圆幂定理及等幂轴的探究

1、 圆幂定理及等幂轴的探究 麟游县九成宫初级中学 田宏刚摘要：圆幂定理是平面几何中重要定理之一，有着及其广泛的应用。关于等幂轴的轨迹探究，更能加深学生的逻辑思维。以上内容在2011版初中数学课程标准中不作要求，但对于学有余力，有兴趣爱好的初中读者，可作为提升知识、思想、方法的途径。对于在职教师，可作为阅读参考。关键词：圆幂定理 等幂轴 探究圆幂定理的发现及证明分析：我们知道，若p为圆O（r）外部一点，过点p作割线PAB则PAPB为一常量,这一常量由O（r）与点P决定，不因割线的位置而改变，这一定理称为割线定理，下面进行证明。证：如图，设P为O外一点，过点P作圆O的两条不同割线分别为PAB和PAB

2、，连接AA，BB，则AABB为圆的内接四边形，由圆内接四边形的外角等于内对角知：PAA=PBB，又APA=BPB,PAAPBB, PA/PB=PA/PB，因而PAPB=PAPB。 T P A A O BO A oOOO A 图1 B 下面探究这一常量（定值）究竟是多少？有下面的定理。分析：设P为圆O的切线（如上图1）PAB为圆O的一条普通割线。而PAB是经过圆心O的一条特殊割线，由上述割线定理知，这一常是不因割线位置而改变。且P= PAPB=PAPB总成立，而PAPB=(PO-r)(PO+r)=PO-r.由于PT是切线，T为切点，所以有RTPTO,且有PO-R=t (t表切线PT的长)于是切割

3、线定理表述为：设P为O（r）外一点。PT为O的切线。T为切点，PAB和PAB为圆O的两条不同割线，那么PAPB=PAPB= 文字语言表述为：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，那么这一点到割线上两割点的距离之积等于这一点到圆的切线的长的平方。A 仿此，若P为圆O(r)内部一点，如(图2)过点P作任一弦APB，则PA,PB为常量（证明是相交弦定理），为求这一常量P是多少,可取过点P与PO垂直的弦AB，则P=PAPB=PAPB=-PA (此地用有向线段)B=-（-）=po- r,我们把P=PAPB=PO-r （1A） ABP定义为P对于圆O（r）的幂，这是一代数量，当p在圆外时，O 图2P为正，

4、其值等于由P所作的切线长的平方；当p在圆上时,PO=r;因而P=O;当P在圆内时，幂P为负，此时，PAPB=PAPB正是相交弦定理，（如上图2）证明用到相似三角形的性质，并以下面的引理为前提：引理1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。（这一定理的证明在初中数学课本中讲过，不再赘述）下证相交弦定理：设P为圆内任一点，过点P作圆的两条弦和，则：。证：如图2，连结AA和BB，则AAP=BBP,又AB和AB相交于点P，APA=BPB，因而AAPBBP，所以有AP/BP=AP/BPPAPB=PAPB. 证毕分析：相交弦定理是P在O内的情况；割线定理是点P在O外的情况，由割线定理的推论切割线定理求得了

5、点P在O外时，圆幂P的值等于t（t表切线的长），不论P在圆外，圆上，圆内，圆幂P的值总是存在的，我们把相交弦定理，割线定理，切割线定理统称为圆幂定理。其圆幂的概念由此而来，圆幂定理是平面几何中的重要定理，有着广泛的应用。 下面我们来介绍等幂轴的概念及其相关轨迹命题： 对于两个不同的定圆(圆心确定的圆)有等幂的点的轨迹，是垂直于连心线的一条直线，此直线称为两圆的等幂轴。 此命题由下面的引理可以轻而易举得到。引理2：到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于两点连线的一条直线。证法：设A,B为两定点，k为常量，先探求满足条件的MAMB=K的点的轨迹（如图3）探究：若M符合 条件，显然M关于直线

6、AB的对称点也符合条件，所以轨迹如果是直线，必有直线上两点对称于AB，因而此直线与l垂直，所以只需知道这直线与AB交点N, 这个轨迹就完全确定了，设AB上过点N垂直于AB的直线l上满足条件，（图3）由K=MAMB=( AN+NM)（NB+NM） =(AN+NB)(ANNB) =ABAN（ABAN） =AB(2AN AB)解得AN=(),由此式确定点N而垂直于AB的直线L. 证明 : 1 .由刚才的探究过程，符合条件的点M在过AB上的定点N且垂直于AB的直线l上。 2反之，在l上任取一点有：MAMB=ANNB=AN（ABAN） =ANAB+2ABANAN =2AB AB =2AB()AB =K即

7、点M满足条件。 证毕特别地，当K=O时，L就是众所周知的AB的中垂线，此时，L上的点M在AB中垂线上，显然有MA MB=0。下由引理2来证两圆等幂轴的轨迹命题。设两圆为圆O和圆，点P 对于两圆的幂各为：P=POr及P= POr ， 则：P对于两圆有等幂轴的充要条件是P= 或PO PO= rrK 证：1（充分性）两圆有等幂，由上述分析及引理2推论其等幂轴是垂直于两圆连心线的一条直线。2（必要性）作两圆连心线的垂线，在垂线上取一点P，P=POr 及P=PO r ，所以PP =(PO r)（P Or）=（PO PO ）（rr ）所以即当PO P = rr K时，显然有PP=0即P= P 证毕。下面讲一下两圆的等幂轴的作法，若两圆相交，(图4)则两交点对于两圆的幂同等于零(P在圆上)所以等幂轴即两交点连线;若两圆相切,则等幂轴为两圆的公切线.（图5）若两