第七章多元函数微分【高等数学

1、第七章 多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。（二） 多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不

2、难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。（三） 偏导数与全微分1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断可微，即求极限是否为。3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。（四） 复合函数求偏导1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘

3、”法则推广至偏导数或全微分的各种情形，从中让学生理解口诀的含义。2、通过例题说明各种公式，具体方法及符号正确运用；3、通过教材中典型例题，细致讲解复合函数高阶偏导数的求法，这是个难点，并注意 求导时，注意分析函数的各种关系； 讲透符号，等之涵义。（五） 隐函数求偏导1、结合简单例子，讲解方程与函数之关系；2、对于确定的隐函数存在定理，讲清三个条件和三个结论，再拓广介绍其它两种常见情形，其偏导数公式的证明，可只证部分结论；3、用例题说明隐函数求偏导数之三种方法，公式法、复合函数法（直接法）、微分法，要让学生理解三种方法中各种变量之相互关系。（六） 方向导数与梯度从偏导数的概念拓广到方向导数概念，

4、并指出与偏导数之关系，其次可通过具体应用实例引入梯度之概念，可画图指出梯度与方向导数之关系，此外，顺便介绍等高线、梯度场、势场等知识加深对梯度概论的理解。（七） 多元函数微分学应用1、几何应用：（a） 通过割线及到切线概念，从而得到切线方程；（b） 曲面上任一点处的任何曲线，若处切线均在一个平面上，从而引入切平面与法线概念，并导出切平面与法线方程，举例说明它们的应用；（c） 可让学生复习有关空间解析几何直线与平面有关内容。2、极值 与一元函数类比，讲述二元函数极值的必要和充分条件； 求极值问题一般分为两种情况：a无条件条件; b条件极值。从无条件极值到条件极值，自然地引入到“拉格朗日乘数法”，

5、讲解时注意此方法的基本思想、方法及步骤，另外还可优化结合起来讲解。二、补充例题例1. 设，其中都具有一阶连续偏导数，且，求.解： 分别求偏导数得：(3)代入（2） (3)代入（1） 例2. 设是由方程，确定的隐函数，其中有二阶连续偏导数，求.解： 方程两边对求偏导，代入上式并整理得：例3. 设直线： 在平面上，而平面与曲面相切于点，求，的值.解： 在点处曲面法向量，于是切平面方程为： 即 由： 因而有： 例4. 已知椭球面，求椭球面上坐标为最大与最小点；求椭球面的面上投影区域的边界曲线.解： 由于椭球面是一封闭曲面，因此椭球面上坐标最大与最小点一定存在，且此二点处值就是椭球面方程所确定隐函数的

6、最大值与最小值.椭球面方程两边分别对及求偏导：令， 解得：，代入椭球的方程得到故得两点 ， 由于椭球面确定存在坐标最大与最小的点，因此点与为所求. 设是椭球面对于面投影柱面与椭球面切于曲线，则在上，两曲面的法向量相同都为 由，即 因此曲线满足 消去即的方程 故投影区域的边界曲线为：例5. 设生产某种产品必须投入两种要素和分别为两要素的投入量，为产出量，若生产函数为，其中，为正常数，假设两种要素的价格分别为，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少要可以使得投入总费用最小？解： 需要在产出量的条件下，求总费用的最小值，为此作拉格朗日函数 由（1），（2）得： 故，代入（3），因此 由于此实际问题存在最小值，且驻点唯一，故当， 时，投入总费用最少.例6. 设，其中具有二阶连续偏导数，求，.解： 例7. 设，是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求.解： 分别在方程的两边对求导得： 即 ，例8 求下列极限 解： 原式 令，当，原式 原式 ，不妨设，则得：，由于所以原式例9 设，都是有连续的二阶偏导数 试求：.解： 例10 设函数在点处可微，且， ，求.解： 三、补充练习1、证明不存在.2、设而，求，及.3、设，其中是具有二阶连续偏导数，求. 4、设，其中是具有二阶连续偏导数，求