电子课文第五章曲线运动

1、电子课文第五章 曲线运动 到现在为止，我们讨论了关于直线运动的运动学和动力学问题，而普遍发生的却是曲线运动运动员掷出的铁饼是沿着曲线运动的（图5-1），发射出的导弹在空中是沿着曲线飞行的（图5-2），汽车拐弯时的运动是曲线运动（图5-3），地球、月球、人造地球卫星沿轨道的运动是曲线运动，曲线运动要比直线运动复杂现在我们用已经学过的运动学的基本概念和动力学的基本规律牛顿运动定律来研究曲线运动的问题在高中阶段，我们还不能研究一般的曲线运动，这一章只研究曲线运动的两种重要的特殊情况平抛运动和匀速圆周运动电子课文一 线运动 曲线运动的速度方向 线运动与直线运动的明显区别是，曲线运动中速度的方向是时刻改

2、变的怎样确定做曲线运动的物体在任意时刻速度的方向呢？我们先来观察一些常见的现象在砂轮上磨刀具，可以看到，刀具与砂轮接触处有火星沿砂轮的切线方向飞出（图5-4）这些火星是从刀具与砂轮接触处擦落的炽热的微粒，由于惯性，它们以被擦落时具有的速度做直线运动，因此，火星飞出的方向就表示砂轮上跟刀具接触处的质点的速度方向让撑开的带有水的伞绕着伞柄旋转，伞面上的水滴随伞做曲线运动当水滴从伞边飞出时，可以看到水滴是沿着伞边各点所划圆周的切线方向飞出的（图5-5）可见，曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是在曲线的这一点的切线方向我们知道，速度是矢量，既有大小，又有方向，不论

3、速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度矢量发生了变化，也就是具有加速度曲线运动中速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动物体做曲线运动的条件 体在什么情况下才做曲线运动呢？让我们来观察下面的实验电子课文实验一个在水平面上做直线运动的钢珠，如果从旁侧给它施加一个侧向力，它的运动方向就会改变不断对钢珠施加侧向力，或者在钢珠运动的路线旁放一块磁铁，钢珠就偏离原来的运动方向而做曲线运动（图5-7）实验表明：当运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动运动物体的加速度的方向跟它所受合力的方向相同所以，做曲线运动的物体，它的加速度的方向跟它的速度方向也不在同

4、一直线上抛出的石子，由于所受重力的方向跟速度的方向不在一条直线上，所以石子做曲线运动（图5-8）人造地球卫星绕地球运行，由于所受地球引力的方向跟速度的方向不在一条直线上，所以卫星做曲线运动（图5-9）物体做曲线运动的条件，可以根据牛顿第二定律来说明如果合力的方向跟物体速度的方向在同一条直线上，产生的加速度的方向也在这条直线上，物体就做直线运动如果合力的方向跟速度的方向不在一条直线上，而是成一角度，产生的加速度的方向也跟速度的方向不在一条直线上，而是成一角度，这时，合力就不但可以改变速度的大小，而且可以改变速度的方向，物体就做曲线运动电子课文二 动的合成和分解 电子课文实验在长约80cm100c

5、m一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R（圆柱体的直径略小于玻璃管的内径，轻重大小适宜，使它在水中大致能匀速上浮）将玻璃管的开口端用胶塞塞紧（图5-11甲）将此玻璃管紧贴黑板竖直倒置（图5-11乙），红蜡块R就沿玻璃管匀速上升，做直线运动红蜡块R由A运动到B，它的位移是AB记下它由A运动到B所用的时间然后，将玻璃管竖直倒置，在红蜡块上升的同时将玻璃管水平向右匀速移动，观察红蜡块的运动，将会看出它是斜向右上方运动的经过相同的时间，红蜡块将沿直线AC到达C这时，它的位移是AC（图5-11丙）红蜡块可以看成同时参与了下面两个运动：在玻璃管中竖直向上的运动（由A到B）和随玻璃管水平

6、向右的运动（由A到D）红蜡块实际发生的运动（由A到C）是这两个运动合成的结果上述实验中红蜡块沿玻璃管在竖直方向的运动和随管做的水平方向的运动，通常叫做分运动红蜡块实际发生的运动（由A到C），通常叫做合运动，合运动可以看做是上述两个分运动合成的结果合运动的位移s=AC叫做合位移，分运动的位移s1=AB和s2=AD叫做分位移合位移s是按照平行四边形定则由分位移s1和s2合成的（图5-12甲），即合位移s是两个分位移s1和s2的矢量和在上述实验中，合运动和分运动是同时发生的，所用的时间t相同合加速度也是矢量，合运动的加速度也是两个分运动的加速度的矢量和已知分运动求合运动，叫做运动的合成已知合运动求分

