物理带电粒子在复合场中的运动专项

1、一、带电粒子在复合场中的运动专项训练1 下图为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场 .其中 mn 和 m n 是间距为 h 的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔o 和o ， o n on d ， p 为靶点， o p kd （ k 为大于 1 的整数）。极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为 u 。质量为 m 、带电量为 q的正离子从 o 点由静止开始加速，经 o 进入磁场区域 .当离子打到极板上 o n 区域（含 n 点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求：（1）离子经过

2、电场仅加速一次后能打到p 点所需的磁感应强度大小；（ 2）能使离子打到 p 点的磁感应强度的所有可能值；（ 3）打到 p 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。【来源】 2015 年全国普通高等学校招生统一考试物理（重庆卷带解析)【答案】（ 1）b2 2qum（ ） b22nqum2， (n1,2,3, l , k 1) （）qkd2qkd3(2 k23) mkd22( k 1)mt磁 =， t电 =h2 2qum(k21)qu【解析】【分析】带电粒子在电场和磁场中的运动、牛顿第二定律、运动学公式。【详解】（1）离子经电场加速，由动能定理：可得 vqu1 mv222qum磁

3、场中做匀速圆周运动：v2qvbmr刚好打在p 点，轨迹为半圆，由几何关系可知：kdr222qum联立解得 bqkd；（2）若磁感应强度较大，设离子经过一次加速后若速度较小，圆周运动半径较小，不能直接打在 p 点，而做圆周运动到达n 右端，再匀速直线到下端磁场，将重新回到o 点重新加速，直到打在p 点。设共加速了n 次，有：nqu1 mvn22qv bm vn2nrn且：rnkd22 2nqum，解得： bqkd要求离子第一次加速后不能打在板上，有r1d2且：qu1 mv122qv1bm v12r1解得： n k 2 ，故加速次数 n 为正整数最大取 nk 21即：b22nqum (n1,2,3

4、,l , k21) ；qkd（3）加速次数最多的离子速度最大，取nk21，离子在磁场中做n-1 个完整的匀速圆周运动和半个圆周打到p 点。由匀速圆周运动：t2r2mvqbt(2k 23) mkdt磁 =(n 1)t2 2qum( k21)2电场中一共加速n 次，可等效成连续的匀加速直线运动.由运动学公式(k 2 1)h1 at电22a2(k21)mqumh可得： t电 =hqu2 如图所示，直径分别为 d 和 2d 的同心圆处于同一竖直面内， o 为圆心， gh 为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域 ( 区 )和小圆内部 ( 区 )均存在垂直圆面向里的匀强磁场间距为d 的两平行金属极板间有一匀

5、强电场，上极板开有一小孔一质量为m、电量为 q 的粒子由小孔下方d 处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由h2点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。(1)求极板间电场强度的大小；(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求区磁感应强度的大小；(3)若 区、 区磁感应强度的大小分别为2mv4mv,粒子运动一段时间后再次经过hqd、qd点，求这段时间粒子运动的路程【来源】 2015 年全国普通高等学校招生统一考试物理（山东卷带解析)【答案】（ 1） mv2（ 2） 4mv 或 4mv （ 3）5.5 dqdqd3qd【解析】【分析】【详解】(1)粒子在电场中，根据动能定理eq d1 mv2

6、，解得 emv222qde(2)若粒子的运动轨迹与小圆相切，则当内切时，半径为r / 2v2，解得 b4mv由 qvb1 mqdr1则当外切时，半径为er由 qvb1 m v24mv，解得 b3qdr2(2)若 区域的磁感应强度为m9qb2 l2，则粒子运动的半径为100u 0u16u 0 ； 32u 0819区域的磁感应强度为qu01mv2 ，则粒子运动的半径为 qvbm v2；2r设粒子在 区和 区做圆周运动的周期分别为t1、 t2，由运动公式可得：t1 2 r1 ； r03 lv14据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图所示，根据对称性可知，区两段圆弧所对的圆心角相同，

