山西省大同市第一中学2020届高三数学2月模拟试题三理

1、山西省大同市第一中学2020届高三数学2月模拟试题（三）理一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题）1若集合 A = -1, 0, 1 ,1, 2，集合 B = y | y = 2x , x A ，则集合 A I B = （）2A- 111-1, 0,11,1, 22B0, 2 ,1C2 ,1, 2D2已知复数 z =2i (1- i)3，则 z 在复平面内对应点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知向量a = ( 3, 3) 在向量b = (m,1) 方向上的投影为 3，则a 与b 的夹角为()A 30oB 60oC 30o 或150oD 60o 或120o4设a-

2、l - b是直二面角，直线a 在平面a内，直线b 在平面b内，且a 、b 与l 均不垂直，则（）A a 与b 可能垂直，但不可能平行B a 与b 可能垂直，也可能平行C a 与b 不可能垂直，但可能平行D a 与b 不可能垂直，也不可能平行1- x2-15求1 (+ x cos x)dx 的值为（）A pB p+1CpDp+1226已知： p : - 1 a 1， q : x -1,1， x2 - ax - 2 0) 在区间-p p 上恰有一个最大值点,和一个最小值点，则实数w的取值范围是（）4 3 A 8 , 7 B 8 , 4 C 4, 20 D 20 , 7 3 33 310抛物 的准线

3、与 轴交于点 ，焦点为 ，点 是抛物线 上的任意一点，当 取得最大值时，直线的斜率是 （ ）ABCD11已知在 R 上的函数 f (x )满足如下条件：函数 f (x )的图象关于 y 轴对称；对于任意 x R ， f (2 + x)- f (2 - x) = 0 ；当 x 0, 2时， f (x) = x ；函数f(n) (x) =f (2n-1 x)， n N * ，若过点(-1, 0)的直线l 与函数 f(4) (x)的图象在x 0, 2上恰有 8 个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是()A 0, 8 B 0, 11 C 0, 8 D 0, 19 11 8 19 8 12已知 A(x1

4、, y1 )、B (x2 , y2)是函数 f (x) = ln x 与 g (x) =xk 图象的两个不同的交x2点，则 f (x1 + x2 )的取值范围是() e2 e2 1 1 e22eAln, + B ln, C 0， D ln, 0 2e e e 2e二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题）13已知函数 f (x) = lg (mx2 - mx - m + 3)的定义域为 R ，则实数m 的取值范围为14计算： 2 sin 50 - 3 sin 20 =cos 2015若DABC 的三边长a ，b ， c 满足b + 2c 3a， c + 2a 3b，则 ba .的取值范围为 f

5、 (4e - x), 2e x 4e16已知 f (x) = ln x, 0 0 ，若p 是q 充分不必要条件，求实数m 的取值范围。（12 分）4 3318如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为的菱形，BCD = 60 ， AC 与 BD 交于点O ，平面 FBC 平面 ABCD ， EF / / AB ，2 33FB = FC ， EF =.（1）求证：OE 平面 ABCD ；（2）若DFBC 为等边三角形，点Q为 AE 的中点，求二面角Q - BC - A 的余弦值.（12 分）19某游戏棋盘上标有第0 、1、2 、L 、100站，棋子开始位于第0 站，选手抛掷均匀

6、硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为 Pn .（12 分）（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3 次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望；（2）证明： P- P = - 1 (P - P)(1 n 98)；n+1n2nn-1（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.20在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线l : ax + by + c = 0 和点 P1 (x1 , y1 )、P2 (x2 , y2 )

7、，记h= (ax1 + by1 + c )(ax2 + by2 + c )，若h 0 ，则称点 P1 , P2 被直线 l分隔，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1 , P2 被直线 l 分隔， 则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.（12 分）（1）求证：点 A(1, 2) 、 B(-1, 0) 被直线 x + y -1 = 0 分隔；（2）若直线 y = kx 是曲线 x2 - 4 y2 = 1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点 M 到点Q(0, 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E， 求 E 的方程，并证明 y 轴为曲线 E

8、 的分隔线.21已知函数 f (x) = 1 ax2 - x + 2a2 ln x(a 0)（12 分）2（1）讨论 f (x) 的单调性.（2）若 f (x) 存在两个极值点 x ， x ，证明：f (x1 ) - f (x2 ) 1 + 1 .12x - xxx1212x = -1+ t cosa,22在直角坐标系中，直线l 的参数方程为 y = 1+ t sina （t 为参数，0 a ），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r2 =41+ sin2q（10 分）（1）当a = 时，写出直线l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；

9、6（2）已知点 P (-1，1)，设直线l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定 PA PB 的取值范围23设函数 f (x) =x - 2 - x + a （10 分）(1)当a = 1时，求不等式 f (x) 0，即(a - m)a - (m - 5) 0 ，解得 a m ，所以，命题 q : a m .则 p : - a m - 5 -3 ， q : m - 5 a m ， 所以， m ，解得 m 5 -18（1）证明：取 BC 的中点 H ，连结OH 、 FH 、OE ， 因为 FB = FC ，所以 FH BC ，因为平面 FBC 平面 ABCD ，平面 FBC I 平面 ABCD

10、 = BC ， FH 平面 FBC ，所以 FH 平面 ABCD ， 因为 H 、O 分别为 BC 、 AC 的中点，所以OH / / AB 且OH = 1 AB = 2 3 .23又 EF / / AB ， EF =，所以 EF / /OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以OE / / FH ，所以OE 平面 ABCD.（2）解：因为菱形 ABCD ，所以OA = OC = OE = FH = 2.所以OA， OB ， OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O - xyz ，如图所示， 则 A(2, 0, 0)， B(0, 2 3 , 0) ， C(-2, 0, 0)， E(0, 0,

