2013高考数学压轴题汇编-31套(历年真题和各省知名中学高三模拟题)

1、高考数学压轴题练习11（本小题满分12分）设函数在上是增函数。求正实数的取值范围；设，求证：1、解：（1）对恒成立，对恒成立又为所求。（2）取，一方面，由（1）知在上是增函数，即另一方面，设函数在上是增函数且在处连续，又当时，即综上所述，高考数学压轴题练习22已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设，若的取值范围。2解：（1）由题意得：1分由题意所以椭圆方程为3分（2）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为中，得设则5分有由7分又故8分令，即而，10分高考数学压轴题练习22已知椭圆C

2、的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设，若的取值范围。2解：（1）由题意得：1分由题意所以椭圆方程为3分（2）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为中，得设则5分有由7分又故8分令，即而，10分高考数学压轴题练习44设函数（1）若时函数有三个互不相同的零点，求的范围；（2）若函数在内没有极值点，求的范围；（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围4.解：（1）当时，因为有三个互不相同的零点，所以，即有三个互不相同的实数根。令，则。因为在和均为减函数，在为增函数，的取值范围（2）由题

3、可知，方程在上没有实数根，因为，所以（3），且，函数的递减区间为，递增区间为和；当时，又，而，又在上恒成立，即，即在恒成立。的最小值为高考数学压轴题练习55（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；（）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值5解：（）相切椭圆C1的方程是3分（）MP=MF2，动点M到定直线的距离等于它到定点F2（2，

4、0）的距离，动点M的轨迹C是以为准线，F2为焦点的抛物线点M的轨迹C2的方程为6分（）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，则直线AC的方程为联立所以9分由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得，四边形ABCD的面积为12分由所以时取等号13分易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积高考数学压轴题练习66（本小题满分14分）已知椭圆1（ab0）的左右焦点分别为F1F2，离心率e，右准线方程为x2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于MN两点，且|，求直线l的方程6解析：（1）由条件有解得a，c1b1所以，所求椭圆的方程为y21（2）由（

5、1）知F1（1,0）F2（1,0）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x1，将x1代入椭圆方程得y不妨设MN，（4,0）|4，与题设矛盾直线l的斜率存在设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk（x1）设M（x1，y1）N（x2，y2），联立消y得（12k2）x24k2x2k220由根与系数的关系知x1x2，从而y1y2k（x1x22）又（x11，y1），（x21，y2），（x1x22，y1y2）|2（x1x22）2（y1y2）2222化简得40k423k2170，解得k21或k2（舍）k1所求直线l的方程为yx1或yx1高考数学压轴题练习77.（本小题满分12分）已知，函数，（其中为自然对数

6、的底数）（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由7.解（1）：，令，得若，则，在区间上单调递增. 若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，若，则，函数在区间上单调递减. 6分（2）解：，由（1）可知，当时，此时在区间上的最小值为，即当，曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解而，即方程无实数解故不存在，使曲线在处的切线与轴垂直12分高考数学压轴题练习815（本小题满分12分）已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面

7、积的最大值和最小值解（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为.4分(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且设，的斜率为，则的方程为，的方程为解方程组得，同理可求得，面积=8分令则令所以，即当时，可求得,故，故的最小值为，最大值为1. 12分高考数学压轴题练习918（本小题满分12分）设上的两点，已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为，为坐标原点.（）求椭圆的方程；来源:Zxxk.Com（）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由解：椭圆的方程为 4分(

8、2) 当直线AB斜率不存在时，即,由5分又在椭圆上，所以所以三角形的面积为定值.6分当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b ，D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)08分而, 10分 S=|AB|=|b|=1综上三角形的面积为定值1.12分高考数学压轴题练习1010.已知函数的导数a，b为实数，(1) 若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求a、b的值；(2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程；(3) 设函数，试判断函数的极值点个数解：(1) 由已知得， 由，得， 当时，递增；当时， 递减 在区间上的最大值为，又， 由题意得，即，

9、得 故，为所求(2) 由 (1) 得，点在曲线上当切点为时，切线的斜率， 的方程为，即 (3二次函数的判别式为令，得：令，得 ，当时，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点高考数学压轴题练习1112已知函数f(x)=(1)当时, 求的最大值;(2) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由(2)存在符合条件解: 因为=不妨设任意不同两点，其中则由知: 1+又故故存在符合条件12分解法二:据题意在图象上总可以在找一点使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在故