7、设为1 ， 区内圆弧所对圆心角为2 ，圆弧和大圆的两个切点与圆心 o 连线间的夹角设为，由几何关系可得：1 120o ； 2 180o ；60o粒子重复上述交替运动回到h 点，轨迹如图所示，设粒子在 区和 区做圆周运动的时间分别为 t1、 t2 ，可得： rlu1u ； 5u 0l6设粒子运动的路程为s，由运动公式可知：s=v(t1+t2)联立上述各式可得：s=5.5 d3 如图所示，在坐标系oxy 的第一象限中存在沿y 轴正方向的匀强电场，场强大小为e在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里a 是 y 轴上的一点，它到坐标原点 o 的距离为 h； c 是 x 轴上的一点，到o 的距离

8、为 l一质量为 m，电荷量为 q 的带负电的粒子以某一初速度沿x 轴方向从 a点进入电场区域，继而通过c 点进入磁场区域并再次通过 a 点，此时速度方向与 y轴正方向成锐角不计重力作用试求：（ 1）粒子经过 c 点速度的大小和方向；（ 2）磁感应强度的大小 b【来源】 2007 普通高等学校招生全国统一考试（全国卷) 理综物理部分【答案】（1） arctan 2hl（2） b12mhel 2qh2【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）以 a 表示粒子在电场作用下的加速度，有qe ma 加速度沿 y 轴负方向设粒子从a 点进入电场时的初速度为v0 ，由 a 点运动到 c 点经历的时间为 t，则

9、有： h1at 22lv0t a由式得 v0 l设粒子从c 点进入磁场时的速度为v，v 垂直于 x 轴的分量 v1 2ah 由式得： v1 v02v12 qe 4h2l 22mh设粒子经过c 点时的速度方向与x 轴的夹角为，则有v1tan 由式得 arctan 2hl（2）粒子从 c 点进入磁场后在磁场中作速率为v 的圆周运动若圆周的半径为r，则有 qvb m v2ruuuruuuruuur设圆心为 p，则 pc 必与过 c 点的速度垂直，且有pc pa r 用表示 pa 与 y 轴的夹角，由几何关系得：rcosrcosh rsinl rsin解得h2l 22l2r4h2hl由式得： b=12

10、mheh2l 2q4 如图所不，在x 轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为b0 的匀强磁场位于x轴下方的离子源c 发射质量为 m、电荷量为 g 的一束负离子，其初速度大小范围0?，这束离子经电势差的电场加速后，从小孔o（坐标原点）垂直x 轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到x轴上在x轴上2a 3a区间水平固定放置一探测板?（），假设每秒射入磁场的离子总数为n0，打到 x 轴上的离子数均匀分布（离子重力不计）（ 1）求离子束从小孔 o 射入磁场后打到 x 轴的区间；（ 2）调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁感应强度大小 b1；（ 3）保持磁感应强度 b1

11、不变，求每秒打在探测板上的离子数n；若打在板上的离子 80%被吸收，20%被反向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6 倍，求探测板受到的作用力大小【来源】浙江省2018 版选考物理考前特训（2017 年 10 月 ) 加试 30 分特训：特训7 带电粒子在场中的运动试题【答案】 （1）；（ 2）（ 3）【解析】(1)对于初速度为0 的离子，根据动能定理：qu mv在磁场中洛仑兹力提供向心力：，所以半径： r1a恰好打在 x 2a的位置；对于初速度为v0的离子， qu mv m(0 2v )r 2a，2恰好打在 x 4a的位置故离子束从小孔o 射入磁场打在x 轴上的区间为 2a ，4a(2

12、)由动能定理qu mv m(02v )r33r a解得 b10 b(3)对速度为 0 的离子qu mvr4 a2r4 1.5a离子打在x 轴上的区间为1.5a,3ann0 n0对打在 x2a 处的离子qv3b1对打在 x3a 处的离子qv4b1打到 x 轴上的离子均匀分布，所以由动量定理ft 0.8nm 0.2n(0.6m解得 fn0mv0 m)【名师点睛 】初速度不同的粒子被同一加速电场加速后，进入磁场的速度也不同，做匀速圆周运动的半径不同，转半圈后打在x 轴上的位置不同分别求出最大和最小速度，从而求出最大半径和最小半径，也就知道打在x 轴上的区间；打在探测板最右端的粒子其做匀速圆周运动的半

