专题六第二讲排列

1、专题六第二讲排列、组合、二项式定理与概率1(2012浙江)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种答案： D对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有CCCC66种2(2012山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能全是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484答案：C若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有CCC64种，若2张同色

2、，则有CCCC144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有CCCC192种，剩余2张同色，则有CCC72种，所以共有6414419272472种不同的取法故选C.3(2012辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B. C. D.答案：C设出AC的长度，先利用矩形面积小于32 cm2求出AC长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解设ACx cm，CB(12x)cm，0x12，所以矩形面积小于32 cm2即为x(12x)320x4或8x12，故所求概率为.4(2012广东)6的展开式中x3的系数

3、为_(用数字作答)解析由6的展开式的通项为Tr1C(x2)6rrCx123r，令123r3，得r3，所以展开式中x3的系数为C20.答案20排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，因此备考时：要读懂题意，明确解题的突破口，选择合理简洁的标准处理事件；要牢记排列数、组合数、二项展开式公式；排列组合是进行概计算的工具，在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具.必备知识排列、组合(1)排列数公式An(n1)(n2)(nm1)，A，An！，0！1(nN*，mN*，m

4、n)(2)组合数公式及性质C，C，C1，CC，CCC.二项式定理(1)定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCabn1Cbn(nN*)通项(展开式的第r1项)：Tr1Canrbr，其中C(r0,1，n)叫做二项式系数(2)二项式系数的性质在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即CC，CC，CC，CC.二项式系数的和等于2n，即CCCC2n.二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即CCCCCC2n1.(3)赋值法解二项式定理有关问题，如3n(12)nCC21C22C2n等古典概型(1)P(A)(2)求古典概型概率的方法和步骤反复阅读题目，收集

5、题目中的各种信息，理解题意判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件利用列举法或排列组合知识计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m.计算事件中A的概率P(A).必备方法1解排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步2解排列、组合问题的常用策略：a相邻问题捆绑法；b.不相邻问题插空法；c.多排问题单排法；d.定序问题倍缩法；e.多元问题分类法；f.有序分配问题分步法；g.交叉问题集合法；h.至少或至多问题间接法；i.选排问题先取后排法；j.局部与整体问题排除法；k.复杂问题转化法3二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，如(1x

6、)n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只要令x1即得，而(1x)n的展开式中各项系数的绝对值的和，直接令x1，这样就不难类比得到(1ax)n展开式中各项系数绝对值的和为(1|a|)n.以实际生产、生活为背景的排列、组合问题是近几年的常考内容，解题时要先将问题转化为排列组合问题后再求解题目多为中低档题，为后面学习概率做基础【例1】 某城市举行奥运火炬接力传递活动，传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两 人中产生，则不同的传递方案共有_种(用数字作答)审题视点 听课记录审题视点 按照第一棒是否为甲、乙分两类求解

7、解析按照第一棒是否为甲，乙，可分为两类：第一棒是丙，则第六棒的安排有C种，中间4棒剩余4人全排列，故不同的安排方法有CCA48种；第一棒是甲，乙中一人，则第一棒的安排有C种，最后一棒则只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中间4棒剩余4人全排列，矿不同的安排方法有CCA48种根据分类计数原理，可得不同的方案共有484896种答案96 对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准【突破训练1】 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶

8、数的个数是()A72 B96 C108 D144答案： C从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C种方法，将其余两个偶数全排列，有A种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有AA种方法，故满足题意的偶数个数有CA(AAA)108.求二项式定理展开式的通项、特定项、二项式或项的系数，常以选择、填空题形式考查，二项式定理的应用有时也在数列压轴题中出现，主要是利用二项式定理及不等式放缩法证明不等式【例2】 (2011安徽)设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.审题视点 听课记录审题视点 由Tr1Cx21r(1)r求解解析Tr1Cx21r

9、(1)r，a10C(1)11，a11C(1)10，a10a11CCCC0.答案0 1.利用二项展开式的通项分析求解时，注意二项式系数与项的系数的区别2二项式定理的应用不仅要注重它的“正用”，而且重视它的“逆用”；还要注意特殊值法的使用【突破训练2】 若n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A360 B180 C90 D45答案： B依题意知：n10，Tr1C()10rrC2rx5r，令5r0得：r2，常数项为：C22180.第一课时古典概型对于古典概型的考查常将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，是高考考查的重点【例3】 (2012天津六校三

