解三角形实际应用举例 精选文档

1、的应用,解三角形问题是三角学的基本问题之一,什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形,和“测量”。最初的理解是解三角形的计算,后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角,形两部分内容的一门数学分学科,解三角形的方法在度量工件、测量距离和,高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用,在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角,形的方法,我国古代很早就有测量方面的知识，公元,一世纪的周髀算经里，已有关于平面测量,的记载，公元三世纪,我国数学家刘徽在计,算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就,已经取得了某些特殊角的正弦,学习目标,1,会运用解三角形的理论解决简单的实,际应用问题,2,培养将实际问题化归为纯

2、数学问题,的能力,复习,1,请回答下列问题,1,解斜三角形的主要理论依据,是什么,2,关于解斜三角形，你掌握了,哪几种类型,复习,2,下列解,ABC,问题,分别属于那种类型？根,据哪个定理可以先求什么元素,第,4,小题,A,变更为,A=150,o,呢,_,余弦定理先求出,A,或先求,出,B,正弦定理先求出,b,正弦定理先求出,B(60,o,或,120,o,无解,1,a,2,b,c,3,2,b,1,c,A,105o,3,A,45o,B,60o,a,10,4,a,2,b,6,A,30o,2,3,6,3,3,_,_,_,_,余弦定理先求出,a,解斜三角形理论,在实际问题中的应用,解应用题中的几个角的

3、概念,1,仰角、俯角的概念,在测量时，视线与水平线,所成的角中，视线在水平线,上方的角叫仰角，在水平线,下方的角叫做俯角。如图,2,方向角,指北或指南,方向线与目标方向线所成,的小于,90,的水平角，叫,方向角，如图,例,1,海上有,A,B,两个小岛相距,10,海里，从,A,岛望,C,岛和,B,岛成,60,的视角，从,B,岛望,C,岛和,A,岛成,75,的视角，那么,B,岛和,C,岛间,的距离是,A,C,B,60,75,答,6,5,海里,基本概念和公式,解：应用正弦定理,C=45,BC/sin60,10/sin45,BC=10sin60,sin45,基本概念和公式,练习,1,如图,一艘船以,3

4、2,海里,时,的速度向正北航行,在,A,处看灯塔,S,在船的北偏东,20,0,30,分钟后航行,到,B,处,在,B,处看灯塔,S,在船的北偏,东,65,0,方向上,求灯塔,S,和,B,处的距,离,保留到,0.1,解,AB=16,由正弦定理知,BS/sin20,AB/sin45,可求,BS=7.7,海里,2,为了开凿隧道,要测量隧道口,D,E,间的距离,为,此在山的一侧选取适当的点,C,如图,测得,CA=482m,CB=631.5m,ACB=56,0,18,又测得,A,B,两点到隧道口的距离,AD=80.12m, BE=40.24m,A,D,E,B,在一直线上,计算隧道,DE,的长,A,B,C,

5、D,E,基本概念和公式,由余弦定理可解,AB,长。进而求,DE,解略,析,4,计算要认真，准确计算出答案,解斜三角形理论应用于实际问题应注意,1,认真分析题意，弄清已知元素和未知元素,2,要明确题目中一些名词、术语的意义。如,视角，仰角，俯角，方位角等等,3,动手画出示意图，利用几何图形的性质,将已知和未知集中到一个三角形中解决,B,例,2,一艘渔船在我海域,遇险，且最多只能坚持,45,分钟，我海军舰艇,在,A,处获悉后，立即测,出该渔船在方位角为,45,o,距离为,10,海里的,C,处，并测得渔船以,9,海里,时的速度正沿方,位角为,105,o,的方向航,行，我海军舰艇立即以,21,海里,时

6、的速度前去,营救。求出舰艇的航向,和赶上遇险渔船所需的,最短时间，能否营救成,解三角形的应用,N,N,45,o,105,o,10,海里,A,C,解三角形的应用,解：设所需时间为,t,小时，在点,B,处,相遇（如图）在,ABC,中,ACB,120,AC = 10, AB = 21t, BC,9t,12,5,3,2,2,1,t,t,舍去,由正弦定理,14,3,3,3,2,21,2,3,3,2,9,sin,sin,120,sin,CAB,CAB,BC,AB,22,14,3,3,arcsin,CAB,由余弦定理,21t,2,10,2,9t,2,2,10,9t,cos120,整理得,36t,2,9t,1

