理学院 数值计算方法 实验五

1、实验五实验名称数据拟合与函数逼近姓 名张见学 号08119054班 级08信计（2）班指导教师张昆实验日期2010-12-1成 绩一、 实验目的1、 掌握最小二乘拟合多项式的性质及计算；2、 观察最小二乘拟合多项式数值稳定性；3、 掌握最佳平方逼近多项式的性质及计算,并作出函数的图像。二、 实验题目1、 给定数据点如下表: xi00.50.60.70.80.91.0yi11.751.962.192.442.713.00 用最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式，和拟合多项式的图形。2、 观察最小二乘多项式的数值不稳定性： 将区间-5,5 10等分，对函数计算点xi上的函数

2、值，计算数据点(xi,，yi)相应的的1 9次拟合多项式，作出拟合多项式图形并与的图形进行比较； 给定函数数据点如下表xi0.511.21.41.61.825yi5.88001.68001.28801.07070.94650.87640.84001.2576计算数据点(xi,，yi)相应的的1 7次拟合多项式，作出拟合多项式图形并与的图形进行比较；3、 计算x4 或 ex在区间 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式，作出最佳平方逼近多项式图形并与的函数图形进行比较。三、 实验原理I、 最小二乘多项式当由实验提供了大量数据时，不能要求拟合函数j(x)在数据点(xi , yi) 处的偏差

3、严格为零。但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 ，需对偏差有所要求。通常要求偏差平方和最小，即：此即称为最小二乘原理（二乘即平方）。函数 y=f(x) 的一组实验数据F是全体次数不超过n (nm)次的多项式的集合，求多项式：由多元函数取得极值必要条件，有:即 II、 最佳平方逼近多项式 达到极小值，由多元函数取得极值必要条件，有: 取则法方程组为:四、 实验内容1、 最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式 设，带入数据的系数矩阵，,则，从而求出，所以求出最小二乘拟合多项式是 2、 观察最小二乘多项式的数值不稳定性：把区间-5 510等分，即,在由原函数求出y. 设

4、，带入数据的系数矩阵，,则，从而求出，所以求出最小二乘拟合多项式是3、函数f(x)在区间 0,1 上的n次最佳平方逼近多项式图像 设函数f(x)在区间 0,1 上的n次最佳平方逼近多项式为 在区间 0,1 上的系数矩阵H=hilb(n+1),，其中，因此,所以求出函数f(x)在区间 0,1 上的n次最佳平方逼近多项式为五、 实验图形 1、最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式 2、 观察最小二乘多项式的数值不稳定性： 函数和19次最小二乘多项式图一起输出 函数和17次最小二乘多项式图一起输出3、I、 x4在区间 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像 一次最佳

5、平方逼近多项式：二次最佳平方逼近多项式：三次最佳平方逼近多项式： II、ex在区间 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像一次最佳平方逼近多项式：二次最佳平方逼近多项式：三次最佳平方逼近多项式：六、 实验分析1、 最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式从图中一、二、三次拟合多项式图形，可以看出：一拟合多项式图形与二、三次拟合多项式图形大致一样，而二、三次拟合多项式图形基本完全重合，因此随着拟合次数的增加，函数与拟合多项式之间的差距减小。 2、观察最小二乘多项式的数值不稳定性： 从 函数和19次最小二乘多项式图形，函数和17次最小二乘多项式图形，可以看出：函数与

6、n次拟合多项式先减小之间的差距，然而随着次数的增大，他们之间的差距又增大，然后有减小，因此函数与n次拟合多项式不稳定。 3、函数f(x)在区间 0,1 上的n次最佳平方逼近多项式图像从x4在区间 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像和ex在区间 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像中，可以看出：函数f(x)= x4 的图像和函数f(x)= x4 的三次最佳平方逼近多项式的图像基本完全重合，函数f(x)= ex的图像和函数f(x)= x4 的二、三次最佳平方逼近多项式的图像基本完全，函数f(x)= ex的最佳平方逼近更快，他们的最佳平方逼近多项式与原函数非常逼近。七、

7、 评阅意见签名： 评阅日期： 附表一、 程序代码1、 最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式x=0 0.5:0.1:1; y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00; yiersancinihetuxiang(x,y)2、 观察最小二乘多项式的数值不稳定性：函数和19次最小二乘多项式图一起输出x=(-5:5); fuhehanshuniyi(x) 函数和17次最小二乘多项式图一起输出x=0.5000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 5.0000;fuhehanshunier(x)3、函数f(x)在区间 0,1 上的n次最佳