高三复习数学归纳法

1、 数学归纳法编写人：雷州八中高三数学组 审稿人： 2014/3/3【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2.掌握数学归纳法证明问题的方法。3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。【重点、难点】重点：数学归纳法。难点：用数学归纳法证明一些简单的数学命题。【自主探究】1、数学归纳法是用来证明与正整数有关的数学命题的一种方法。2、数学归纳法的基本步骤是：（1）（猜想）（2）（归纳奠基）验证：n=1时，命题成立。（3）（归纳递推）在假设当n=k(k1)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时，命题成立。根据（1）（2）（3）可证明命题对一切正整数n都成立。【合作探究】1、用数

2、学归纳法证明：12+22+n2=(n是正整数)证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=1,等式成立.（2）假设当n=k时等式成立,即12+22+k2=.则当n=k+1时，由假设12+22+ k2 +( k+1)2=+( k+1)2=即当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)知对于nN+等式成立.反思：在数学归纳法中最困难的一步是证明当n=k+1 时命题也成立，分析n=k+1 命题是什么，并找出与n=k 时命题形式的差别，弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握代数变形的常用方法：乘法公式、因式分解、配方、添项、拆项、放缩等。2、已知数列猜想Sn的表达式,并证明. （试值S1,S2,

3、S3,S4猜想Sn）用数学归纳法证明。解：小结：讨论如何直接求此题的Sn.（裂项相消法）探索性问题的解决过程(试值猜想归纳证明).3、比较2n 与 n2 的大小解：n=1时2112即2n n2 ， n=2时22=22即2n=n2n=3时即， n=4时即n=5时即， n=6时即（1）猜想：当n5时, 下面用数学归纳法证明：（2）当n=5时，由上已知，猜想正确.（3）假设n=k()时，猜想正确.即当n=k+1时,即n=k+1时，猜想也正确。由（1）（2）（3）知n5时, 【对抗质疑】用数学归纳法证明不等式（nN），某学生的如下证明过程是否正确？（1）, 不等式成立。（2）假设时不等式成立，即不等式

4、成立。由上述（1）（2）得原不等式成立。分析：上述的证明方法表面上似乎是“数学归纳法”，其实不是。因为第二步由n=k推导n=k+1时没有用到归纳假设来证明不等式成立，数学归纳法的实质在于递推，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“”时的命题。【巩固提高】1、利用数学归纳法证明“1aa2an1=， (a1，nN)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ C ）(A)1 (B)1a (C)1aa2 (D)1aa2a3 2、用数学归纳法证明不等式“,的过程中，当由变到时，左边增加了（ C ）(A)1项 (B) (C)项 (D) 项3、已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设为偶数）时命题为真

5、，则还需要用归纳假设再证（ B ）A时等式成立B时等式成立C时等式成立D时等式成立4、数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n1时，Sn=（ B ）ABCD15、已知数列an满足Snan2n1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论。解： (1) a1, a2, a3 猜测 an2 ？ (2) 由（1）已得当n1时，命题成立； 假设nk时,命题成立，即 ak2, 当nk1时, a1a2akak1ak12(k1)1, 且a1a2ak2k1ak 2k1ak2ak12(k1)12k3, 2ak122, ak12, 即当nk1时,命题成立. 由上述、得命题成立。【方法小结】：数学归纳