系统的频域分析

1、3.8,连续系统的频域分析,系统函数的定义,?,一个线性时不变连续时间系统的数学模型常用下列,常系数线性微分方程描述：,a,n,y,(,t,),?,a,n,?,1,y,?,b,m,f,(,m,),(,n,),(,n,?,1,),(,t,),?,?,?,a,1,y,(,t,),?,a,0,y,(,t,),(,m,?,1,),(,1,),(,t,),?,b,m,?,1,f,n,(,t,),?,?,?,b,1,f,(,t,),?,b,0,f,(,t,),m,(,k,),(,1,),方程两边同时取傅立叶变换：,FT,?,a,k,y,(,t,),?,FT,?,b,k,f,(,k,),k,?,0,k,?,

2、0,(,t,),傅立叶变换的线性特性：,?,a,k,?,0,n,k,?,FT,y,(,t,),?,?,b,k,?,FT,f,(,k,),k,?,0,m,(,k,),(,t,),系统函数的定义,?,傅立叶变换的时域微分特性：,n,m,?,a,k,?,0,k,?,(,j,?,),Y,(,j,?,),?,?,b,k,?,(,j,?,),F,(,j,?,),k,k,k,?,0,系统函数定义为：,Y,(,j,?,),H,(,j,?,),?,?,F,(,j,?,),?,?,b,k,?,0,n,k,?,0,m,k,?,(,j,?,),?,(,j,?,),k,?,H,(,j,?,),?,e,k,k,j,?,(

3、,?,),?,a,也称为系统的频率特性：,H,(,j,?,),?,(,?,),幅频特性,相频特性,系统函数与冲激响应的关系,?,时、频域的对应关系：,H,(,j,?,),?,?,h,(,t,),?,e,?,?,?,j,?,t,dt,j,?,t,1,h,(,t,),?,2,?,?,?,?,H,(,j,?,),?,e,d,?,频域分析法求解零状态响应,设线性时不变系统的单位冲激响应为,h(t,),，,系统对基本信号,e,jt,的零状态响应为：,根据时域分析法：,e,j,?,t,?,y,f,(,t,),?,e,?,e,j,?,t,j,?,t,*,h,(,t,),?,?,?,?,h,(,?,),?,e

4、,?,j,?,(,t,?,?,),j,?,t,d,?,?,?,?,?,h,(,?,),?,e,?,j,?,d,?,?,e,?,H,(,j,?,),例：,设：,f,(,t,),?,e,j,?,t,jt,H,(,j,?,),?,?,j,2,?,?,?,1,jt,jt,则：,y,f,(,t,),?,e,?,H,(,j,?,),?,e,?,H,(,j,1,),?,e,?,(,?,j,2,),?,?,j,2,cos,t,?,2,sin,t,频域分析法求解零状态响应,?,一般信号,f,(,t,),激励下的零状态响应,其推导过程如下：,输入信号,?,零状态响应,基本信号的响应：,线性系统的奇次性：,e,j,

5、?,t,?,H,(,j,?,),e,j,?,t,1,1,j,?,t,j,?,t,F,(,j,?,),e,d,?,?,F,(,j,?,),H,(,j,?,),e,d,?,2,?,2,?,线性系统的可加性：,?,1,1,j,?,t,j,?,t,F,(,j,?,),e,d,?,?,F,(,j,?,),H,(,j,?,),e,d,?,?,?,?,2,?,?,?,?,2,?,?,即：,f,(,t,),?,y,f,(,t,),?,F,F,(,j,?,),?,H,(,j,?,),?,1,频域分析法求解零状态响应的步骤,?,时域频域,y,f,(,t,),?,f,(,t,),*,h,(,t,),f,(,t,),

6、?,F,(,j,?,),h,(,t,),?,H,(,j,?,),Y,f,(,j,?,),?,F,(,j,?,),?,H,(,j,?,),y,f,(,t,),?,Y,f,(,j,?,),激,励,信,号,线,性,非,时,变,系,统,响,应,f,(,t,),*,h,(,t,),y,f,(,t,),F,(,?,),H,(,?,),Y,f,(,?,),频域分析示意图,例,u,s,(,t,),输入信号，,u,o,(,t,),输出信号。,?,如图所示，试分析单位阶跃信号通过,RC,高通网络传输后的波形。,U,s,(,j,?,),?,U,C,(,j,?,),?,U,R,(,j,?,),U,o,(,j,?,),