7、运动，叫做运动的分解请看下面的例子【例1】 在前面所做的实验中（图5-11）玻璃管长90cm，红蜡块由玻璃管的一端沿管匀速地竖直向上运动，同时匀速地水平移动玻璃管，当玻璃管水平移动了80cm时，红蜡块到达玻璃管的另一端整个运动过程所用的时间为20s，求红蜡块运动的合速度分析 蜡块沿玻璃管匀速竖直向上的运动和玻璃管水平的移动是两个分运动这是一个已知分运动求合运动的问题分运动和合运动所用的时间是相同的，可以先分别求出分运动的速度，再求合速度；也可以先求出合位移的大小，再算出合速度这里，我们用第二种方法解 据平行四边形定则求合运动的位移，如图5-12所示AC2=AB2+AD2，所以合位移=1.2m合

8、速度的大小合速度与合位移的方向相同，如图所示同学们可以用上面说的第一种方法求合速度，并与这里所得的结果比较一下【例2】 以300km/h的速度斜向上飞行，方向与水平方向成30角求水平方向的分速度vx和竖直方向的分速度vy（图5-13）分析 机斜向上飞行的运动可以看作是它在水平方向和竖直方向的两个分运动的合运动把v=300km/h分解，就可以求得分速度解 vx=vcos30=260km/hvy=vsin30=150km/h如果两个分运动都是匀速直线运动，由于分速度矢量是恒定的，合速度矢量也是恒定的，所以合运动也应该是匀速直线运动如前面我们看到的蜡块的合运动，就是匀速直线运动但是，如果水平加速移动

9、玻璃管，由于水平分速度矢量不再是恒定的，合速度矢量也不再是恒定的，蜡块就不能做直线运动了图5-14画出了蜡块运动时每隔一秒所到达的位置，可以看出蜡块是沿着曲线运动到C点的这里我们看到，两个直线运动的合运动可以是曲线运动反过来，一个曲线运动也可以分解为两个方向上的直线运动分别研究这两个方向上的受力情况和运动情况，弄清作为分运动的直线运动的规律，就可以知道作为合运动的曲线运动的规律下一节，我们将用这种办法研究平抛运动电子课文三 平抛物体的运动 平抛物体的运动 将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫做平抛运动打一下桌上的小球，使它以一定的水平初速度离开桌

10、面，小球离开桌面后所做的曲线运动就是平抛运动在平抛运动中，物体受到与速度方向成角度的重力作用，所以做曲线运动平抛运动可以分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动在水平方向（也就是在初速度方向）上物体不受力，物体由于惯性而做匀速直线运动，速度等于平抛物体的初速度在竖直方向上物体受到重力的作用，并且初速度为零，物体做自由落体运动情况是不是这样呢？我们来看下面的实验电子课文实验如图5-16所示，用小锤打击弹性金属片，A球就向水平方向飞出，做平抛运动同时B球被松开，做自由落体运动实验表明，越用力打击金属片，A球的水平速度也越大，它飞出的水平距离就越远但是，无论A球的初速度大小如何，它总是与B球同时落地实

11、验表明，平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，水平方向速度的大小并不影响平抛物体在竖直方向上的运动我们还可以用频闪照相的方法更精细地研究平抛运动图5-17是一幅平抛物体与自由落体对比的频闪照片可以看出，尽管两个球在水平方向上的运动不同，但它们在竖直方向上的运动是相同的，即经过相等的时间，落到相同的高度仔细测量平抛出去的球在相等时间里前进的水平距离，可以证明平抛运动的水平分运动是匀速的这说明竖直方向的运动也不影响水平方向的运动平抛运动的规律 既然平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，我们就可以分别算出平抛物体在任一时刻t的位置坐标x和y取水平方向为x轴，正方向与初速度v

12、的方向相同取竖直方向为y轴，正方向向下取抛出点为坐标原点加速度方向与y轴正方向相同，所以是正值，即a=g物体在任何时刻t的位置坐标可以由下面的公式求出：根据这两个公式求出任一时刻物体的位置，用平滑曲线把这些位置连起来，就得到平抛运动的轨迹，这个轨迹是一条抛物线图5-18是v=20m/s的平抛运动的轨迹平抛物体在t秒末时的水平分速度vx和竖直分速度vy分别为（图5-19）vx=v0vy=gtt秒末的速度vt的大小为vt的方向可以用vt与x轴的正方向的夹角表示：【例题】 一架老式飞机在高出地面0.81km的高度，以2.5102km/h的速度水平飞行为了使飞机上投下的炸弹落在指定的目标上，应该在与轰

