2.3.2平面与平面垂直的判定定理

1、2.3.2平面与平面垂 直的判定定理复习引入1在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？UP直线、是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线2叽 方7，我们把相交直线力和夕所成的锐角（或直角）叫做异面 直线所成的角范围：（0役90。2在立体几何中畀直线和平面所成的角”是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.范围：0% 90 .空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行, 我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论 上肴进一昜的认识.两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的. 在异面直线所成的角、直线与

2、平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角.如:修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的 轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.L二面角的概念(1)半平面的定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面.(2)二面角的定义从一条直线岀发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.棱/L二面角的概念(3)二面角的画法和记法：面1平卧式：二

3、面角a- lpB棱面2点1 棱点2二面角 C-AB-DA二面角的概念(4)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，04丄丄Z ，则ZA0B成为二面角a 1 0的平面角它的大小与点O的选取无关.A二面角的平面角必须满足:角的顶点在棱上O1角的两边分别在两个面内角的边都要垂直于二面角的棱二面角的概念(4)注1: 鸟二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180。； 平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.二面角的范围为：0 , 180 【二面角的概念(5)二面角的平面角的

4、作法:定义法垂线法作棱的垂面法AB 丄 a.A/3,Ba 过A作40丄I 连接05则丄/补充个平面垂直于二面角的棱I, 且与两半平面的交线分别是射线加、 OB, O为垂足,则乙AOB为二面角 a/0的平面角例正方体ABCDAiBiGDi中， 二面角B“A广Ci的大小为45。, 二面角B-AA rD的大小为9T, 二面角C.-BD-C的正切值是一/!_EFGF练 如图,在长方体ABCD-AiBd中，AB = 2, BC = BBX =1 E为DQi的中点，求二面角E-BD-C的大小.思路分析：找基面 平面BCD 作基面的垂线 过E作EF丄CD于F 作平面角 作FG丄BD于G,连结EG 解：过E作

5、EF丄CD于F,V ABCDAiBd是长方体， AEF丄平面BCD,且F为CD中点,过F作FG丄BD于G,连结EG,贝!|EG丄BD.（三垂线定理） 于是，ZEGF为二面角E-BD-C的平面角.VBC= 1, CD = 2, GF =-BC CD _ 1x2 _ 1BD 一 2a/5 一 a/5而EF = 1,在ZXEFG中 tan ZEGF =A例如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.求证：BDVCD.ABAC = 6分析：由直二面角的定义可知，ZBDC 为直角，就是这个直二面角的平面角所 以BD丄CD.若设AD = aJlBD = CD = a,即可求得：AB = A

6、C = BC =,那么ABAC为等边三角形，即有 ABAC =60例如图,山坡倾斜度是60度,山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角沿这条路向上走100米,升高了多少？解:因为CDG是坡面，设DH是地平面的垂线 段,DH就是所求的高度.作HG丄AB,垂足为G, 那么DGAB, ZDGH就是坡面和地平面所成的二面角的平面角，所以ZDGH=6O. 又CD与AB所成角为ZDCG=3O.DH二DGsin 60=CD sin 30 sin 60= 100sin 30 sin 60=25、你 a 43.3(/?)答:沿这条路向上走100米,升高约43. 3米.考如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?厂 厂

7、I.厂/I/1/I/I/1/1/1/1/1/1/ / / / / / Axxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXZAXXXXXXX

8、XXXXXXX xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx IXlxlxlxlxlxuxlxlxlxlxLXlxLXKlxuKulxueecKK平面与平面垂直的判定(1)定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直记作a丄0a0”(2)面面垂直的判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂 軽2：a丄agu )3 n a丄0该定理作用：“线面垂直=面面垂直” 应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂

9、线.练在正方体ABCDA1B1CJD1中，(1)求证：平面A&丄平面BD(2) E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A&iFE丄平面BD(3) G是BB的中点，A求证：平面AiGG丄平面BJ)Ai直线ACi丄平面BD,则过直线AjCj的平面都垂直于平面BJ)总结:例如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面 于A, C是圆O上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC丄平面PBC证明：由AB是圆O的直径，可得AC丄BCPA丄平面ABCBC cz 平面ABC=PABCEC 1AC PAI AC = A=BC -L 平面PAC BCu平面珂C丿d平面PAC丄平面PBC例 过AABC所在平