7、0 = 0,解得,航向为北,45,o,22,o,67,o,时间,40,分钟能营救成功,例,2,一艘渔船在我海域,遇险，且最多只能坚持,45,分钟，我海军舰艇,在,A,处获悉后，立即测,出该渔船在方位角为,45,o,距离为,10,海里的,C,处，并测得渔船以,9,海里,时的速度正沿方,位角为,105,o,的方向航,行，我海军舰艇立即以,21,海里,时的速度前去,营救。求出舰艇的航向,和赶上遇险渔船所需的,最短时间，能否营救成,120,解三角形的应用,练习,1,我舰在敌岛,A,南,50,西相距,12,海里,B,处,发现敌舰正由岛沿北,10,西的方向以,10,海里,时的,速度航行，我舰要用,2,小时

8、追上敌舰，则需要的,速度大小为,A,南,50,B,10,C,分析,2,小时敌舰航行距离,AC=20,由,AB=12,BAC=120,余弦定理可解我舰航行距离,BC,略,解三角形的应用,实地测量举例,想一想,如何测定河两岸两点,A,B,间的距离,A,B,解三角形的应用,实地测量举例,想一想,如何测定河两岸两点,A,B,间的距离,A,B,C,解三角形的应用,实地测量举例,想一想,如何测定河两岸两点,A,B,间的距离,A,B,C,A,B,C,a,简解：由正弦定理可,得,AB/sin,BC/sinA,a/sin(,a,例,1,设,A,B,两点在河的两岸，要测量两点之间的距离,测量者在,A,的同测，在所

9、在的河岸边选定一点,C,测出,AC,的距离是,55cm,BAC,51,o,ACB,75,o,求,A,B,两点间的距离（精确到,0.1m,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形,B,AC,C,AB,sin,sin,解三角形的应用,实地测量举例,例,3,如何测定河对岸两点,A,B,间的距离？如图在河这边取一点,构造三角形,ABC,能否求出,AB,为什么,A,B,C,解三角形的应用,实地测量举例,例,3,为了测定河对岸两点,A,B,间的距离，在岸边选定,1,公里长,的基线,CD,并测得,ACD,90,o,BCD,60,o,BDC,75,o,ADC,30,o,求,A,B,两点的距离,A,B,C,D

10、,A,B,C,D,分析：在四边形,ABCD,中欲求,AB,长，只能去解三,角形，与,AB,联系的三角形有,ABC,和,ABD,利,用其一可求,AB,ACD,90,o,BCD,60,o,BDC,75,o,ADC,30,o,略解,Rt,ACD,中,AD=1/cos30,o,BCD,中,1/sin45=BD/sin60,可求,BD,由余弦定理在,ABD,中可求,AB,913,0,6,30,AB,练习,1,海中有岛,A,已知,A,岛周围,8,海里内有,暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见,A,岛,在北,75,东，航行,20,海里后，见此岛在北,30,东，如货轮不改变航向继续前进，问有无,触礁危险,2,A

11、,B,C,M,北,北,2,20,解法一,在,ABC,中,ACB=120,BAC=45,由正弦,定理得,45,si,n,120,si,n,BC,AB,A,B,C,M,北,北,2,20,无触礁危险,3,20,由,BC=20,可求,AB,得,AM,8.978,2,6,5,2,15,0,15,sin,AB,解法二,在,Rt,ABM,中,AM/BM=tan15,在,Rt,ACM,中,AM/CM=tan60,BM= AM/ tan15,CM= AM/ tan60,2,由,BC=BM-CM=20,可解出,AM,8.978,6,5,2,15,A,B,C,M,北,北,2,20,无触礁危险,1,审题（分析题意，弄

12、清已知和所求,根据提意，画出示意图,2,建模（将实际问题转化为解斜三角形,的数学问题,3,求模（正确运用正、余弦定理求解,4,还原,小结：求解三角形应用题的一般步骤,如图，要测底部不能到达的烟囱的,高,AB,从与烟囱底部在同一水平直,线上的,C,D,两处，测得烟囱的仰角,分别是,35,12和,49,28,CD,间的距离是,11.12m,已知测角仪器,高,1.52m,求烟囱的高,2,1,35,0,8,2,49,0,m,12,11,m,52,1,试,试,看,m,12,11,2,1,35,0,8,2,49,0,m,52,1,B,1,A,A,1,C,1,D,D,C,2,1,35,0,8,2,49,0,m,52,1,m,12,11,B,A,1,求,2,1,35,0,1,1,1,1,D,B,C,D,B,C,已,知,中,在,B,1,A,A,1,C,1,D,D,C,2,1,35,0,8,2,49,0,m,52,1,m,12,11,B,A,1,求,解,2