全国高中数学联赛模拟试题

1、 全国高中数学联赛模拟试题 张国庆 四川自贡蜀光中学 一 填空题（每题8分，共64分）1.设a是一个实数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是 。2.已知xy=1,且0y0,代入式消去得对一切恒成立可得： 由式知代入式得此时MN的方程为将此方程与椭圆方程联立消去y得代入式得弦中点纵坐标为恰为Q点的纵坐标 所以Q点平分线段MN.加试参考答案一、作直径DE，连AD、AE，则ADX=AED，AXD=EAD=90。，所以ADXDEA，于是,即AD2=DEAX，同理BD2=DEBY，CD2=DECZ.由托勒密定理，有ABCD+BCAD=ACBD.所以，AB+BC=AC即AB+BC=AC.2、 满

2、足题目最大整数k=2，事实上，如果，yi是质数，则xi也为质数，因为，xi=1,则yi=1不为质数，若xi=mn（整数m、n1),则2m-1|2xi-1,即xi为分数，则yi也为分数。x3x3-1下面证明，对任意的奇质数a1、y1、y2、y3中至少有一个合数（假设不然，则x1、x2、x3均为质数，由于x13是奇数，则x23，且x23（mod4），因此x37(mod8)，则2是x3二次剩余，即存在xN*，使得x22(mod x3),从而，2x2=2x 1(mod x3),则x3|y3，显然y2是合数，因为x23，则2 -12x2+1=x3，所以y2是合数。最后，如果a=2，得y1=3,y2=31

3、,而y3=211-1能被23整除，所以k=2.3、 证明：若n与10不互质，设n=n125，（n1，10）=1，取b使bn=n12+5+，将bm与n1看作原来的m、n，因此可以不妨设（n，10）=1.此时，10rk+m10sn+k我们可以取到正整数c、k、r、s满足 c=10t+=10t+.为此，我们首先取正整数r满足10rm-nn2且10rm，由于（n，10）=1，故10与10rm-n互质，因此我们可以取到10的某个幂次，被10rm-n除余1，将这个幂次记为10s+2r，由n10rm(mod10rm-n)知，10sn2-m210sn210s+2rm2m2(mod10rm-n),10rm-n所

4、以k=为正整数，再取正整数10rk+m10sn+ktmax10sn+k，10rk+m，令 c=10t+ =10t+ .此时，cm=10tm+10sn+k，cn=10tn+10rk+m，由于10rm-nn2，所以10s(10rm-n)10sn210sn2-m2,4n410rm-n10sn2-m2即k=10s,所以cm由m的数字接若干0再接n的数字接若干0再接k的数字构成，cn由n的数字接若干0再接k的数字接若干0再接m的数字构成，显然在十进制表示下每个非零数字出现次数相同，证毕。4、 先证明：对于nn的方格表有T.设第i行有ai个白格，第j列有bj个白格，R是红格的集合，对于每个红格（i，j），有aibj个满足条件的方格组（C1，C2，C3），其中，C2=（i，j），于是，T=aibj.4n3由均值不等式得T(a2i+b2j)=(n-aj)a2j+(n-bj)b2j，这是因为第i行有n-ai个红格，第j列有n-bj个红格。对于0xn，由均值不等式知（n-x)x2=(2n-2x)xx()3=,4n34n44n3当且仅当x=时，上式等号成立。故T+=.若n=999，则x=666.对于每行、每列均有666个白格的染法，上述关于T的不等式的等号均成立。下面的例子就能使得每行、每列均