初中几何辅助线专题

1、学智教育教师备课手册教师姓名阮晨洲 学生姓名阮晨洲 填写时间2012.2.1 学科数学 年级初三 上课时间 课时计划2小时 教学目标教学内容中考复习 几何辅助线专题个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析教学重点、难点教学过程几何辅助线专题一添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可

2、防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段

3、是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴

4、对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （7）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 （8）特殊角直角三角形 当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：2；30度角

5、直角三角形三边比为1：2：3进行证明 （9）半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦-直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。二基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全

6、等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与

7、一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。

8、（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（1）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。（2）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周

9、角，利用直径所对的圆周角是直角这一特征来证明问题。（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用切线与半径垂直这一性质来证明问题。（4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法怎么样才能想到呢？一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点

10、作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有

11、关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与

12、直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助

13、线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。典型例题分析1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 设P、Q为线段BC上两点,且BPCQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使BAPCAQ时,ABC是什么三角形？试证明你的结论.答： 当点A运动到使BAPCAQ时,ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P

14、、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在DBPAQC中,显然DBPAQC,DPBC.由BPCQ,可知 DBPAQC.有DPAC,BDPQAC.于是,DABP,BAPBDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故ABDP. 所以ABAC. 这里,通过作平行线,将QAC“平推”到BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.例2 如图2,四边形ABCD为平行四边形,BAFBCE.求证：EBAADE. 证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE. 由AB CD,易知PBAECD.有PAED,PBEC. 显然,四边形PBCE、PADE均为平行四

15、边形.有 BCEBPE,APEADE. 由BAFBCE,可知 BAFBPE. 有P、B、A、E四点共圆. 于是,EBAAPE. 所以,EBAADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.APE成为EBA与ADE相等的媒介,证法很巧妙.2 为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3 在ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：PMPNPQ.证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD于

16、F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC于K、G,连PG. 由BD平行ABC,可知点F到AB、BC两边距离相等.有KQPN. 显然,可知PGEC. 由CE平分BCA,知GP平分FGA.有PKPM.于是, PMPNPKKQPQ. 这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PMPK,就有PMPNPQ.证法非常简捷.3 为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4 设M1、M2是ABC的BC边上的点,且BM1CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P

17、、Q、N1、N2.试证：.证明：如图4,若PQBC,易证结论成立. 若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于E. 由BM1CM2,可知BECEM1EM2E,易知 , ,.则.所以,. 这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.例5 AD是ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：FDAEDA.证明：如图5,过点A作BC的平行线,分别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M. 显然,.有BDAMDCAN. (1)由, 有AP. (2)由, 有AQ. (3)对比(1)、(2)、(3)

18、有APAQ. 显然AD为PQ的中垂线,故AD平分PDQ.所以,FDAEDA.这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.4 为了线段相等的传递 当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且MDN90.如果BM2CN2DM2DN2,求证：AD2(AB2AC2).证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND延长线于E.连ME. 由BDDC,可知EDDN.有BEDCND. 于是,BENC. 显然,MD

19、为EN的中垂线.有 EMMN. 由BM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2,可知BEM为直角三角形,MBE90.有 ABCACB ABCEBC90. 于是,BAC90. 所以,AD2(AB2AC2). 这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.例7 如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EADA,FBDB.过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平分EF. 证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、EB.易知 DB2FB2ABHB, AD2AE2AGAB. 二式相减,得 DB2AD2AB(HBAG),或

20、 (DBAD)ABAB(HBAG). 于是,DBADHBAG,或 DBHBADAG. 就是DHGD. 显然,EGCDFH. 故CD平分EF. 这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩. 经过一点的若干直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有 ,即 或. 此式表明,DMME的充要条件是 BNNC. 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例8 如图9,ABCD为四边形,两

21、组对边延长后得交点E、F,对角线BDEF,AC的延长线交EF于G.求证：EGGF.证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE、AF于M、N.由BDEF,可知MNBD.易知 SBEFSDEF. 有SBECSKG *5DFC. 可得MCCN. 所以,EGGF.例9 如图10,O是ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为O与BC、CA、AB的切点.若OD与EF相交于K,求证：AK平分BC.证明：如图10,过点K作BC的行平线分别交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、OE、OF. 由ODBC,可知OKPQ. 由OFAB,可知O、K、F、Q四点共圆,有 FOQFKQ. 由OEAC,可知O、K、P

22、、E四点共圆.有EOPEKP. 显然,FKQEKP, 可知 FOQEOP. 由OFOE,可知 RtOFQRtOEP. 则OQOP. 于是,OK为PQ的中垂线,故QKKP. 所以,AK平分BC. 综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.梯形辅助线相关 口诀：梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线

23、的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。平移对角线。转化为三角形、平行四边形。延长两腰，转化为三角形。作高，转化为直角三角形和矩形。中位线与腰中点连线。（一）平移1、平移一腰：例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的长. 解：过点D作DEBC交AB于点E. 又ABCD，所以四边形BCDE是平行四边形. 所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，

24、求另一腰BC的取值范围。解：过点B作BM/AD交CD于点M，在BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以BC的取值范围是：54BC54，即1BCCD，求证：BDAC。证：作AEBC于E，作DFBC于F，则易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中，因为ABCD，AE=DF。所以由勾股定理得BECF。即BFCE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BDAC（五）作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例13如图，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点，AOD=90，求证：ABCD=AD。证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90，AE=DE所以由、得ABCD=AD。2、已知梯形两条对角线的中