北京四中-高中数学高考综合复习专题二十六立体几何平行与垂直

1、高中数学高考综合复习专题二十六 立体几何平行与垂直 二、高考考点1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.三、知识要点（一）空间直线1、空间两条直线的位置关系（1）相交直线有且仅有一个公共点；（2）平行直线在同一个平面内，没有公共点；（3）异面

2、直线不同在任何一个平面内，没有公共点.2、平行直线（1）公理4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：设a,b,c为直线， （2）空间等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.3、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.（2）有关概念：（）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线，并使/a，/b,则把和所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.

3、认知：设 为异面直线a，b所成的角，则 .（）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.（）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.（二）空间直线与平面直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内直线与平面有无数个公共点；（2）直线和平面相交直线与平面有且仅有一个公共点；（3）直线和平面平行直线与平面没有公共点.其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.1、直线与平面平行（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.（2）判定判定定理：如果平面外

4、的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.认知：应用此定理证题的三个环节：指出 .（3）性质性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l和平面 内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面 互相垂直，记作l .（2）判定：判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.符号表示： .（3）性质性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.符号表示： （4

5、）概念（）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.（）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.（三）空间两个平面1、两个平面的位置关系（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.（2）两个平面的位置关系（）两个平面平行没有公共点；（）两个平面相交有一条公共直线.2、两个平面平行（1）判定判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.判定定理2：（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）性质性质定理1：

6、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.3、有关概念（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.（2）两个平行平面的公垂线段都相等.（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.4、认知：两平面平行的判定定理的特征：线面平行 面面平行，或线线平行 面面平行；两平面平行的性质定理的特征：面面平行 线面平行，或面面平行 线线平行.它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.四、经典例题例1、在正

7、方体 中，E、F、G、H分别为棱BC、 、 、 的中点，求证：（1） ； （2） 分析：直面线面平行或面面平行的证明，一般是运用相应的判定定理.为此，需要在有关平面内寻找相关直线的平行线.寻找平行线的平面几何方法主要有：（）构造平行四边形；（）构造三角形中位线或三角形中的成比例线段；（）构造梯形注意到已知某些棱的中点，想到找取相关线段的中点，配合原来线段的中点构造上述平面图形.对于（1）适合条件的三角形难以构造，故首选构造平行四边形；对于（2），则由不同图形的构造引出不同的证法.证明：（1）连接 ，并设 ，则 分别为两底面的中心.取OB中点为M， 则由EM为BOC的中位线得 注意到 为正方形

8、四边形 为矩形 由得 四边形 为平行四边形 又 （2）证明（构造平行四边形）：取 中点为N，连接 ，则由 为平行四边形， 又连结 知四边形 为平行四边形 由得 注意到 同理可得 于是由得 。例2、已知平面 分析：已知直线与平面平行，必然要利用线面平行的性质或定义，一般是利用线面平行性质定理.为此，已知直线 ，需要经过直线n作平面 ，进而推出n/a.本题证明由此展开.证明：在平面 （线面平行性质定理） （线面平行判定定理）又 平面 （线面平行性质定理） 于是由得n/m（公理4）点评：立体几何的作图，必须是出手有理有据，已知直线 ，除极个别情形外，一般要利用线面平行性质定理，因此，需要经过直线a作

9、平面 进而推出a/b，切不可直接在 内作b/a，为大家提供“零分证法”的反例.例3、在正三棱柱 中，E是AC中点，（1）求证： ；（2）求证： ；（3）若 .分析：注意到正三棱柱的特性（1）利用上述特性构造三角形，构造平行四边形或构造面面平行，不同的构造产生出不同的证法；（2）注意到正三棱柱的侧面与底面垂直，又这里BEAC，问题易证.（3）注意到 ， 的垂线易作，故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.解：（1）证法一（构造三角形中位线）：连结B1C，设 的对角线交点.又连结EM，则EM为 的中位线， 又 .证法二（构造平行四边形）：在平面 内延长 并与 的延长线交于点G，连结BG，则GA 四

10、边形GAB1B为平行四边形AB1/GB又 证法三（构造平行平面）取A1C1中点为E1，连结B1E1，AE1.四边形 为矩形 为平行四边形EC1/AE1 ABC为正三角形，E为AC中点，BEAC又正三棱柱底面ABC侧面 BE平面 同理要证， 于是由得， 注意到 （2）从略.（3）在平面 内作 FN是CN在 上的射影， （三垂线定理） 点评：对于（1），三种证法各有千秋.证法一中连结CB1，设出 后，ACB1的中位线便呼之欲出了；证法二注意到C1E的延长线必与A1A的延长线相交，大胆“出格”，用正三棱柱之外的线段GB沟通AB1与平面BEC1的联系；证法三则审时度势，主动“升格”，先证相关的两平面平