10、模)盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分现从盒内任取3个球(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率审题视点 听课记录审题视点 (1)间接法求概率；(2)用组合知识求概率解(1)P1.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(BC)P(B)P(C). 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时

11、应不重不漏【突破训练3】 有编号为A1，A2，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间1.48,1.52内的零件为一等品(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中随机抽取2个()用零件的编号列出所有可能的抽取结果；()求这2个零件直径相等的概率解(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A).(2)()一等品零件的编号为A1，A2，A

12、3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共有15种()“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：A1，A4，A1，A6，A4，A6，A2，A3，A2，A5，A3，A5，共有6种所以P(B).防范二项式展开式中的两个易错点易错点1：二项式(ab)n展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错【示例1】 (2012江苏苏北四市调研)n展开式中第三项的系

13、数比第二项的系数大162，则x的一次项系数为_解析据题意有：C22162，即2n(n1)2n162.n9.则Tr1C()9rrC(2)rx.由1，r3.T4(1)323Cx672x.答案672老师叮咛：若与的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错一般地，二项式(ab)n与(ba)n的通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分【试一试1】 已知(13x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于120，则展开式中二项式系数最大的项为_解析由已知得CCC121，则n(n1)n1121，即n2n2400，解得n15，所以，展开式中二项式系数最大的项是T8C(3x)7和T9C(3x)8.答案

14、T8C(3x)7和T9C(3x)8易错点2：二项式展开中项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错【示例2】 (2012山东青岛一模)如果n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是()A7 B7 C21 D21解析当x1时，n2n128，n7，即7，根据二项式通项公式得Tr1C(3x)7r(1)rrC37r(1)rx7r.7r3，r6时对应，即T61C376(1)673.故项系数为21.答案C老师叮咛：展开式中f(1,x3)项的二项式系数是C7，项的系数为21，因此在解此类问题时，须注意二项式系数与项的系数的区别和联系.【试一试2】 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开

15、式中常数项为()A40 B20 C20 D40答案： D因为展开式各项系数和为2，所以取x1得：(1a)(21)52，a1.二项式即为：5，它的展开式的常数项为：xC(2x)23C(2x)324C40.概率、随机变量及其分布列(2012湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学

16、期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注：将频率视为概率)答案：解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X1)，P(X1.5)，P(X2)，P(X2.5)，P(X3).X的分布列为X11.522.53PX的数学期望为E(X)11.522.531.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i1,2)为该顾客前面

17、第i位顾客的结算时间，则P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21).故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型，主要以解答题的方式考查离散型随机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用本部分复习要从整体上，知识的相关关系上进行离散型随机变量问题的核心是概率计算，而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心，在解题中要充分分析事件之间的关系.必备知识互

18、斥事件有一个发生的概率若A、B是互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)，P(A)P(A)1.相互独立事件与n次独立重复试验(1)若 A1，A2，An是相互独立事件，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)如果在一次试验中事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为1p，那么在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为：Pn(k)Cpk(1p)nk.离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)主干知识：随机变量的可能取值，分布列，期望，方差，二项分布，超几何分布，正态分布(2)基本公式：E()x1p1x2p2xnpn；D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn；E(ab

19、)aE()b，D(ab)a2D()；二项分布：B(n，p)，则P(k)Cpk(1p)nk，E()np，D()np(1p)正态分布(1)若X服从参数为和2的正态分布，则可表示为XN(，2)(2)N(，2)的分布密度曲线关于直线x对称，该曲线与x轴所围成的图形的面积为1.(3)当XN(，2)时，0.683P(X)，0.954P(2X2)，0.997P(3X3)以上三个概率值具有重要的应用，要熟记，不可混用必备方法1在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相

20、关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答2相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质3求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算互斥事件、相互独立事件的概率在求随机变量的

21、分布列、期望、方差往往起工具性作用，试题多来源于生活，考查阅读理解能力及对概率知识的应用能力【例1】 (2012陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间/分12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望审题视点 听课记录审题视点 (1)第三个顾客恰好等待4分钟的情况有三种可能：第一个顾客需1分钟，第二个顾客需3分钟；第一个顾客需3分钟，第二