10、存在符合条件高考数学压轴题练习1214ABC是直线上的三点，向量满足：-y+2+ln(x+1)= ；（）求函数y=f(x)的表达式； （）若x0, 证明f(x)；（）当时,x及b都恒成立，求实数m的取值范围。解I）由三点共线知识，,ABC三点共线，.，f(x)=ln(x+1)4分()令g(x)=f(x),由，x0g(x)在 (0,+)上是增函数,故g(x)g(0)=0,即f(x);8分（III）原不等式等价于,令h(x)=由当x-1,1时,h(x)max=0, m2-2bm-30,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)0及Q（-1)0解得m-3或m3. 12分高考数学压轴题练习1313已

11、知经过点，且与圆内切.（）求动圆的圆心的轨迹的方程.（）以为方向向量的直线交曲线于不同的两点，在曲线上是否存在点使四边形为平行四边形（为坐标原点）.若存在，求出所有的点的坐标与直线的方程；若不存在，请说明理由.解:（）依题意，动圆与定圆相内切，得|，可知到两个定点、的距离和为常数，并且常数大于，所以点的轨迹为椭圆，可以求得，所以曲线的方程为5分（）假设上存在点，使四边形为平行四边形由（）可知曲线E的方程为.设直线的方程为，.由，得，由得，且，7分则，上的点使四边形为平行四边形的充要条件是，即且，又，所以可得，9分可得，即或当时，直线方程为；当时，直线方程为高考资源12分高考数学压轴题练习141

12、6.已知函数和的图象关于原点对称，且()求函数的解析式；()解不等式；()若在上是增函数，求实数的取值范围解：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则点在函数的图象上()由当时，此时不等式无解。当时，解得。因此，原不等式的解集为。（）高考数学压轴题练习1517.已知函数（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：求证：解：（1）依题意在时恒成立，即在恒成立.则在恒成立，即当时，取最小值的取值范围是（2）设则列表：极大值极小值极小值，极大值，又方程在1，4上恰有两个不相等的实数根.则，得（3

13、）设，则在为减函数，且故当时有.假设则，故从而即，高考数学压轴题练习1618.已知（1）求函数的图像在处的切线方程；（2）设实数，求函数在上的最小值；（3）证明对一切，都有成立解：（1）定义域为又函数的在处的切线方程为：，即3分（2）令得当，单调递减，当，单调递增 5分（i）当时，在单调递增，6分（ii）当即时，7分（iii）当即时，在单调递减，8分(3)问题等价于证明，由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得最小值10分设，则，当时，单调递增；当时单调递减。故，当且仅当时取得最大值12分所以且等号不同时成立，即从而对一切，都有成立13分高考数学压轴题练习1719（本小题满分14分）已知函数处取

14、得极值（I）求实数的值；（II）若关于x的方程在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（III）证明：对任意正整数n，不等式都成立19解：（I）2分时，取得极值，3分故，解得a=1，经检验a=1符合题意4分（II）由a=1知得令则上恰有两个不同的实数根等价于在0，2上恰有两个不同的实数根5分6分当上单调递增当上单调递减依题意有9分（III）的定义域为10分由（1）知11分令（舍去），单调递增；当x0时，单调递减上的最大值（12分）（当且仅当x=0时，等号成立）13分对任意正整数n，取得， 14分高考数学压轴题练习18高考数学压轴题练习1921. (本小题满分12分) 已知椭圆（

15、）的左、右焦点分别为，为椭圆短轴的一个顶点，且是直角三角形，椭圆上任一点到左焦点的距离的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）与两坐标轴都不垂直的直线：交椭圆于两点，且以线段为直径的圆恒过坐标原点，当面积的最大值时，求直线的方程.21.（1）由题意得，2分，则3分所以椭圆的方程为4分（2）设，联立得，5分又以线段为直径的圆恒过坐标原点，所以即，代入得7分=-9分设，则当，即时，面积取得最大值，11分又，所以直线方程为-12分高考数学压轴题练习2022.(本小题满分12分) 已知函数（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，设函数，若，求证22.（1）1分，即在上恒成立设，时，单调减，单

