《金融数学》课件6债券和股票

1、1,债券和股票Bonds and stocks,孟生旺 中国人民大学统计学院,2,一、债券(bond),含义：债的证明书。投资者和发行者之间债权债务关系的法律凭证和契约。 基本要素： 票面价值（面值）：我国一般为100元，美国一般为100或1000美元。 价格：平价，溢价，折价 偿还期限：长期（10年以上），中期（110），短期（1年以内）。 票面利率。根据利息支付方式，可分为附息债券（coupon）和零息债券（zero-coupon）。,3,政府债券 国债 地方政府债券 金融债券 公司债券,债券的种类：,4,债券定价的基本原理,P 债券的价格(bond price) i 债券的到期收益率（y

2、ield-to-maturity rate), internal rate of return on the bond. F 债券的面值（par value，face amount, nominal value） r 债券的息票率（coupon rate per payment period） rF 息票收入(coupon) C 债券的偿还值（redemption payment），通常等于债券的面值，即C = F。例外：提前偿还时，偿还值不等于债券的面值。,5,g 修正息票率（modified coupon rate, coupon rate per payment period in te

3、rms of the redemption amount），是息票 收入与偿还值C的比率，即g = rF/C。因此，gC = rF。 n 息票的支付次数(number of coupon payments)。 G 基价（base amount of a bond）。把基价按利率 i投资，每期产生的利息收入将等于息票收入，即iG = rF。 息票收入等式：rF = gC = iG。,6,衡量息票收入的三个指标：,7,债券价格的计算：四种方法。 （1）基本公式 债券的价格等于按市场利率 i 计算的未来息票收入的现值与偿还值的现值之和，即 可见，债券的价格与市场利率成反比关系。,F 债券的面值 C

4、债券的偿还值 r 债券的息票率,8,对上式求关于 i 的一阶和二阶导数，可得 一阶导数小于零，说明P 是i 的减函数。 二阶导数大于零，说明 P 是i 的凸函数（下凸），如图所示。,9,债券价格与市场利率关系,当市场利率下降时，债券价格将以加速度上升； 当市场利率上升时，债券价格将以减速度下降。,10,（2）溢价公式（premium/discount formula） P = rF + Cvn = rF + C(1 i ) = C+(rFiC) = C + (gC iC) = C1 + (g i) 见下页解释,11,溢价公式的一种解释：,C,iC,iC,iC,iC C,P,rF,rF,rF,r

5、F C,12,当价格 P 超过偿还值 C 时，就称按溢价(premium)出售 溢价 = P C = C (g i) 当溢价为零时，修正息票率g将等于收益率i。 当债券的价格P小于其偿还值C，债券就按折价（discount）出售，即负的溢价。,13,债券的账面值（book value)：持有人在债券上的投资余额。Based on the yield at which the bond is purchased (which is known as a book yield).,期初：,第1期末：,第 t 期末：,第 n 期末：,14,相邻两个账面值之差就是各年的溢价补偿金额(premium a

6、mortization amount)：,上述溢价补偿金额之和为：,15,例：债券的面值为1000元，年息票率为6%，期限为3年， 到期按面值偿还。投资者所要求的收益率为5%，试 计算债券的价格以及投资者在各年末的帐面值。 解： F (面值) = C (偿还值)，故息票率 r = 修正息票率 g。 已知：F = C = 1000，r = g = 6%，i = 5%，用溢价公式： 债券价格超过了偿还值，溢价金额为27.23元。,16,下面分析溢价将在以后各期如何获得补偿。 投资者在第一年应该得到的利息收入为 1027.230.05 = 51.36（元） 第一年实际得到的息票收入为 10000.0

7、6 = 60（元） 息票收入超过了利息收入，这个差额被称作溢价补偿金额(premium amortization amount)。第一年的溢价补偿金额为 60 51.36 = 8.64（元）,17,从第一年初的帐面值中减去第一年的溢价补偿金额即得第二年初的帐面值为 1027.23 8.64 = 1018.59（元） 以后各年的帐面值和溢价补偿金额如下表所示。,注：溢价补偿金额的总和正好等于购买价超过到期偿还值的金额，即溢价(premium)。,18,（3）基价公式（base amount formula） 基价是投资者为了获得与息票rF相等的周期性收益所必须的投资额，即iG = rF。基价公式

8、：,解释（下页）,19,解释：P = G + (C G) vn 如将基价G按i投资，可获得周期性收益（iG = rF），到期获得G的偿还值。 如购买债券，可获得周期性收入rF，到期获得C的偿还值。 购买债券多获得(C G)的偿还值，其现值为(C G)vn，故购买债券应该多支付(C G)vn。,20,（4）Makeham公式 息票收入rF = gC，故由基本公式得 K是偿还值 C 的现值， 是息票收入的现值。 如修正息票率 g与收益率 i 相等，则P 等于偿还值C。,21,分期偿还债券的价格（Makeham 公式的一个应用）,分期偿还债券：在不同的时间分期进行偿还 。 假设某债券的面值为1000