11、行，而后利用面面平行定义的推论推出 .这里的三种证法为证明线面平行的主要策略.例4、已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F.（1）求证：AFSC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AGSD.分析：（1）注意到AF与SC在同一个平面内，证明AFSC首选三垂线定理逆定理.为此，从已知的线面垂直切入，从寻找它们所在平面SAC的垂线突破.（2）仿（1），从寻找平面SAD的垂线切入或突破.证明：（1）四边形ABCD为矩形BCABSA平面ABCD，AB为SB在平面AC上的射影BCSBBC平面SABBCAE即AEBC又AESBAE平面SBCEF是AF在平

12、面SBC上的射影由SCEF得SCAF，即AFSC（2）由（1）知SC平面AEF，又AG 平面AEFSCAG，即AGSC 由题设得CDAD，CDSACD平面SADCDAG，即AGCD 于是由得AG平面SCDAGSD点评：立体几何中垂直问题的证明，通常是从线线垂直切入，向线面垂直或面面垂直延伸.（1）的证明两用三垂线定理或其逆定理，（2）的证明则运用了线面垂直的定义与判定定理，它们共同展示了证明垂直问题的基本策略.例5、已知P是ABC所在平面外一点，且PA平面ABC，若O、Q分别是ABC和PBC的垂心，求证：OQ平面PBC.分析：循着证明线面垂直问题的基本思路，从已知的线面垂直切入，去构造有关直线

13、的垂面.证明：连结AO并延长交BC边于D， 连结PD.O为ABC的垂心BCAD PA平面ABCPABC又ADPA=ABC平面PADBCPD 又 Q为PBC的垂心，QPD， 又OADOQ 平面PADOQBC 再连结BO并延长交AC于H，连结BQ并延长交PC于R，则ACBH，PCBR.连结HR.PA平面ABC平面PAC平面ABC且平面PAC平面ABCAC由BHAC得BH平面PACBHPC即PCBH注意到PCBRPC平面BHR而OQ 平面BHRPCOQ于是由得OQ平面PBC点评：证明过程的前部，以BC的垂直关系为关系，以推出BCOQ为第一目标；证明过程的中部，以BH的垂直关系为主线，推出BHPC后利

14、用垂直关系的相互性转移；证明过程的后部，则以PC的垂直关系为主线，以推出PCOQ宣告结束.证明线面之间的垂直关系或平行关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.例6、在立体图形P-ABC中，已知PA=PB，CB平面PAB，M为PC的中点，N在棱AB上，试问，当点N在棱AB的什么位置上时有MNAB？分析：对于在限定的垂直关系下确定点或直线的位置问题，一般思路是“先构造后定位”为此，首先需要立足于已知垂面，从已知的线线垂直或线面垂直入手，去寻找有关平面的新的垂线.解：作PB中点H，连接HMM为PC的中点HMBCCB平面PABMH平面PAB，在平面PAB内，过点H作HN

15、AB于N，连接MN 则ABMN（三垂线定理） 又取AB中点D，连结PDPAPB，PDAB HN/PDN为DB中点. 当点N为棱AB上靠近点B的四等分点时，有MNAB.点评：欲确定垂直于棱AB的线段MN，首先从已知条件入手，导出经过点M的平面PAB（或ABC）的垂线，于是这一平面内垂直于AB的直线易作，解题的局面由此打开.寻找有关平面的垂线，也成为证明或求解垂直问题的突破口.五、高考真题（一）选择题1、（2005浙江卷）设 为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且 ，有如下的两个命题：若 ；若 那么（ ）A、是真命题，是假命题； B、是假命题，是真命题；C、都是真命题； D、都是假命题.分析

16、：这里 .对于，若 ，则l，m可能平行，也可能异面；对于，若 则 可能垂直，也可能不垂直.故应选D.2、（2005辽宁卷）已知m,n是两条不重合的直线， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： 若m,n是异面直线， 其中真命题是（ ）A、和 B、和 C、和 D、和分析：由面面平行判定定理知为真命题；注意到垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，为假命题；显然为假命题；由于m,n为异面直线，故可在 内确立两条相交直线与 平行，因而为真命题.故应选D.3、（2005天津卷）设 为平面，m,n,l为直线，则m 的一个充分条件是（ ） 分析：对于选项A，由于这里的直线m不一定在 内，故不一定有m ；

17、对于选项B，它与m 构成的命题是：若两个平面都和第三个平面垂直，则其中一个平面与第三个平面的交线垂直于另一个平面，此命题为假；对于选项C，它与m 构成的命题是：若两个平面都和第三个平面垂直，且直线m垂直于其中一个平面，则m也垂直于另一个平面，此命题亦为假命题；排除法可知应选D.选项D与m 构成的命题是：若直线m与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它和另一个平面也垂直，这显然为真命题.4、（2005重庆卷）对于不重合的两个平面 ，给定下列条件：存在平面 ，使得 都垂直于 ；存在平面 ，使得 都平行于 ； 内有不共线三点到 的距离相等；存在异面直线l,m，使得 ；其中可以判定 平行的条件有（ ）A

