：,对前期，后期，全部期间进行回归分析,，求各自的残差平方和,。,步骤,3,：,根据结构变化的,F,检验公式，计算,F,值。,R,S,R,S,SSR,S,2,S,1,:,1,SSR,前期的残差平方和,:,1,n,前期的样本数,:,2,SSR,后期的残差平房和,:,2,n,后期的样本数,:,SRR,全部期间的残差平方和,:,k,解释变量的数,（,1,）,，,1,1,2,1,?,?,?,?,k,n,k,n,的情形。,结构变化的,F,检验为,1,

13、),1,(,2,2,S,1,),2,1,S,(,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,k,k,n,n,R,S,SSR,SSR,R,S,SSR,F,（,2,）,，,1,1,?,?,k,n,的情形（以及,),1,1,?,?,k,n,2,1,),1,(,1,1,n,k,n,SSR,SSR,SSR,F,?,?,?,?,?,步骤,4:,利用,F,分布表，对步骤,3,计算出的,F,值进行检验。在,检验时，分别就上述（,1,）的情形中，自由度（分子，分,母）,=,，,(2),的情形中，自由度,进行,F,检验。,如果计算出的,F,值,大于,F,分布表中的判,定值，放弃“前期的回归系数与后期的回,归系数完

14、全相等”的假设，,说明出现了结,构性变化。,相反，如果计算出的,F,值小于,F,分布表中的判定值，不放弃“前期的回,归系数与后期的回归系数完全相等”的假,设，说明没有发生结构性变化。,),2,2,1,(,2,1,?,?,?,?,k,n,n,k,),1,(,1,2,?,?,k,n,n,4,、相关系数检验（,r-Test,）,由于一元线性回归方程研究的是变量,x,与变量,y,之间的线性相关,关系，所以我们可以用反映变量,x,与变量,y,之间的相关关系密切,程度的相关系数来检验回归方程的显著性。,由于总体相关系数定义为,ov(,),(,),(,),C,x,y,Var,x,Var,y,?,?,设,(,

15、),1,2,.,i,i,x,y,i,n,?,是,(,),x,y,的,n,组样本观测值，则我们称,1,2,2,1,1,(,)(,),(,),(,),n,i,n,n,i,i,i,i,x,x,y,y,Lxy,r,LxxLyy,x,x,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,2,2,2,2,1,1,1,1,n,n,n,i,i,i,i,i,i,i,n,n,n,n,i,i,i,i,i,i,i,i,n,x,y,x,y,n,x,x,n,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

16、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,Lxx,b,Lyy,?,其中,xy,L,?,1,(,)(,),n,i,x,x,y,y,?,?,?,?,xx,L,?,2,1,(,),n,i,i,x,x,?,?,?,yy,L,?,2,1,(,),n,i,i,y,y,?,?,?,为,x,与,y,的简单线性相关系数，简称相关系数。它表示,x,和,y,的线,性相,关关系的密切程度。其取值范围为,|r| 1,，即,-1 r 1,。,?,?,?,当,r=-1,时，表示,x,与,y,之间完全负相关；,当,r=1,时，表示,x,与,y,之间完全正相关；,当,r=0,时，表示,x,与,y,之间无线性相关关系，即说

17、明,x,与,y,可,能无相关关系或,x,与,y,之间存在非线性相关关系。,5,、四种检验的关系,前面介绍了,t,检验、拟合优度（,）检验、,F,检验和相关,系数（,r,）检验，对于一元线性回归方程来说，可以证,明，这四种检验：,2,R,2,2,1,r,n,t,r,?,?,?,(2.4.8),2,(,2),F,R,n,F,?,?,?,(2.4.9),2,F,t,?,(2.4.10),2,r,R,?,(2.4.11),因此，对于一元线性回归方程，我们只需作其中的一种检验,即可。但对于多元线性回归方程这四种检验有着不同的意义，,并不是等价的，需分别进行检验。,是等价的。,5,、回归方程的标准记法,为

18、了方便，我们往往将回归方程的参数估计和系数的显著性检,验统计量结果放在一起。例如，对于例,2.2.1,，我们可以采用以,下标准记法：,363.6891 + 2.028873x,S,（,62.455288,）,（,0.101558,）,t,（,）（,）,?,i,y,*,5.8231909,*,19.977487,有时,S,（回归系数的标准差，有时也记为,）也可不写；,t,统计,量右上角,*,的表示显著性水平的大小，,*,一般表示在显著性水平,1,下显著，,*,一般表示在显著性水平,5,下显著，无,*,表示,5,下,不显著。,e,S,第,2,节,预测与控制,一、预测,（点预测、区间预测）,二、控制