9、元，年度息票率为5%，从第6年末开始，发行人每年末偿还205元，直至第10年末还清。这个分期偿还债券的系列付款如下表所示。,22,如果市场利率为6%，则偿还值的现值为 未来息票收入的现值为 因此上述债券的价格为 645.28 + 308.71 = 953.99（元）,23,应用Makeham公式可以简化计算过程： 应用该公式，只需要：偿还值及其现值，修正息票率g，利率 i。 将上述债券分解为5种面值均为200元，偿还值均为205元，偿还期分别为6，7，10的债券。,24,如果分解后的每种债券具有相同的修正息票率g， 第s（s = 1，2，3，4，5）个债券的价格可表示为 则原债券的价格为,25

10、,在上例中，每个债券的修正息票率均为 g = 2005%205 = 0.04878 5种债券的偿还值之和为 5种债券的偿还值的现值之和为 所以原债券的价格为,26,债券价格的计算公式（小结）：,基本公式,溢价公式,基价公式,Makeham公式,27,债券在任意时点上的价格和帐面值,任意时点上债券的价格（假设利率不变，为 i ） 设： 债券在上一个息票支付日期的价格为P0 下一个息票支付日期的价格为P1 用 Pt 表示在两个息票支付日期之间的价格（0 t 1）,0,t,1,P0,Pt,P1,时间,价格,28,债券在时间 t 的价格可用两种方法计算： Pt = (1 + i)t P0 （过去法）

11、Pt = (rF + P1) (1 + i) (1 t) （将来法） 这两式是等价的，证明如下： P0和P1存在下述关系： P1 = P0(1 + i) rF 或 rF +P1 = P0(1 + i) 代入将来法公式，即证。 注： Pt中包含在时间1到期的部分息票收入，P1不包含。,29,任意时点上债券的帐面值（假设利率不变，为 i ）,账面值：实际投资余额。在息票支付日，账面值等于债券价格，在其他时点，要从价格中扣除应计息票收入。 假设在时间0的价格（等于帐面值）为P0 按复利计算，在时间 t（0 t 1）的价格为 Pt = (1 + i) tP0 从此价格中扣除应计息票收入，即得在时间 t

12、 的帐面值 为 其中(rF)t表示从时间0到时间t的应计息票收入。实际的息票收入只能在时间1领取。,30,应计息票收入可以有两种计算方法： 按复利计算（如果期末的利息收入为rF, 则期初的本金应为 rF/i ） 按单利近似计算 (rF) t = t rF,31,债券的帐面值可按下述三种方法计算： 理论方法：按复利精确计算 半理论方法：将应计息票收入按单利近似计算 实践方法：用单利近似计算,32,例：债券的面值为1000元，年息票率为6%，每年末支付一次利息，期限为3年，到期按面值偿还。市场利率为8%，试计算债券在购买6个月后的价格和帐面值。,解：已知： C = F= 1000， r = g =

13、 6%， n = 3， i= 8% 所以债券在购买日的价格为 在购买6个月后的价格为 Pt = (1 + i) tP0 = 948.46(1 + 0.08)0.5 = 985.67（元）,33,在购买6个月后的帐面值等于价格扣除应计息票收入： 理论方法： 半理论方法： 实践方法：,34,债券在每个季度末的价格和帐面值表（单位：元）,账面值 = 价格 - 应计息票收入,35,债券价格和债券帐面值的变化过程,36,债券属性对债券价格的影响,债券的价格受下述属性影响： 债券的到期时间 债券的息票率 可赎回条款 通货膨胀调整 税收待遇 债券的流动性 违约风险,37,（1）债券的到期时间,一般而言，债券

14、的到期时间越长，债券的价格波动幅度越大（风险越大）。见下例：,债券价格与到期时间的关系,38,例：债券价格与到期时间的关系 债券A的面值为100元，息票率为5%，期限为20年，到期时按面值偿还。 债券B的期限为40年，其他条件与债券A完全相同。 直观地看，当市场利率变化时，债券B的价格将产生 更大幅度的变化，事实如何？,债券价格与到期时间的关系（反例，黑色为价格，红色为变动幅度）,39,（2）息票率,债券的息票率越低，债券价格的波动幅度越大（风险越大）。 例：假设3种债券的期限均为20年，面值为100元，息票率分别为4%、5%、6%。初始的市场利率水平为5%。,40,（3）可赎回条款,可赎回债

15、券(callable bonds) ：在一定时间内发行人有权赎回的债券。当市场利率下降时，提前赎回的可能性较大。 可赎回债券通常规定赎回保护期（call protection period)。 Bonds are more likely to be called when interest rates fall because the issuer is then able to issue new debt with lower coupons. Callable bonds offer higher yields than similar non-callable bonds to com

