2008-2012年全国初中数学联赛试题

1、2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1已知，那么的大小关系是（ ）A. B. C. D.2方程的整数解的组数为 （ ）A3 B4 C5 D63已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ ）A B C D4已知实数满足，则的最小值为 （ ）A B0 C1 D5若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为 （ ）A0 B C D6由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有 （ ）A36个 B40个 C44

2、个 D48个二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知互不相等的实数满足，则_2使得是完全平方数的整数的个数为 3在ABC中，已知ABAC，A40，P为AB上一点，ACP20，则 4已知实数满足，则 第二试一、 已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.二、如图，PA为O的切线，PBC为O的割线，ADOP于点D，ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：BAEACB三、已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且QBOOBC.求抛物线的解析式.2011年全国

3、初中数学联赛决赛试卷（4月10日 上午8：4511：15）考生注意：1本试卷共三大题（13个小题），全卷满分140分2用圆珠笔、签字笔或钢笔作答3解题书写不要超出装订线4不能使用计算器一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1一个凸多边形的每一个内角都等于150，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ）A42条 B54条 C66条 D78条2如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分BAD交BC于E若CAE15，则BOE（ ）A30 B45 C60 D753设方程的两根是c，d，则方程的分根 是（ ）Aa，b Ba，b Cc，d Dc，d4若不等式有解，则实数a的最小值是（ ）A1 B2

4、C4 D65若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ）A18 B24 C30 D366不定方程的正整数解（x，y）的组数是（ ）A0组 B2组 C4组 D无穷多组二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上1二次函数的图象关于直线x=1对称，则y的最小值是_2已知，则的值为_3已知ABC中，AB，BC6，CA，点M是BC的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是_4一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手参赛，每位选手都与其余10n1个选手各对局一

5、次计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍则n的所有可能值是_三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1（本题满分20分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立求实数a的所有可能值2（本题满分25分）抛物线的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0x1AC）的角平分线、高线，M是AD的中点MDH的外接圆交CM于E求证：AEB902010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若均为整数且满足，则（ ）A

6、1. B2. C3. D4.2若实数满足等式，则可能取的最大值（ ）A0. B1. C2. D3.3若是两个正数，且 则 （ ）A. B. C. D.4若方程的两根也是方程的根，则的值为 （ ）A13. B9. C6. D 0.5在中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，,则( )A15. B20. C25. D30.6对于自然数，将其各位数字之和记为，如，则 （ ）A28062. B28065. C28067. D28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1已知实数满足方程组则 .2二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C已知，则 3在等腰直角ABC中，A

7、BBC5，P是ABC内一点，且PA，PC5，则PB_4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_个球.第二试 （A）一（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二（本题满分25分）已知等腰三角形ABC中，ABAC，C的平分线与AB边交于点P，M为ABC的内切圆I与BC边的切点，作MD/AC，交I于点D.证明：PD是I的切线. 三（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.（1）如果都是整数，且，求的值.（2）设二次函数的图象与轴的

8、交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求ABC的面积.第二试 （B）一（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 三（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题

9、（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ ）A.24. B. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）A. B. . C. . D. .5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE （ ）A. B. . C. . D.

10、 .6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为_.3如果实数满足条件，则_.4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_对.第二试 （A）一（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P与轴的另一个交点

11、为定点.（2）如果AB恰好为P的直径且，求和的值.二（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是ADC、BDC的内心，AC3，BC4，求.三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 证明：以为三边长可构成一个直角三角形.第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二 （本题满分25分） 已知ABC中，ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB. 三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第

12、一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.2008年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1设，且，则代数式的值为 （ ） 5. 7. 9. 11.2如图，设，为三角形的三条高，若，则线段的长为 （ ）. 4. . .3从分别写有数

13、字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）. . . .4在中，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则 （ ）. . . 和的大小关系不确定.5现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10或20，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为 （ ） . . . .6 已知实数满足，则的值为 （ ） . 2008. . 1.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1设，则.2如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，则四边形的面积为.3已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，则4依次将正整数1，2，3，的平方数排成一串：44，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 .第二试 （A）一（本题满分20分） 已知，对于满足条件的一切实数，不等式 （1）恒成立.当乘积取最小值时，求的值.二（本题满分25分） 如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.（1）证明：点在圆的圆周上.（2）设的面积为，求圆的的半径的最小值. 三（本题满分25分）