13、炸目标的水平距离为多远的地方投弹？不计空气阻力分析 处理平抛运动的问题，我们要利用运动的分解进行分析从水平飞行的飞机上落下的炸弹，在离开飞机时具有与飞机相同的水平速度，因而炸弹做平抛运动炸弹同时参与两个分运动：竖直方向的自由落体运动，水平方向的匀速运动轰炸目标在地面上，炸弹落到地面所经过的时间t是由竖直方向的运动决定的，在这段时间t内，如果炸弹在水平方向通过的距离等于飞机投弹时离目标的水平距离，即可命中目标（图5-20）在这段时间内，炸弹通过的水平距离为代入已知的数值得x=0.89km即飞机应在离轰炸目标水平距离是0.89km的地方投弹电子课文四 匀速圆周运动 物体沿圆周运动是一种常见的曲线运

14、动在圆周运动中，最简单的是匀速圆周运动质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动例如，匀速转动着的砂轮上每个质点的运动，都是匀速圆周运动地球和各个行星绕太阳公转的轨道是跟圆近似的椭圆，在初步研究中，可以认为行星以太阳为圆心做匀速圆周运动怎样描述匀速圆周运动的快慢呢？线速度 匀速圆周运动的快慢，可以用线速度来描述根据匀速圆周运动的定义，物体运动的时间t增大几倍，通过的弧长s也增大几倍对某一匀速圆周运动来说，s与t的比值越大，单位时间内通过的弧长越长，表示运动得越快这个比值是匀速圆周运动的线速度的大小，用符号v表示，则有线速度是相对于下面就要讲到的角速度而命名

15、的，其实它就是物体做圆周运动的瞬时速度线速度是矢量，不仅有大小，而且有方向根据第一节所讲的知识，可知线速度的方向就在圆周该点的切线方向上（图5-23）在匀速圆周运动中，物体在各个时刻的线速度的大小都相同，并由上式来确定而线速度的方向是在不断变化的，因此，匀速圆周运动是一种变速运动这里的“匀速”是指速率不变的意思角速度 匀速圆周运动的快慢也可以用角速度来描述物体在圆周上运动得越快，连接运动物体和圆心的半径在同样的时间内转过的角度间t的比值来描述（图5-24）这个比值叫做匀速圆周运动的角速度，用符号来表示，则有角速度的单位由角度和时间的单位决定在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/

16、s周期 匀速圆周运动是一种周期性的运动所谓周期性，是指运动物体经过一定时间后，又重复回到原来的位置，瞬时速度也重复回到原来的大小和方向做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期周期用符号T表示周期也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，周期长说明物体运动得慢，周期短说明物体运动得快周期的倒数叫做频率，用符号f表示f=1/T频率高说明物体运动得快，频率低说明物体运动得慢这里频率的物理含义是什么？实际中也常用转速来描述匀速圆周运动的快慢所谓转速，是指每秒转过的圈数，常用符号n来表示转速的单位为转每秒，符号是r/s，以及转每分r/min电子课文五 向心力 向心加速度 向心力 物体做曲线运动时，必定受到

17、与速度方向不在同一直线上的合力的作用匀速圆周运动是曲线运动，做匀速圆周运动的物体必定也受到与速度方向不在同一直线上的合力的作用这个合力是怎样的呢？先来看合力的方向如图5-26所示，在光滑水平桌面的O点固定一根钉子，把绳的一端套在钉子上，另一端系一个小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动小球之所以能绕着O点做匀速圆周运动，是因为绳对小球始终有一个拉力F，这个拉力的方向虽然不断变化，但总是沿着半径指向圆心，所以叫做向心力向心力指向圆心，而物体运动的方向沿切线方向，所以向心力的方向总与物体运动的方向垂直物体在运动方向上不受力，在这个方向上没有加速度，速度大小不会改变，所以向心力的作用只是改变速度的方向向

18、心力的大小与哪些因素有关呢？具体的关系又是什么呢？电子课文实验向心力演示器如图5-27所示转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动使小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的红白相间等分格子可以显示出两个球所受向心力的比值1用质量不同的钢球和铝球做实验，使两球运动的半径r和角速度相同可以看出，向心力的大小与质量有关，质量越大，所需的向心力就越大2换用两个质量相同的小球做实验，保持它们运动的半径相同可以看出，向心力的大小与转动的快慢有关，角速度越