19、,对于一元线性回归模型,i,i,X,Y,1,0,?,?,?,?,?,?,?,给定样本以外的解释变量的观测值,X,0,，可以得到被解,释变量的预测值,?,0,，可以此作为其,条件均值,E(Y|X=X,0,),或,个别值,Y,0,的一个近似估计,注意：,严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计,值，而不是预测值。,原因,:,（,1,）参数估计量不确定；,（,2,）随机项的影响,一、预测,（一）点预测,即,0,?,y,是,0,(,),E,y,的无偏估计量，但不是,0,y,的无偏估计量。但,0,0,?,(,),0,E,y,y,?,?,，说明预测误差,0,0,?,(,),y,y,?,在多次,观察中，平均

20、值趋于零。因此，也可以用,0,?,y,作为,0,y,的点估计值。,于是，我们把点预测分为两种：一是平均值的点预测，二是,个别值的点预测。利用回归方程，对于,x,的一个固定值，推算,出,y,的平均值的一个估计值，就是平均值的点预测；如果对于,x,的一个特定值，推算出,y,的一个个别值的估计值，则属于个别,值的点预测。,例,2.5.1,仍以例,2.2.1,资料为例，若要估计广告费用为,1000,万元,时，所有,12,个汽车销售分公司的汽车,销售量的平均数为,0,(,),E,y,363.6891,2.028873,?,1000,?,2393,（辆），,就是平均值的点预测；若要估计广告费用为,602,

21、万元的那个汽车,销售分公司的汽车销售量为,0,?,y,363.6891,2.028873,?,602,1585,（辆）,就属于个别值的点预测。,(,二,),、区间预测值,1,、总体均值预测值的置信区间,由于,0,1,0,0,?,?,?,X,Y,?,?,?,?,),(,?,2,2,1,1,?,i,x,N,?,?,?,),(,?,2,2,2,0,0,?,?,?,?,?,i,i,x,n,X,N,),?,(,),?,?,(,2,),?,(,),?,(,1,2,0,1,0,0,0,0,?,?,?,?,Var,X,Cov,X,Var,Y,Var,?,?,?,0,1,0,1,0,0,0,),?,(,),?,

22、(,),?,(,X,E,X,E,Y,E,?,?,?,?,?,?,?,?,于是,可以证明,?,?,?,2,2,1,0,/,),?,?,(,i,x,X,Cov,?,?,?,因此,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,0,2,2,0,2,2,2,0,2,),?,(,i,i,i,i,x,X,x,X,X,x,n,X,Y,Var,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,0,0,2,2,2,2,2,2,X,X,X,X,n,X,n,X,x,i,i,?,),),(,(,2,0,2,2,2,X,X,n,x,x,i,i,?,?,?,?,?,?,故,),),(,1,(,(,?,2

23、,2,0,2,0,1,0,0,?,?,?,?,i,x,X,X,n,X,N,Y,?,?,?,),2,(,),(,?,0,?,0,1,0,0,?,?,?,?,n,t,S,X,Y,t,Y,?,?,),),(,1,(,?,2,2,0,2,?,0,?,?,?,?,i,Y,x,X,X,n,S,?,其中,于是，在,1-,?,的置信度下，,总体均值,E(Y|X,0,),的置信区间为,0,2,0,2,?,0,0,?,0,?,),|,(,?,Y,Y,S,t,Y,X,Y,E,S,t,Y,?,?,?,?,?,?,?,?,2,、总体个值预测值的预测区间,由,Y,0,=,?,0,+,?,1,X,0,+,?,知,:,),(

24、,2,0,1,0,0,?,?,?,X,N,Y,?,于是,),),(,1,1,(,0,(,?,2,2,0,2,0,0,?,?,?,?,?,i,x,X,X,n,N,Y,Y,?,),2,(,?,0,0,?,0,0,?,?,?,?,n,t,S,Y,Y,t,Y,Y,式中,:,),),(,1,1,(,?,2,2,0,2,?,0,0,?,?,?,?,?,?,i,Y,Y,x,X,X,n,S,?,从而在,1-,?,的置信度下，,Y,0,的置信区间,为,0,0,2,0,2,?,0,0,0,?,0,?,?,Y,Y,Y,Y,S,t,Y,Y,S,t,Y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,在上述,收入,-,消费支出

25、,例中，得到的样本回归函数为,i,i,X,Y,777,.,0,172,.,103,?,?,?,?,则在,X,0,=1000,处，,?,0,=,103.172+0.777,1000=673.84,29,.,3727,7425000,),2150,1000,(,10,1,13402,),?,(,2,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,Y,Var,而,05,.,61,),?,(,0,?,Y,S,因此，,总体均值,E(Y|X=1000),的,95%,的置信区间为：,673.84-2.306,?,61.05,E(Y|X=1000),673.84+2.306,?,61.05,或,（,533.05,