18、、1个 B、2个 C、3个 D、4个分析：对于，垂直于同一平面 的两个平面 可能相交；对于，由面面平行的传递性可以判定 ；对于，当 相交时， 内仍可存在不共线三点到 的距离等等；对于，在m上取定点P，经过点P在l与点P确定的平面内作l/l，则与m可确定平面 .由于 于是可知，本题应选B.（二）填空题1、（2005山东卷）已知m,n是不同的直线， 是不重合的平面，给出下列命题：若 若 若 m,n是两条异面直线，若 上面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）分析：显然为假命题；对于， 内的直线m,n不一定相交，故亦为假命题；对于，由题设知 为真命题；对于，由前面选择题第4题知此为真命题

19、.因此，答案为、.2、（2005全国卷）在正方体 中，过对角线 的一个平面交 于E，交 于F，则四边形 一定是平行四边形；四边形 有可能是正方形；四边形 在底面ABCD的投影一定是正方形；平面 有可能垂直于平面 以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）分析：注意到正方体的特性，由面面平行性质定理和 ，故四边形 为平行四边形，正确；在这里，当 时，平行四边形 即 为矩形，且不可能为正方形，不正确；正确；而当平面 与底面ABCD（或 ）重合时有平面 ，故正确.于是可知答案为，.（三）解答题1、（2005湖南卷）如图1，已知ABCD是上下底面边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 折成

20、直二面角，如图2. （1）证明： ； （2）求二面角 的大小. 分析：循着解决平面图形折叠问题的基本思路：（1）认知平面图形中有关线段的长度与联系；（2）了解折叠前后有关线段的长度或联系的变与不变；（3）利用不变的量与不变的关系解题.在这里，由图1知， .至此（1）易证；对于（2），由（1）知 ， ，故 ，于是可利用三垂线定理构造所求二面角的平面角.解：（1）证明：由题设知 AOB是所成的直二面角的平面角，即 ， OC是AC在平面 上的射影 又由题设得 从而 根据三垂线定理由得， .（2）解：由（1）知 ， ， 设 ，在平面AOC内过点E作EFAC于F，连结 （三垂线定理） 由题设知， 又 即

21、所求二面角的大小为 .点评：利用原来平面图形折叠后“不变的量”与线段间不变的垂直或平行关系，推出立体图形中 ，是证明（1）以及解答（2）的基础与关键.由此可见，这类问题中认知平面图形的重要.2、（2005广东卷）在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB .F是线段PB上一点， ，点E在线段AB上，且EFPB.（1）证明：PB平面CEF；（2）求：二面角B-CEF的大小. 分析：（1）要证PB平面CEF，只要证PB垂直于CE或CF.这一设想的实现与否，要看对有关三角形的特性的认知与把握.在这里， ， 故易得 BC平面PAC，BCAC等.注意到 ， ，便得PBCF

22、，于是问题获证.（2）由（1）知CEPB，从而CE平面PAB，CEAB，CEEF，故BEF为所求二面角的平面角.至此，解题的难点得以突破.解：（1）证明：PA2+AC2=36+64=100=PC2PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证：PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形。故PA平面ABC 而 故CFPB, 又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE，PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的

23、平面角。tanFEB=cotPBA= 二面角BCEF的大小为arctan 点评：条件求值或证明中的已知数据经常具有双重作用，一是明确给出可用于计算或推理的量值，二是从中隐含有关各量之间的特殊联系.对于本题，揭露并认知有关线段的垂直关系，乃是解题取胜的关键环节.3、（2005福建卷）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE.（1）求证：AE平面BCE； （2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离. 分析：（1）注意到BF平面ACE，故AEBF.又AECB明显，问题易证.（2）注意到四边形ABCD为正方形，故想

24、到连结BD交AC于G，若取AC中点为G，连结BG，则ACBG.再连结GF，只要证GFAC，便得出BGF为所求二面角的平面角.（3）注意到平面ACE经过线段BD的中点，故B、D两点到平面ACE的距离相等.据此，在直接画出并求解这一距离有困难时，可转而去求点B到平面ACE的距离，或运用体积法求这一距离.解法一：（1） 平面ACE. 二面角DABE为直二面角，且 ， 平面ABE， （2）连结BD交AC于G，连结FG，正方形ABCD边长为2，BGAC，BG= ， 平面ACE，由三垂线定理的逆定理得FGAC. 是二面角BACE的平面角.由（）AE平面BCE， AEEB，又 ，在等腰直角三角形AEB中，B

25、E= .又 直角 ， 二面角BACE等于 （3）方法一：过点E作 交AB于点O.，OE=1.二面角DABE为直二面角，EO平面ABCD设D到平面ACE的距离为h， 平面BCE， 点D到平面ACE的距离为 方法二：G为BD中点，D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离.BF平面ACEBF即为点B到平面ACE的距离.又由（2）知， 所求点D到平面ACE的距离为 .解法二：（1）同解法一.（2）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图. 面BCE，BE 面BCE， ，在 的中点， 设平面AEC的一个法向量为 ，则 即 解得 令 得 是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法