自考笔记.自考串讲.0020高等数学一小抄2013年版扈志明主编教材讲义

1、前言高等数学一共6章第一章函数1.主要是对高中知识的复习；2.为今后知识打下良好的基础；3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右.第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础；本章内容在历年考题中所占分值为20左右.第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念.本章内容在历年考题中所占分值为15分左右.第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题；本章在历年考题中所占分值为20分左右.第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念；本章内容在历年考题中所占分值为25分左右.第六章多元函数

2、微积分主要是学习多元函数的微积分的计算；本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右.第一章函数1.1 预备知识1.1.1 初等代数的几个问题1.一元二次方程关于x的方程ax2bxc0（a0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式.（1）求根公式：当0时，方程有两个不同的实根：当0时，方程有一个二重实根：当0时，方程有一对共轭复根：（2）根与系数的关系（韦达定理）：（3）一元二次函数（抛物线）：yax2bxc（a0），当a0时，开口向上，当a0时，开口向下.对称轴顶点坐标例1.若x3x2axb能被x23x2整除，则a、b是多少？结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x

3、）0的根均为f（x）0的根.解：令x23x20，解得x1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.当时，方程组有唯一解；更多内容请与QQ：67460666索取当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组（1）若方程组有无穷多解，求a的值；（2）当a6时，求方程组的解.解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以,解得a4.（2）当a6是，原方程组变为,解得3.不等式（1）一元二次不等式考虑不等式ax2bxc0，如果记一元二次方程ax2bxc=0的两个不同实根分别为x1，x2，且x1x2，根据一元二次函数的图形可知：当a0时，这个不等式

4、的解集是xxx1或xx2；当a0时，它的解集是xx1xx2.用类似的方法可以求解不等式ax2bxc0，ax2bxc0和ax2bxc0.例3.解不等式x25x60.解：令x25x60,（x2）（x3）0,得x2或x=3, 解集为（，23，）.例4.解不等式x2（1a）xa0.解：令x2（1a）xa0,（xa）（x1）0,得xa或x1,若a1，解集为（a，1）,如a1，解集为,若a1，解集为（1，a）.（2）绝对值不等式 更多内容请与QQ：67460666索取不等式f（x）a0等价于f（x）a或f（x）a；不等式f（x）a等价于af（x）a.例5.解下列含有绝对值符号的不等式：（1）2x35 （2

5、）3x17解：（1）原不等式等价于52x35解得：1x4.所以解集为1，4.（2）原不等式等价于3x17或3x17，3x17的解集为x2，3x17的解集为x,所以解集为（，2，）.例6.解不等式x22x53.解：原不等式等价于x22x53的解集为（，），x22x53的解集为（2，4），所以原不等式的解集为（2，4）.4.数列（1）等差数列：相邻两项的差为定值，即an1and，d称为公差.通项公式：ana1（n1）d 更多内容请与QQ：67460666索取前n项和公式：当mnkl时，amanakal特别地有例7.设an是一个等差数列，且a2a3a10a1164，求a6a7和S12.解：因为 21

6、131013所以a2a11a3a1032,又因为 6713，所以a6a732,S12（a1a12）1226（a1a12）632192.（2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比.通项公式：ana1qn-1前n项和公式：当mnkl时，amanakal特别地有例8.设an是一个等比数列，且a312，a548，求a1，a10和a2a6的值.解：所以q2a10a5q548（2）51536因为26358所以a2a6a3a51248576.1.1.2 集合与逻辑符号1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素.数集分类：N自然数集Z整数集Q有理数集R实数集C复数集合

7、2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为aA；否则就说a不属于A，记为aA.3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 更多内容请与QQ：67460666索取若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作AB.例9.A1，2，Cxx23x20，则A和C是什么关系？解：解方程x23x20，得x1或x2.所以C1，2，从而AC.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作）.规定空集为任何集合的子集.例10.xxR，x2105.集合的表示方法：列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间