11、 2) ，3 所以Q(1, 0,1) ， uuur所以 BC = (-2, -, 0)， CQ = (3, 0,1) ，3 设平面 BCQ 的法向量为m = (x, y, z)， BC v = 0-2x -y = 0由 uuuv m得 ，CQ v = 03m3x + z = 0取 x = 1，可得 m = (1, - 3, -3) ，平面 ABC 的一个法向量为 n = (0, 0,1) ， 设二面角Q - BC - A 的平面角为q，则cosq=m nur r =m n-3=13 ， 所以二面角Q - BC - A 的余弦值为 3 13 .1319（1）由题意可知，随机变量 X 的可能取值有

12、3 、 4 、5 、6， 3P ( X = 3) = 1 ， P ( X = 4) = C1 = 3 ， 3 8 3P ( X = 5) = C 2 = 3 ， P ( X = 6) = 1 . 3 8 所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：X3456P18383818 所以， E ( X ) = 3 1 + 4 3 + 5 3 + 6 1 = 9 ；88882（2）依题意，当1 n 98 时，棋子要到第(n +1)站，有两种情况：由第 n 站跳1站得到，其概率为 1 P ；2 n可以由第(n -1)站跳 2 站得到，其概率为 1 P .2 n-1 所以， P= 1 P + 1 P .n+1

13、2 n2 n-1同时减去 P 得 P- P = - 1 P + 1 P= - 1 (P - P) (1 n 98)；nn+1n2 n2n-12nn-1（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为 P = 1 P+ 1 P ，992 98由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有 P= 1 P .2 971002 98 所以 P100 P99 ，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.20.（1）由题意得：h= (2 +1-1) (-1+ 0 -1) = -4 0 , A(1, 2)、B(-1, 0) 被直线 x + y -1 = 0 分隔； （2）由题意得：直线 y

14、 = kx 与曲线 x2 - 4 y2 = 1无交点, x2 - 4 y2 = 1 y = kx,整理得(1- 4k 2 )x2 -1 = 0 无解,即1- 4k 2 0 k -, - 1 U 1 , + ,2 2 又对任意的 k -, - 1 U 1 , + ，点(1, 0) 和(-1, 0) 在曲线 x2 - 2 y2 = 1上，满足2 2 h= (k - 0)(-k - 0) = -k 2 0，所以点(1, 0) 和(-1, 0) 被直线 y = kx 分隔，所求的 k 的范围是 -, - 1 1 , + .2 2 （3）由题意得：设 M (x, y) ,x2 + ( y - 2)2 |

15、 x |= 1, 化简得点 M 的轨迹方程为 x2 + ( y - 2)2 x2 = 1Q对任意的 y0 R ，点(0, y0 )不是方程 x2 + ( y - 2)2 x2 = 1的解直线 x = 0 与曲线 E 没有交点,又曲线 E 上的两点(-1, 2) 和(1, 2) 对于直线 x = 0 满足h= -11 = -1 0) ， D = 1- 8a3当 a 1 时， D 0， p(x) 0 ，则 f (x) 0 ， f (x) 在(0, +)上单调递增2 当0 a 0，2p(x)的零点为 x1 =2a， x2 =2a， 1+1- 8a3所以 f (x) 在 0,2a ， 2a, + 上单

16、调递增 1-1- 8a3 1+ 1- 8a3 f (x) 在,2a2a 上单调递减 p(x)1- 1- 8a3当 a 0， 的零点为 ，2af (x) 在 0,2a 上单调递增，在2a, + 上单调递减.（2）证明；由（1）知，当0 a 1 时， f (x) 存在两个极值点2不妨假设0 x x ，则 x + x = 11212a要证 f (x1 ) - f (x2 ) (x1 - x2 )(x1 + x2 ) =x1 - x2 x - xxx12x xxx12121 221只需证 1 (x - x )a (x + x )- 2 + 2a2 ln x1 = - 1 (x - x )+ 2a2 l

17、n x1 x1 - x2 212 12x212xxx即 证 2a2 ln x1 - x1 + x2 1 (x - x )， 2221x2x2x1212 设t = x1 (0 t 1) ，设函数 g(t) = 2a 2 ln t - t + 1 ， g(t) = - t 2 - 2a2t +1 ，x2tt 2 因为 D = 4a4 - 4 0， g(t) g(1) = 0又 1 (x - x) 0 1 (x - x)， 则 2a2 ln x1 - x1 + x2 1 (x - x ) 212从而 f (x1 ) - f (x2 ) x1 - x21 + 1x1x2212x2x2x121222（1

18、）当 a = p时，直线l 的参数方程为6x = -1+ptcos, 6p x = -1+3 t,2 .1 y = 1+ tsin,6y = 1+t,2 消去参数 t 得 x - 3 y +1+= 0. 由曲线 C 的极坐标方程为r2 = 得r2 + (rsinq)2 = 4，41+ sin2q. 将 x2 + y2 = r2 ，及 y = rsinq代入得 x2 + 2 y2 = 4 ， x2 + y2 =42 （2）由直线l 的参数方程为 x = -1+ tcosa, （ t 为参数， 0 ap）可知直线l 是过点 P y = 1+ tsina, a x2y2 （-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线 C 为椭圆+= 1，所以易知点 P（-1，42 1）在椭圆 C 内，x = -1+ tcosa,x2y2将 y = 1+ tsina,代入+42= 1中并整理得(1+ sin2a)t 2 + 2 (2sina- cosa)t -1 = 0 ， 设 A，B 两点对应的参数分别为t1, t2 ，则t t = -11 21+ sin2a所 以 PA PB = t1 t2=11+ sin2a因为0 ap，所以sin2a(0,1， 所 以 PA PB =