26、 814.62,）,同样地，对于,Y,在,X=1000,的,个体值,，其,95%,的置信区间为：,673.84 -,2.306,?,61.05Y,x=1000,673.84 + 2.306,?,61.05,或,(372.03, 975.65),?总体回归函数的,置信带（域）,（,confidence band,）,?,个体的,置信带（域）,对于,Y,的总体均值,E(Y|X),与个体值的预测区间（置信,区间）,:,（,1,）,样本容量,n,越大，预测精度越高，反之预测精,度越低；,（,2,）,样本容量一定时，置信带的宽度当在,X,均值处,最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；,X,越,远离其

27、均值，置信带越宽，预测可信度下降。,二、控制,所谓控制实际上就是预测的反问题。,即若因变量,y,取值于一定范围内，例如,，,已经给定，求自变量,x,应控制在什么范围内。这等价于求,与,，使得当,时，因变量,y,以,1-,的,概率取值于,。,1,2,y,y,y,?,?,1,2,y,y,和,1,x,2,x,1,2,1,2,(,),(,),Min,x,x,x,Max,x,x,?,?,?,1,2,(,),y,y,对于个别值的区间预测,1,0,1,1,0,0,2,2,0,1,2,0,0,2,?,(,2),(,),?,(,2),(,),y,b,b,x,t,n,Var,y,y,y,b,b,x,t,n,Var

28、,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,由,可以解出,1,x,与,2,x,作为,x,的控制限。,但应注意，要实现控制必须,，即应有,1,2,0,x,x,?,?,2,1,0,0,2,?,(,2),(,),0,y,y,t,n,Var,y,y,?,?,?,?,?,f,从而,1,y,和,2,y,应满足,2,1,0,0,2,?,2,(,2),(,),y,y,t,n,Var,y,y,?,?,?,?,f,当此条件满足时，,1,2,1,2,(,(,),(,),Min,x,x,Max,x,x,即为,x,的控制范围。,同理，对于平均值的区间预测,2,1,0,1,1,0,0,2

29、,2,2,0,1,2,0,0,2,?,(,2),(,(,),?,(,2),(,(,),y,b,b,x,t,n,Var,y,E,y,y,b,b,x,t,n,Var,y,E,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,由,可以解出,1,x,与,2,x,作为,x,的控制限。,第,3,节,案例：一元线性回归模,型的应用,已知某地区,1978,年,2003,年的国内生产总值,GDP,与货运周转,量的数据如下表所示：,年,份,GDP,(,亿元,),货运周转量,（亿吨公里）,年,份,GDP,(,亿元,),货运周转量,（,亿,吨,公,里）,1978,1979,1980,1981,1

30、982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990,5.0,8.7,12.0,16.0,19.0,22.0,25.0,28.0,36.0,40.0,41.0,32.0,34.0,9.0,12.0,14.0,15.0,17.0,20.0,20.5,23.5,30.0,35.0,32.0,24.0,28.0,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,44.0,47.0,54.0,56.5,56.0,57.0,59.0,63.0,66.5,67.0,70.5,70.6,73.0

31、,32.0,34.0,37.0,40.0,44.0,43.5,43.5,43.5,44.0,45.5,47.0,46.0,52.0,试对其进行一元线性回归分析。若,2005,年国内生产总值,GDP,达,到,80,亿元，试对其货运周转量做出区间预测,。,(,5%),?,?,一、相关分析,绘制散点图，以观察国内生产总值,GDP,与货运周转量之间的,关系形态。,用,Excel,软件制作散点图的步骤如下：,第一步：选择“插入”下拉菜单。,第二步：选择“图表”选项,第三步：选择,XY,散点图。,第四步：输入数据区域。,第五步：定义,X,轴为“国内生产总值,GDP,”、,Y,轴为“货运周,转量”。,第六步：选择新工作表插入还是作为其中的对象插入,(,在这里,我们选择作为其中的对象插入,),。按“完成”。图形如,2.6.1,所,0,10,20,30,40,50,60,0,20,40,60,80,由图,2.6.1,可以看出，国内生产总值,GDP,与货运周转量之间具,有线性相关关系。于是我们可以对国内生产总值,x,与货运周转,量,y,建立一元线性回归方程,?,i,y,0,1,b,b,?,?,i,x,进行回归分析。,二、回归分析,用,Excel,软件进行回归计算的步骤如下：,第一步：选择“工具”下拉菜单。,第二步：选择“数