19、大，所需向心力也越大3仍用两个质量相同的小球做实验，保持小球运动角速度相同可以看出，向心力的大小与小球运动的半径有关，运动半径越大，所需的向心力越大实验表明，向心力的大小跟物体的质量m、圆周半径r和角速度都有关系可以证明，匀速圆周运动所需的向心力大小为F=mr2 （1）在许多情况下，需要知道线速度的大小与向心力的关系这个关系用上述的向心力演示器也可以显示出来当质量m和线速度v一定时，所需向心力与运动半径成反比向心加速度 做圆周运动的物体，在向心力F的作用下，必然要产生一个加速度，这个加速度的方向与向心力的方向相同，总指向圆心，叫做向心加速度根据牛顿第二定律F=ma，由（1）式和（2）式可得向心

20、加速度a的大小为a=r2 （3）或对于某一确定的匀速圆周运动来说，m以及r、v、都是不变的，所以向心力和向心加速度的大小不变，但向心力和向心加速度的方向却时刻在改变匀速圆周运动是瞬时加速度矢量的方向不断改变的变速运动电子课文六 匀速圆周运动的实例分析 分析和解决匀速圆周运动的问题，重要的是把向心力的来源弄清楚下面我们要分析一些实例，希望同学们务必注意这一问题有的同学认为，做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要受到一个向心力的作用这是不对的向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力火车转弯 在平直轨道上匀速行驶的火车，

21、所受的合力等于零在火车转弯时，是什么力作为向心力的呢？原来，火车的车轮上有突出的轮缘（图5-32），如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是使火车转弯的向心力（图5-33）火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，成为使火车转弯的力这就减轻了轮缘与外轨的挤压在修筑铁路时，要根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持

22、力FN的合力F来提供（图5-34）这样，外轨就不受轮缘的挤压了汽车过拱桥 在各种公路上拱形桥是常见的，质量为m的汽车在拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为R，我们来分析汽车通过桥的最高点时对桥面的压力在这里，我们选汽车作为研究对象（图5-35），先来分析汽车所受的力知道了桥对汽车的作用力，桥所受的压力也就知道了汽车在竖直方向受到两个力的作用：重力G和桥的支持力F1当汽车在此静止不动时，G和F1相互平衡，合力为零当汽车在桥上运动经过最高点时，G和F1在一条直线上，它们的合力是使汽车做圆周运动的向心力F，方向竖直向下，即F=G-F1由此解出桥对车的支持力汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力

23、和反作用力，大小相等由上式可以看出这个压力小于汽车的重量G电子课文七 离心现象及其应用 离心运动 做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向，它所以没有飞去是因为向心力持续地把物体拉到圆周上来，使物体同圆心的距离保持不变一旦向心力突然消失，例如细绳突然断了，物体就沿切线方向飞去，离圆心越来越远除了向心力突然消失这种情况外，在合力F不足以提供物体做圆周运动所需的向心力（F=mr2）时，物体也会逐渐远离圆心这时物体虽然不会沿切线方向飞去，但合力不足以把它拉到圆周上来，物体就如图5-39所示那样，沿着切线和圆周之间的某条曲线运动，离圆心越来越远做匀速圆周运动的物体，在所受合力突

24、然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动这种运动叫做离心运动离心运动的应用和防止 离心运动有很多应用，离心干燥器就是利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉的装置，在纺织厂里用来使棉纱、毛线或纺织品干燥把湿物体放在离心干燥器的金属网笼里（图5-40），网笼转得比较慢时，水滴跟物体的附着力F足以提供所需的向心力F，使水滴做圆周运动当网笼转得比较快时，附着力F不足以提供所需的向心力F，于是水滴做离心运动，穿过网孔，飞到网笼外面（图5-41）洗衣机的脱水筒（图5-42）也是利用离心运动把湿衣服甩干的我们知道，体温计盛水银的玻璃泡上方有一段非常细的缩口，测过体温后，升到缩口上方的水银柱因受缩口的阻力不能自动缩回玻璃泡里在医院里将许多用过的体温计装入小袋内放在离心机上（图5-43），转动离心机，把水银柱甩回玻璃泡里当离心机转得比较慢时，缩口的阻力F足以提供所需的向心力，缩口上方的水银柱做圆周运动当离心机转得相当