13、径为 1.5a ，由半径公式也就能求出磁感应强度；取时间t=1s ，分两部分据动量定理求作用力两者之和就是探测板受到的作用力5对铀 235 的进一步研究在核能的开发和利用中具有重要意义如图所示，质量为m、电荷量为 q 的铀235离子，从容器 a 下方的小孔 s1 不断飘入加速电场，其初速度可视为零，然后经过小孔s2垂直于磁场方向进入磁感应强度为b 的匀强磁场中，做半径为r 的匀速圆周运动离子行进半个圆周后离开磁场并被收集，离开磁场时离子束的等效电流为i不考虑离子重力及离子间的相互作用（1）求加速电场的电压u；（2）求出在离子被收集的过程中任意时间t 内收集到离子的质量m ；（3）实际上加速电压

14、的大小会在u+u范围内微小变化若容器a 中有电荷量相同的铀235 和铀 238 两种离子，如前述情况它们经电场加速后进入磁场中会发生分离，为使这两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠，应小于多少？（结果用百分数表示，保留两位有效数字）【来源】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试理综物理（天津卷)【答案】（1）（ 2）（ 3） 0.63%【解析】解：（ 1）设离子经电场加速后进入磁场时的速度为v，由动能定理得：qu =mv2离子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qvb=解得：u =（2）设在t 时间内收集到的离子个数为n，总电荷量q = itq = nqm = nm =（3）由以上分

15、析可得：r =设 m/ 为铀 238 离子质量，由于电压在径为： rmax=uu之间有微小变化，铀235 离子在磁场中最大半铀 238 离子在磁场中最小半径为：rmin=这两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠的条件为：rmaxrmin即：得：其中铀235 离子的质量m = 235u（ u 为原子质量单位），铀238 离子的质量m， = 238u则：解得：m2)，电荷量均为q加速电场的电势差为 u，离子进入电场时的初速度可以忽略不计重力，也不考虑离子间的相互作用(1)求 量 m1 的离子 入磁 的速率v1；(2)当磁感 度的大小 b ，求两种离子在ga 落点的 距s；(3)在前面的 中忽略了狭

16、度的影响， 装置中狭 具有一定 度若狭 ，可能使两束离子在ga 上的落点区域交叠， 致两种离子无法完全分离 磁感 度大小可 ， ga 定 l，狭 度 d，狭 右 在a 离子 可以从狭 各 射入磁 ，入射方向仍垂直于ga 且垂直于磁 保 上述两种离子能落在ga 上并被完全分离，求狭 的最大 度【来源】 2011 年普通高等学校招生全国 一考 物理卷（北京)2qu8um1m2m1m2【答案】 （1）（ 2）mlm1qb2（3） d2 m1m2【解析】（1） 能定理uq 1 m1v122得： v12qum1（2）由牛 第二定律和 道半径有：qvb mv2 ， r mvrqb利用式得离子在磁 中的 道

17、半径 （如 一所示）：12mu122m2ur， r qb2qb 2两种离子在 ga 上落点的 距s 2(r1- r2)8u2 ( m1m2 ) qb（3） 量 m1 的离子，在 ga 上的落点都在其入射点左 2r1 ，由于狭 的 度 d，因此落点区域的 度也是d（如 二中的粗 所示）同理， 量 m2 的离子在 ga 上落点区域的 度也是d（如 二中的 所示） 保 两种离子能完全分离，两个区域 无交叠，条件 2（r1-r2） d利用式，代入式得：2r1 (1-m2 ) dm1r1 的最大值满足：2r1m =l-d得： (l- d)(1-m2)dm1求得最大值： dmm1m22 m1lm210 在

18、场强为 b 的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q 的小球在 o 静止释放，小球的运动曲线如图所示已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到z 轴距离的2 倍，重力加速度为 g求：(1)小球运动到任意位置 p(x， y)的速率 v ；(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；(3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为e( emgo 静止释放后)的匀强电场时，小球从q获得的最大速率vm 。【来源】江苏高考物理试题复习【答案】 (1) v2gy2m2 g； (3) vm2qe mg 。； (2) ym2b2qbq【解析】【详解】洛伦兹力不做功，由动能定理得mgy1mv202解得v2gy设在最大距离ym

19、 处的速率为 vm ，根据圆周运动有qvmbmg m vm2r且由知vm2gym由及 r2 ym ，得2m2 gymq2b2 小球运动如图所示，由动能定理得(qemg) ym1 mvm22由圆周运动得qvm b mg qe m vm2r且由及 r2 ym ，解得：2vmqemgqb11 如图为一种质谱仪工作原理示意图.o为圆心，oh为对称轴，夹角为2在以的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场.对称于 oh 轴的 c 和 d 分别是离子发射点和收集点.cm 垂直磁场左边界于 m ，且 om=d.现有一正离子束以小发散角（纸面内）从c 射出，这些离子在 cm 方向上的分速度均为v0.若该离子束

