弹塑性力学第三章 弹性本构方程

1、中篇,弹性力学,第三章,弹性本构方程,3-1,应力应变关系的一般表达,3-2,各向异性线弹性体,3-3,各向同性线弹性体,3-4,弹性应变能与弹性应变余能,3-1,应力应变关系,从静力学的角度对应力进行了分析,从几何学的角度对应变进行了分析,平衡微分方程,几何方程和变形协调方程,上述方程适用于任意连续物体，包括弹性力学和塑,性力学。,这些方程还不能解决弹塑性力学问题。,需要研究应力与应变之间的物理关系，即本构关系。,对应的函数方程称为物理方程，或本构方程。,一,、,本构方程,?,材料的应力与应变关系需通过实验确定的。,?,本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学,描述。,?,由于实验的局限性

2、，通常由简单载荷实验获得,应,力与应变关系结果,，建立描述相应的数学模型，,再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一,定实验验证结果）,?,例如：材料单轴拉伸应力,-,应变曲线：,e,s,s,e,非线弹性,线弹性,塑形变形,塑形变形,?,由材料力学已知，,Hooke,定律可表示为：,单向拉压,纯剪切,E,为拉压弹性模量；,横向与纵向变形关系,G,为剪切弹性模量,为泊松比,二,.,各向同性材料的广义,Hooke,定律（本构方程）,对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：,考虑,x,方向的正应变：,产生的,x,方向应变：,产生的,x,方向应变：,产生的,x,方向应变：,叠加,同理：,

3、剪应变：,物理方程：,说明：,1.,方程表示了各向同性材料的应力与应,变的关系，称为广义,Hooke,定义。也称,为本构关系或物理方程。,2.,方程组在线弹性条件下成立。,三,.,体积应变与体积弹性模量,令：,则：,令：,s,m,称为平均应力,;,q,称为体积应变,四,.,物理方程的其他表示形式,物理方程：,用应变表示应力：,或：,?,各种弹性常数之间的关系,弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，,三维应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力,是应变的函数（或应变是应力的函数）,6,个应力分量可表述为,6,个应变分量的函数。,3-2,线弹性体本构方程的一般表达式,当自变量,(,应

4、变,),很小时，式（）中的各表达式可用,泰勒级数展开略去二阶及以上的高阶微量，则式（）,中的第一式展开为：,表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为,零故,表示函数,f,1,对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零,时的值，等于一个常数,故,式（）可用一个线性方程组表示（线弹性体）,式（）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关,系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应,变的一般关系式,式（）中的系数,称为弹性常数，共,有个,由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力,时，必产生同样的应变，反之亦然因此,为,常数，其数值由弹性体材料的性质而定,式（）推导过程未引用各向同性假设，,故可适

5、用于极端各向异性体、正交各向异性体、,二维各向同性体以及各向同性体等,式,(3),可用简写为,称为弹性矩阵,.,式（）可用矩阵表示,物体内的任一点,沿各个方向的性能,都不相同,则称为极端各向异性体,. (,这种物体,的材料极少见,),三、,.,弹性常数,1.,极端各向异性体,:,由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性,常数之间存在关系,即使在极端各向异性条件下,式,(2),中,的,36,个弹性常数也不是全部独立,.,36,个弹性常数减少到,21,个,.,弹性矩阵是对称矩,阵,.,?,弹性矩阵为,?,极端各向异性体的特点,:,(1),当作用正应力,时,不仅会产生正应,变,还会引起剪应,变,。,(

6、2),当作用剪应力时,不仅会产生剪应变,也会引,起正应变。,2.,正交各向异性体,如在均匀体内,任意一点都存在着一个,对称面,在任意两个与此面对称的方向上,材料的,弹性性质都相同。,称为具有一个弹性对称面的各向,异性体。该对称面称为弹性对称面,垂直于弹性对,称面的方向称为物体的弹性主方向。,具有一个弹性对称面的各向异性体,弹,性常数有,13,个。单斜晶体,(,如正长石,),具有这类弹性,对称。,?,如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对,称面,这种物体称为正交各向异性体。如,:,煤块、,均匀的木材、叠层胶木、复合材料等,正交各向异性体有,9,个弹性常数。其弹性矩阵为,3.,横观各向同性体

7、,如物体内任意一点,在平行于,某一平面的所有各个方向都有相同的弹,性性质,这类正交异性体为横观各向同,性体。如不同层次的土壤、复合板材等。,横观各向同性体只有五个,弹性常数,弹性矩阵为,物体内任意一点,沿任何方向的弹性性质都相同。,4.,各向同性体,各向同性体只有两个独立的弹性常数,弹性矩阵为,:,可见,:,比较,:,3-3,弹性应变能,弹性体受外力作用后产生变形，外力在其作用,位置的变形上做功。忽略速度、热交换和温度等因素，则,外力所做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。,变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题,的变分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变,余能密切相关的，是有限元法的基础。,单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。,一、一维状态,细长直杆，长度为,L,，横截面积为,S,，两端受拉力,P,作用。,产生的伸长量为,DL,，外力作的功为：,单位体积的应变能,U,0,为：,单位体积的应变能,U,0,代表应力,-,应变曲线中阴影部分的面积。,单位体积的应变余能,U,0,为：,对线弹性材料，,?,三向应力状态下，六个应力分量和六个应变分量。由能量,守恒原理，各应力分量的合力只在其对应的应变分量所引,起的变形位移上做功。,一、三维状态,?,总的应变能为各应力分量对应的应变能之和，即：,令：,