22、个顾客需1分钟；两个顾客都需要2分钟(2)找出第2分钟末已办理完业务的顾客人数X的所有可能取值，其取值分别为0,1,2；求出分布列，得出期望，本问最难的是分布列的求解解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3

23、)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22.(2)法一X所有可能的取值为0,1,2.X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X0)P(Y2)0.5；X1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.法二X的

24、所有可能取值为0,1,2.X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51. 在概率的计算中，一般是根据随机事件的含义，把随机事件分成几个互斥事件的和，每个小的事件再分为几个相互独立事件的乘积，然后根据相应的概率公式进行计算【突破训练1】 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的

25、概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率解记Ai表示事件：第i局甲获胜，i3,4,5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j3,4.(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛AA3A4B3B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)P(A3A4B3B4)P(A3A4)P(B3B4)P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)0.60.60.40.40.52.(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而BA3A4B3A4

26、A5A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5)P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5)0.60.60.40.60.60.60.40.60.648.以实际生活或生产为背景来考查二项分布是高考的“永久”热点，难点是透过问题的实际背景发现n次独立重复试验模型及二项分布，准确把握独立重复试验的特点是解答二项分布问题的关键【例2】 (2012天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参

27、加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|.求随机变量的分布列与数学期望E()审题视点 听课记录审题视点 (1)利用二项分布的概率公式求解；(2)利用二项分布和互斥事件的概率公式求解；(3)建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期望解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则P(Ai)Ci4i.(1)这4个人中恰有2人

28、去参加甲游戏的概率P(A2)C22.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4.由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P的期望E()024. (1)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：是否为n次独立重复试验；随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数(2)在n次独立重复试验中，恰

29、好发生k次的概率P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.【突破训练2】 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”给予5万元的资助；若未能获得“支持”，则不予资助，求：(1)该公司的资助总额为零的概率；(2)该公司的资助总额超过15万元的概率解(1)设A表示“资助总额为零”这个事件，则P(A)6.(2)设B表示“资助总额超过15万元”这个事件，则P(B)156666.第二讲离散型随机变量分布列、期望与方差以考生比较熟悉的实际应用问

30、题为背景，综合排列组合、概率公式、互斥事件、独立事件及独立重复事件等基础知识，考查对随机变量的识别及概率计算的能力【例3】 (2012新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率()若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的

31、利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；()若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由审题视点 听课记录审题视点 (1)根据日需求量分类求出函数解析式；(2)()根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差()比较两种情况的方差或数学期望即可解(1)当日需求量n16时，利润y80.当日需求量n16时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为y(nN)(2)()X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)60

32、0.1700.2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.()答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)

33、，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花 (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率公式求概率(2)求随机变量期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列若随机变量服从

34、二项分布，则可直接使用公式法求解【突破训练3】 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求X的期望解记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2

35、)D，P(D)1P(C)10.80.2，XB(100,0.2)，即X服从二项分布，所以期望E(X)1000.220.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)p0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0p1)，即P(A)p，P()1pq.由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余nk次不发生的概率为pkqnk.而在n次试验中，事件A恰好发生k(0kn)次的概率为Pn(k)Cpkqnk，k0,

36、1,2，n.它恰好是(qp)n的二项展开式中的第k1项【示例】 (2012四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E()满分解答(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(4分)(2)由题意，P(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3.(8分)所以，随机变量的概率分布列为0123P故随机变量的数学期望：E()0123.(12分)老师

37、叮咛：对于(1)，依据题意及相互对立的两个事件的概率间的关系列出相关的方程，通过解方程得出结论；对于(2)，根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而利用期望的定义公式通过计算得出期望值.【试一试】 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得100分假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望(2)求这名同学总得分不为负分(即0)的概率解(1)的可能取值为300，100,100,300.P(300)0.230.008，P(100)30.220.80

38、.096，P(100)30.20.820.384，P(300)0.830.512.所以的概率分布为300100100300P0.0080.0960.3840.512根据的概率分布，可得的期望E(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(0)0.3840.5120.896.必考问题20统计及其与概率的交汇问题(2012广东)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80