8、：a，bxaxb，xR；开区间：（a，b）xaxb，xR；半开半闭区间：左开右闭区间：（a，bxaxb，xR，左闭右开区间：a，b）xaxb，xR；（，bxxb，xR，a，xxa，xR；点a的邻域：U（a，）（a，a），0，即U（a，）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用Ua表示；点a的去心邻域：N（a，）（a，a）（a，a），0.点a的去心邻域也可以表示为Na.6.集合之间的运算（1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为AB.ABxxA或xB，ABBA.例11.已知：A1，2，3，4，B2，4，6，8，10，12，求：AB.解：AB1，2，3，4，

9、6，8，10，12.例12.已知：Ax1x5，Bx3x2，求：AB.解：ABx3x5.（2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为AB.ABxxA且xB，ABBA更多内容请与QQ：67460666索取例13.已知：A1，2，3，4，B2、4、6、8、10、12，求：AB.解：AB2，4.例14.已知：Ax1x4，Bx3x3，求：AB.解：ABx1x3.（3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为AB.ABxxA但xB.例15.已知：A1，2，3，4，B2，4，6，8，10，12，求：AB.解：AB1，3.7.一些逻辑符号p能推出q，记为pq，此

10、时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果pq，qp同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作pq.1.2函数的概念与图形1.2.1 函数的概念1.定义设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数xD，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作yf（x），xD.也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0D时，称f（x0）为函数在点x0处的函数值.数集D叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数Wyyf（x），xD称为函数的值域. 更多内容请与QQ：67460666索取例1.已知：，求：y的定义域、值域.

11、解：令1x20，解得：1x1,所以定义域为1，1.因为01x21，所以01，所以值域为0，1.例2.已知：，求：y的定义域、值域.解：根据题意，得，解得1x1，所以定义域为（1，1），因为 01，从而，所以值域为1，）.2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.例3.判断下列两个函数是否相等，（1）yx3； （2）.例4.求函数的定义域.解：根据题意，得解得:2x3或3x5，所以定义域为2，3）（3，5）.3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.1.2.2 函数的图形1.函数图形的概

12、念函数yf（x），xD的图形是指在xOy平面上的点集（x,y）yf（x），xD.常见的几个幂函数的图形：更多内容请与QQ：67460666索取2.函数的性质（1）有界性函数f（x），xD，存在两个实数m、M，满足条件：对于D中所有的x都有不等式mf（x）M，则称函数f（x）在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，（1）y=sinx， （2）.（2）单调性设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调增加，称f（x）是D上的单调增加函数，称D是函数f（x）的单调增加区间.设函数f（

13、x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调减少，称f（x）是D上的单调减少函数，称D是函数f（x）的单调减少区间. 更多内容请与QQ：67460666索取例6.求y x2的单调性.解：任取x1x20，x12x22（x1x2）（x1x2）0,所以yx2在（，0）上单调减少.同理可得：y x2在（0，）上单调增加.例7.求y sinx的单调性.解： ysinx的图像如图，y=sinx在（2k，2k）上单调增加，在（2k，2k）上单调减少.（3）奇偶性设D关于原点对称，对于任意的xD，有 f（x）f（x）， 称

14、f（x） 为偶函数；设D关于原点对称，对于任意的xD，有 f（x）f（x）， 称 f（x） 为奇函数. 更多内容请与QQ：67460666索取例8.判断下面函数的奇偶性（1）（2）解：（1）因为，所以定义域为R.所以f（x）为奇函数.（2）因为axa-x0，故x 0，所以定义域为（，0）（0，）.所以f（x）为奇函数.（4）幂函数的性质形如yx的函数为幂函数，其中为任意常数.性质：对任意实数，曲线yx都通过平面上的点（1，1）；0时，yx在（0，+）单调增加；0时，yx在（0，+）单调减少；为正整数时，幂函数的定义域是（，+）；为偶数时，yx为偶函数；为奇数时，y x为奇函数；为负整数时，幂函