7、?,U,R,(,j,?,),U,o,(,j,?,),U,R,(,j,?,),U,R,(,j,?,),?,?,H,(,j,?,),?,?,?,F,(,j,?,),U,s,(,j,?,),U,s,(,j,?,),U,R,(,j,?,),?,U,C,(,j,?,),Y,f,(,j,?,),?,R,1,R,?,j,?,C,j,?,RC,?,1,?,j,?,RC,1,u,s,(,t,),?,?,(,t,),?,U,s,(,j,?,),?,?,(,?,),?,j,?,例,U,o,(,j,?,),?,Y,f,(,j,?,),?,F,(,j,?,),?,H,(,j,?,),?,U,s,(,j,?,),?,H,

8、(,j,?,),1,j,?,RC,j,?,RC,RC,?,?,(,?,),?,?,?,?,?,(,?,),?,1,?,j,?,RC,j,?,1,?,j,?,RC,1,?,j,?,RC,冲激函数的取样性质,RC,?,u,o,(,t,),?,y,f,(,t,),?,FT,Y,f,(,j,?,),?,FT,1,?,j,?,RC,1,t,1,?,RC,?,1,?,FT,?,e,?,(,t,),1,?,j,?,RC,?,1,?,1,信号的无失真传输条件,?,失真的概念,信号的无失真传输是指输入信号经过系统后，,输出信号与输入信号相比只有幅度大小和出现时间的先后不同，,而,没有波形形状,的变化。,该系统为

9、无失真传输系统。,设输入信号为,f,(,t,),，,经该系统无失真传输后，在时域上输出,信号应满足：,y,(,t,),?,Kf,(,t,?,t,0,),K,：幅度变换系数，为一常数，,在频域上：,t,0,：延迟时间。,?,j,?,t,0,Y,(,j,?,),?,KF,(,j,?,),?,e,（傅里叶变换的时移特性）,Y,(,j,?,),?,j,?,t,0,?,H,(,j,?,),?,?,K,?,e,F,(,j,?,),信号的无失真传输条件,?,无失真的幅频、相频条件,H,(,j,?,),?,K,?,e,?,j,?,t,0,?,j,?,(,?,),H,(,j,?,),?,H,(,j,?,),?,

10、e,幅频条件,?,H,(,j,?,),?,K,?,?,?,(,?,),?,?,?,t,0,相频条件,信号的无失真传输条件,f,(t),f,(t),无失真传输系统,y,(t),2,y,(t),1,o,?,t,o,t,d,t,d,+,?,t,信号的无失真传输条件,?,实际系统中的无失真传输,当系统对信号中不同频率分量产生不同程度的衰减时，,幅频失真,当系统对信号中不同频率分量产生的相移与频率不成正比时，,相频失真,实际中，只要系统有足够大的频宽，,得以保证绝大部分能量,的频率分量能够通过，,就可以得到较满意的无失真传输。,信号通过理想滤波器,?,理想滤波器,若系统能让某些频率的信号通过，而使其他频

11、率的信号,受到抑制，则该系统称为,滤波器,。,所谓,理想滤波器,，是指不允许通过的频率成分，一点也,不让它通过，,百分之百地被抑制掉；而允许通过的频率成分，,让其顺利通过，,百分之百地让其通过。,信号通过理想滤波器,理想低通滤波器的系统函数,理想高通滤波器的系统函数,理想带通滤波器的系统函数,理想带阻滤波器的系统函数,信号通过理想滤波器,?,理想低通滤波器的系统函数为：,?,H,(,j,?,),?,1,?,?,?,(,?,),?,?,?,t,0,(,?,?,?,c,),j,?,(,?,),H,(,j,?,),?,H,(,j,?,),?,e,?,e,?,?,?,0,?,j,?,t,0,(,?,?

12、,?,c,),(,?,?,?,c,),与之对应的冲激响应为：,?,1,j,?,t,?,1,H,(,j,?,),?,e,d,?,h,(,t,),?,FT,H,(,j,?,),?,?,2,?,?,?,j,?,(,t,?,t,0,),?,c,1,e,1,?,c,j,?,(,t,?,t,0,),?,?,?,e,d,?,?,2,?,j,(,t,?,t,0,),?,?,2,?,?,?,c,c,信号通过理想滤波器,1,e,sin,?,c,(,t,?,t,0,),?,c,sin,?,c,(,t,?,t,0,),?,?,?,?,?,?,(,t,?,t,0,),2,?,j,(,t,?,t,0,),?,?,?,?,(,t,?,t,),c,0,c,?,c,j,?,(,t,?,t,0,),?,c,?,h,(,t,),?,Sa,?,c,(,t,?,t,0,),?,?,c,(,t,?,t,0,),?,k,?,t,?,t,0,?,k,?,?,c,信号通过理想滤波器,?,由响应的波形图可见,响应的时间比激励滞后,延迟时间为,t,0,。,?,