20、中比荷为q 的离子都能汇聚到 d，试m求：（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿cm 方向运动的离子为研究对象）；（ 2）离子沿与 cm 成 角的直线 cn 进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；（ 3）线段 cm 的长度 .【来源】电粒子在磁场中的运动【答案】（ 1） bmv0 ，磁场方向垂直纸面向外；（2） rqd（3） cm d cost。【解析】【分析】【详解】（1）设沿 cm 方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为由v02qv0 bmrd2， td ；cosv0rr=d得 bmv0 ，磁场方向垂直纸面向外qd（ 2）设沿 cn运动的离子速度大小为 v，在磁场中的轨道半

21、径为 r，运动时间为 t ，由 vcos=v0得 v v0cos由解得： r=qvbm v2rdcos方法一：设弧长为s，则运动的时间：st=v又s=2(+) r2解得 t=dv02 m方法二：离子在磁场中做匀速圆周运动的周期t，则有：qb2ttdv0（3）方法一：由几何关系得：cm=mncot则有：mndrsinsin解得： rd，cos以上 3 式联立求解得cm=dcot 方法二：设圆心为a，过 a 做 ab 垂直 no，如图所示由几何关系得：dnmmbr cosmbmbdmbcos而 bo d mb因此 nm =bo因nm=cmtan又bo ab cotr sin cotdsin cot

22、cos解得： cm=dcot12 如图甲所示，在直角坐标系中的0xly轴正方向的匀强电场，右侧有以区域内有沿点（ 2l，0）为圆心、半径为 l 的圆形区域，与x 轴的交点分别为m、 n，在 xoy 平面内，从 离室 生的 量 m、 荷量 e 的 子以几乎 零的初速度从p 点 入 差 u 的加速 中，加速后 右 极板上的小孔q 点沿x 正方向 入匀 ，已知o、 q 两点之 的距离 l， 出 后从m 点 入 形区域，不考 子所受的重力。2（1）求 0xl区域内 度e 的大小和 子从m 点 入 形区域 的速度vm；（2）若 形区域内加一个垂直于 面向外的匀 磁 ，使 子穿出 形区域 速度方向垂直于

23、x ，求所加磁 磁感 度b 的大小和 子在 形区域内运 的 t ；（3）若在 子从 m 点 入磁 区域 ，取 t 0，在 形区域内加如 乙所示 化的磁 （以垂直于 面向外 正方向），最后 子从 n 点 出，速度方向与 入 形磁 方向相同， 写出磁 化周期 t 足的关系表达式。【来源】【省 考】吉林省名校2019 届高三下学期第一次 合模 考 物理 【答案】（ 1） e2u， vm2 eu ， vm 的方向与 x 的 角 ， 45；（ 2 ）lmmvm2mv3r3 lm的表达式 tmlb，43tnt；（ ）（ erlevm8eu2n2emu1，2， 3， ）【解析】【 解】（1）在加速 中，从p

24、 点到 q 点由 能定理得：eu1 mv0222eu可得 v0m 子从 q 点到 m 点，做 平抛运 ，x 方向做匀速直 运 ，lmtlv02euy 方向做匀加速直 运 ，l1ee t222m2u由以上各式可得： el电子运动至 m 点时： vmv02( ee t )2m即： vm2 eum设 vm 的方向与x 轴的夹角为，cosv02vm2解得： 45。（2）如图甲所示，电子从m 点到 a 点，做匀速圆周运动，因o2m o2a ， o1m o1a ，且 o2a mo 1，所以四边形mo 1ao 2 为菱形，即r l2由洛伦兹力提供向心力可得：evm bm vmr即 bmvm 2 mverle3r3 lm 。t4vm8eu（3）电子在磁场中运动最简单的情景如图乙所示，在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转角为 90，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，电子在x 轴方向上的位移恰好等于轨道半径2r ，即 22r2l因电子在磁场中的运动具有周期性，如图丙所示，电子到达n 点且速度符合要求的空间条件 ： 2n(2r ) 2l （ n 1，2， 3， ） 子在磁 中做 周运 的 道