15、数的定义域是（，0）（0，+）.幂函数yx（是常数）的图形：1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数.例9.画出符号函数的图形：更多内容请与QQ：67460666索取例10.画出下面分段函数的图形：例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3三角函数、指数函数、对数函数1.4 函数运算1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f（x），g（x）都在D上有定义，kR，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为0的点除外），而函数值的对应定义如下：（1）加法运算 （fg）（x）f（x）g（x），xD .（2）数

16、乘运算 （kf）（x）kf（x），xD.（3）乘法运算 （fg）（x）f（x）g（x），xD .（4） 除法运算 g（x）0， xD.其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值. 更多内容请与QQ：67460666索取例1. 已知f（x）=ln（1x），g（x）=1cosx，求 .解 因为函数f（x）=ln（1x）的定义域为（1，+），函数g（x）=1cosx 的定义域为（，+），且当x=2 k（k为整数）时，g（x）=0，所以，x（1， +）2k（k为整数）1.4.2复合函数如有函数f（x）和g（x）,它们的定义域分别为Df和Dg ，值域分别是 Zf

17、 和Zg. 当ZgDf 时，对于任意xDg,都有唯一的g（x）ZgDf,，从而有唯一的f（g（x）Zf与xDg对应，这样就确定了一个从Dg到Zf的函数，此函数称为 f和g的复合函数，记作 重点是学会函数的分解与复合。例2. 分解下列复合函数（1） ；（2） 。解：（1）y=arcsinu，y=av， （2）y=sin2u，u=lnv，v=x3+1例3.求下列复合函数的表达式和定义域（1）f（x）=lgx，g（x）=2x （2）f（x）=arcsinx， 解：（1）f（g（x）=lg2x=xlg2，定义域为R，（2） ， 令 解得：1x2，所以定义域为1,2.例4. 求下列复合函数的表达式（1）

18、 设，求 。解：令x1=t，则x=t+1，则f（t）=（t+1）31=t3+3t2+3t,所以f（x） =x3+3x2+3x.（2） 设 ，求 。解：x+1=t,则x=t1，更多内容请与QQ：67460666索取当0t11，即1t2时，g（t）=（t1）2=t22t+1，当1t12，即2f（x） （D） f（f（x）f（x） 答案：B解析：令f（x）0，得xR，所以f（f（x）=f（x）.（4）已知 若f（g（x）=lnx,则g（x）=（）.（A） （B） （C） （D） 答案：B解析：令x1=t，则x=t+1，则 所以 所以 1.4.3初等函数1.基本初等函数常见的六类函数，即常数函数、幂函

19、数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，称为基本初等函数2.初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的函数，称为初等函数。更多内容请与QQ：67460666索取1.5经济学中的常用函数1.5.1需求函数与供给函数1.需求函数商品需求量Q与其价格P之间的函数关系QQ（P）称为需求函数.一般地，需求函数是一个单调递减函数.常见的几种需求函数模型如下：（1）线性需求函数：QabP，其中a，b是非负常数.（2）二次曲线需求函数：QabPcP2，其中a,b,c 是非负常数.（3）指数需求函数：QAebp，其中A，b是非负常数.2.供给函数商品供给量S与其价格P之间的函数关系

20、SS（P）称为供给函数.一般地，供给函数是一个单调递增函数.常见的几种供给函数模型如下：（1）线性供给函数：SabP，其中a，b是非负常数.（2）二次曲线供给函数：SabPcP2，其中a，b，c是非负常数.（3）指数供给函数：SAebP，其中A，b是非负常数.当供给量与需求量相等，即 时，这时的价格 称为均衡价格；这时的商品数量 称为均衡数量.例1.已知某种商品的需求量Q和供给量S与其价格P满足的关系式分别为Q220QP990和3S2P1230，求该商品的市场均衡价格和均衡数量.解：令QS，由Q220QP990与3S2P1230，得 由3S2P1230与 ，解得S1（舍去）和S6.当S6时，解得P15.故均衡价格为15，均衡数量为6.1.5.2成本函数 更多内容请与QQ：67460666索取一般地，总成本C可分为两部分，分别是固定成本C1和可变成本C2