16、调增，所以时，有最大值3分，所以5分（2）当时，,所以在上是增函数，上是减函数6分因为，所以即同理8分所以又因为当且仅当“”时，取等号10分又，11分所以所以所以：12分高考数学压轴题练习2123本小题满分12分的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.（1）求的方程；xyABCDEF. IO（2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.23【解】（1）设点，由题知，根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（除去点），故的方程为. 4分（2）设点.， 6分当直

17、线轴时，点在轴上任何一点处都能使得成立. 7分当直线不与轴垂直时，设直线，由得 9分，使，只需成立，即，即，即，故，故所求的点的坐标为时，恒成立. 12分高考数学压轴题练习2224.（本小题满分12分）设函数.（）求函数f (x)在点(0,f (0)处的切线方程；（）求f (x)的极小值；（）若对所有的，都有成立，求实数a的取值范围.24【解析】()f(x)的定义域为，又=2ln(2x+1)+2,，切点为O(0,0)，所求切线方程为y=2x. 2分() 设=0，得ln(2x+1)=1，得；0，得ln(2x+1)1，得；0，得ln(2x+1)0，得ln(2x+1) a1，得；0，得ln(2x+1

18、)1时，对所有，都有1时，只有对仅有的，都有.即当a1时，不是对所有的，都有.综合（1），（2）可知实数a的取值范围(,1.12分高考数学压轴题练习2325.已知函数（I）求的极值；（II）若的取值范围；（III）已知25.【解析】：（）令得 2分当为增函数；当为减函数，可知有极大值为.4分（）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，设由（）知，分（），由上可知在上单调递增， ，同理 .10分两式相加得 12分高考数学压轴题练习24设函数（）求的单调区间；（）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（）证明：当mn0时，。【解析】：22、（）时，在（1，+）上市增函数当时，在上递增，在单调递

19、减（）由（）知，在上单调递增，在上单调递减又当时，方程有两解（）要证：只需证只需证设，则由（）知在单调递减，即是减函数，而mn，故原不等式成立。高考数学压轴题练习25【文科】已知椭圆，双曲线C与已知椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切。（I）求双曲线C的方程；（II）设直线与双曲线C的左支交于两点A、B，另一直线l经过点及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。【解析】：（本小题满分12分）（I）设双曲线C的焦点为：由已知，2分设双曲线的渐近线方程为，依题意，解得双曲线的两条渐近线方程为故双曲线的实半轴长与虚半轴长相等，设为，则，得，双曲线C的方程为分.（II）

20、由，直线与双曲线左支交于两点，因此 .分又中点为直线的方程为，令x=0，得， 故的取值范围是 12分高考数学压轴题练习26椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点.（1）如果点A在圆（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆的离心率；（2）若函数的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求的取值范围。【解析】：（1）点A在圆，由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，（2）函数点F1（1，0），F2（1，0），若，若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）由（*）方程（*）有两个不同的实根.设点A（x1，y1），B（x2，y2

21、），则x1，x2是方程（*）的两个根由知高考数学压轴题练习27如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。【解析】：（1）设椭圆方程为则解得所以椭圆方程（2）因为直线平行于OM，且在轴上的截距为又，所以的方程为：由因为直线与椭圆交于两个不同点，所以的取值范围是。（3）设直线的斜率分别为，只要证明即可设，则由可得而故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。高考数学压轴题28已知函数（1）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围（2）当时，求函数

22、的最大值（3）当时，且，证明：【解析】：（1），因为对，有不存在实数使，对恒成立 2分由恒成立，而，所以经检验，当时，对恒成立。当时，为定义域上的单调增函数 4分（2）当时，由，得当时，当时，在时取得最大值，此时函数的最大值为 7分（3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号当时，同理可得，法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增令在上总有，即在上递增当时，即令由（2）它在上递减即，综上成立，其中。高考数学压轴题29已知函数，是常数，若是曲线的一条切线，求的值；，试证明，使【解析】：-1分，解得，或-2分当时，所以不成立-3分当时，由，即，得-5分作函数-6分，函数

23、在上的图象是一条连续不断的曲线-7分，-8分若，使，即-10分若，当时有最小值，且当时-11分，所以存在（或）从而，使，即-12分高考数学压轴题30我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。 （1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。 （2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线 （m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1d2的值。 （3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。 （4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。【解析】：21（本题20分，第1小题