39、分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为，求的数学期望解(1)由题意得：10x1(0.00630.010.054)100.18，x0.018.(2)成绩不低于80分的学生共有(0.0180.006)105012人，其中90分以上(含90分)的共有0.00610503人，的可能值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，的分布列为012PE()012.本部分主要考查随机抽样、样本估计总体、线性回归分析，独立性检验的简单应用，一般是选择题、填空题，试题难度中等或稍易若以解答题出现，往往与概率、离散型随机变量的分布列交汇考查在复习统计问题时，要紧紧抓住这些图表和方法，

40、把图表的含义弄清楚，这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解，在弄清楚统计问题的基础上，要与概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差密切结合掌握.必备知识抽样方法抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围用样本估计总体(1)利用样本频率分布估计总体分布：频率分布表和频率分布直方图；总体密度曲线；茎叶图(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征：众数、中位数；样本平均数(x1x2xn)i；样本方差s2(x1)2(x2)2(xn)2(xi)2；样本标准差s .线性回归方程方程bxa称为线性回归方程，其中bab；

41、(，)称为样本中心点独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为：22列联表y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造一个随机变量K2，P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828必备方法用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.解决与频率分布直方图有关的问题时，应正确理解已知数据的含义，掌握图表中各个量的意义(2)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体

42、分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布总体期望的估计，计算样本平均值i；总体方差(标准差)的估计：方差(xi)2，标准差，方差(标准差)较小者较稳定.此类试题主要考查分层抽样、频率分布直方图、茎叶图、线性回归方程、平均数和方差的计算、以及识图能力、借助概率统计知识分析、解决问题的能力，均可单独命制一道小题【例1】 某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段40,50)，50,60)，90,100)后，画出如图所示的频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为_；平均分

43、为_审题视点 听课记录审题视点 (1)由图可知甲、乙的成绩，再利用公式计算用样本中及格的频率估计总体的及格率，以样本的平均数估计总体的平均数，即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总体的平均数(1)C由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为(46)2(56)2(66)2(76)2(86)22，(56)2(56)2(56)2(66)2(96)2，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错(2)解析及格的各组的频率是(0.0150.030.0250.005)100.75，

44、即及格率约为75%；样本的均值为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.答案75%71 (1)如果已知频率分布直方图，那么就用样本在各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率，用样本的均值估计总体的均值，根据频率分布图估计样本均值的方法是取各个小组的中点值乘以各个小组的频率之和进行的(2)根据茎叶图，我们可方便地求出数据的众数与中位数，大体上估计出两组数据的平均数大小与稳定性【突破训练1】 (2012陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)设甲乙两组

45、数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则()A.甲乙，m甲m乙 B.甲乙，m甲m乙C.甲乙，m甲m乙 D.甲乙，m甲m乙答案： (1)C从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an930(n1)30n21，由45130n21750，得n，所以n16,17，25，共有2516110人，选C.(2)B由茎叶图可知甲数据集中在10至20之间，乙数据集中在20至40之间，明显甲乙，甲的中位数为20，乙的中位数为29，即m甲m乙，所以选B.第三讲抽样方法、直方图、茎叶图的交汇问题准确提取直方图、茎叶图中的

46、信息是解此类题的关键，借助这些数据结合独立事件、互斥事件可设计概率、分布列问题，高考在此结合点处命题有加强的趋势【例2】 (2012韶关模拟)某班同学进行社会实践，对25,55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组25,30)1200.6第二组30,35)195p第三组35,40)1000.5第四组40,45)a0.4第五组45,50)300.3第六组50,55)150.3(1)补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；(2)从4

47、0,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望E(X)审题视点 听课记录审题视点 (1)频率小长方形的面积；(2)用超几何分布解决解(1)第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高为0.06.频率直方图如下：第一组的人数为200，频率为0.0450.2，所以n1 000.由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 0000.3300，所以p0.65.第四组的频率为0.0350.15，所以第四组的人数为1 0000.15150，所以

48、a1500.460.(2)因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为603021，所以采用分层抽样法抽取18人，40,45)岁中有12人，45,50)岁中有6人随机变量X服从超几何分布P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X0123P所以随机变量X的分布列为所以数学期望E(X)01232. 解决该类问题的基础是频数分布表、茎叶图等知识，在解题时，一定要仔细认真，防止在这个数据表中出现错误，导致后续各问解答也随之出现错误【突破训练2】 (2011北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.甲组乙组990X891110(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)解(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：；方差为：s2.(2)当X9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4