16、pensate investors for call risk. 赎回价格（call price）：大于到期偿还值。差额称作赎回溢价（call premium),41,例：可赎回债券的价格 一种8年期的可赎回债券的息票率为12%，按面值1000元发行，若到期偿还，则按面值偿还。赎回保护期为5年。 如果发行人在第5年末赎回，则赎回价格为1050元 如果在第6年末赎回，则赎回价格为1030元 如果在第7年末赎回，则赎回价格为1010元 假设债券发行人从第5年末开始可以在任何一年末行使赎回权，如果投资者所要求的收益率为10%，那么投资者可以出的购买价格应为多少？ 投资者的购买价：在各种赎回日期下，债

17、券的最低价格,42,如果在第5年末行使赎回权，则F = 1000， C = 1050, r = 12%, i = 10%， n = 5, 债券的价格为 如果在第6年末赎回，则债券的价格为1104.04 如果在第7年末赎回，则债券的价格为1102.50 如果债券到期时偿还，则债券的价格为1106.70 故投资者的购买价格应为1102.50元。,43,特殊情况：偿还值不变,如果偿还值不变，由溢价公式可知： 按溢价发行，即rF- iC 0，偿还期 n 越短，债券价格越低 按折价发行，即rF- iC 0，偿还期 n 越长，债券价格越低,44,含义：息票收入将根据通货膨胀率进行调整。 价格高于其他没有通

18、货膨胀调整的同类债券。 例：假设债券的面值为1000元，期限为10年，到期偿还值为1100元。第一年末的息票率为5%，以后每年末比上一年增长2%。如果投资者要求的收益率为8%，试计算债券的价格应为多少？,（4）通胀调整,45,未来息票收入形成复递增年金： 未来息票收入的现值为 到期偿还值的现值为 1100(1 + 0.08)10 = 509.51 所以债券的价格为 362.81 + 509.51 = 872.32 如果不包含通胀调整，其价格为845.02元。,46,（5）免税待遇,享受免税待遇的债券，其价格一般略高于没有免税待遇的债券。,（6）流动性,流动性：债券的变现速度。 债券的流动性与债

19、券的价格呈正向变化关系。,47,（7）违约风险（default risk）,违约风险：债券发行人未履行契约规定的可能性。 一般而言，债券的违约风险越大，投资者所要求的风险补偿就越多，债券的价格就越低。,48,二、股票,优先股：与债券类似，以固定的比例进行回报。 优先股和永久债券的定价：价格完全由息票收入或分红决定，现值为 普通股： 清偿所有债务，且优先股的分红完成之后，才能参与分红。 红利水平是不确定的，所以价格也是多变的。,49,普通股的价格：,（1）股票上市时的价格也称“理论价”（theoretical price）。 由今后可能的分红与收益率决定 有时称之为分红贴现模型（dividend

20、 discount model）。 （2）股票市场价 随着股票进入市场后的买卖情况，随时波动。,50,普通股的理论定价模型：,1零增长模型（level dividend) 假设股息的增长率为零，即每期的股息均为D，即 Dt = D（t = 1，2，） 则普通股的价格与优先股类似，也可以表示为,51,2常数增长模型(constant dividend growth) 假设股息的增长率是一个常数 r。如果第一年末的股息为D1，股票的理论价格为,（假设 r i，否则不收敛）,52,例（略）：某公司的利润以年5的比例增长，而且计划将利润的50%进行分红。假定该公司的股票在第一年末每股分红2元。如果市场

21、利率为10%，请计算股票的理论价格。 解：每年的股利将以5%的比例增加，所有分红的现值为 股票的理论价格为40元,53,3. 通过市盈率（price-to-earnings ratio）计算股价 注：如果公司的收益接近于零或为负，市盈率没有意义。 根据上式，股价可以如下计算： 股价市盈率每股收益 例：A公司没有上市，去年一年的收益为25万元。 B公司与A公司很相似，是一个上市公司。 假设B公司去年一年的收益为100万元，股价为30元，股票数量为10万。请计算A公司的市场价值(market capitalization)。,54,根据B公司计算市盈率为 可以假设A公司的市盈率与此类似。假设A公司

22、的股票数量为k，则其股价为 股价市盈率每股收益325/k75/k 故A公司的市场价值为75万元。,55,卖空(short sale)：出售某项当前并非属于其所有的资产。 Gain on short sale: 卖空的所得(gain) = 份数（出售价格购买价格） short sale gain = (# shares)*(sale price-purchase price) 注：未考虑交易成本 例：假设某投资者以每股30元的价格卖空 X 股票100股，一年后在清算时以每股20元的价格购入100股偿还给经纪人，试计算其所得（不考虑交易成本）。 解：该投资者的所得（gain）为：,卖空（short sale）,56,卖空利润 = 份数（出售价格 - 购买价格） + 交易保证金利息 红利 卖空收益率 = 卖空利润 / 交易保证金 例：某投资者以每股5元的价格卖空X 股票1000股，并且一年后在清算时以每股4.5元的价格购入1000股 X 股票偿还给交易商。交易商要求的交易保证金为30%，交易保证金帐户的年实际利率为6%，假设每股X股票在每年的红利为0.2元，试计算