10、面a外一点P,作P0丄a,垂足为O, 连接 PA,PB,PC.1) .若阳二 PE 二 PC,则 0是AABC的 _心.2) .若PAPC, PC 丄 PA,则O是AABC的 垂心. 练习：P79B组23) .若PA = PB = PC, ZC 二 90,则O是AB边的_ 点过VABC所在平面a外的一点P,作PO丄垂足为O,连接PA, PB, PC.求证:i）若PA二PB二PC,则点O是AB的中点证明:连接OA, OB, OCQ PO丄面ABC.PO丄OA, PO丄OB, PO丄OCQPA=PB=PC, PO=PO=PORtVPOA = RtVPOB = RtVPOC .OA=OB=OC，即O

11、为VABC的外心.P特别地，当VABC为直角三角形，如ZABC=90,贝0O为斜边AC的中点变式1在三棱锥PABC中，PA = PB = PC, ZABC=90,求证:面PAC丄面ABC.法一:过P作面ABC的垂线PO,垂足为O连接OA, OB, OCQ PO丄面ABCPO丄OA, PO丄OB，PO丄OCQ PA=PB=PC, PO=PO=PO RtVPOA = RtVPOB = RtVPOC OA=OB=OC,即O为VABC的夕卜心.QVABC为直角三角形，ZABC=90,贝忆为斜边AC的中点. 由POu面PAC, PO丄面ABC,可得面PAC丄面ABC.变式1在三棱锥P-ABC中，PA =

12、 PB = PC, ZABC=90,求证:面PAC丄面ABC.法二:分别取AC, EC的中点E, F,连接PE, EF,QPA = PE,点E为AC的中点,PE丄AC.Q ZABC=90, BC 丄 ABQ在VABC中，E, F分别是边AC, BC的中点AEF/AB,故有BC丄EF又QPB=PC, F为BC的中点,PF丄BC而QPFI EF二F,BC丄面PEE即有BC丄PE故由PE 丄 AC, PE 丄 BC, AC I BC=C,QPE 丄面ABCQPEcz 面 PAC,/. ffiPAC 丄面 ABC.变式2把等腰RtVABC沿着斜边AC旋转至IJVACP的位置，使得PB = AB.i）求

13、证面PAC丄面ABC ）求二面角B-PC-A的余弦值. 注意：RtVAPC = RtVABC证明：取AC的中点E,连接PE,往证PE丄ffiABC. QPA = PB,点E为 AC 的中点,PE 丄 AC.接下来往证PE丄BC,可转化为异面直线所成角问题A .取AB的中点F,连接EF, PF,则EF/BC.往证PE丄EF即可.P（PE和EF相交，本题已知的边角关系较多，可考虑勾股定理）设=在VABC中，EF = -BC = -2 2在等腰RtVAPC中，PE = -AC = 2 2在等腰VAPB 中,PF=VPA2-AF2 = Q PE2 +EF2 =PF2, /. PE 丄 EF 或者考虑二

14、面角定义法2变式2把等腰RtVABC沿着斜边AC旋转至IJVACP的位置，使得PB = AB. i）求证面PAC丄面ABC ）求二面角B-PC-A的余弦值.解1:取PC的中点G,连接EG, BG, BEQ EG为VCPA的中位线八EG/PA又QPA 丄 PC* EG 1 PC.QBP=BC, G为PC 的中点,/. BG 丄 PCZEGB为所求二面角B-PC-A的平面角.pE /A设BC = / 在RtVAPC 中，EG二丄些在RtVABC 中，EB=-AC= a,2 2 2R 在等边VPBC中，BG=-a2在VGEB 中，EG2+EB2=GB2, /. ZBEG=90在RtVGEB中，cos

15、ZEGB=GB 3变式2把等腰RtVABC沿着斜边AC旋转至IJVACP的位置，使得PB = AB. i）求证面PAC丄面ABC ZZ）求二面角B-PC-A的余弦值.解2:由。知面PAC 丄面ABC, ffiPACl 面ABC=AC,故连接BE,则由BE丄AC,可得BE丄面PAC.（或由BA = BP = BC, ZAPC = 90,知BE 丄面PAC.）过E点在平面PAC内作EG丄PC于点G,连接BG, 此时BG丄PC. ZEGB为所求二面角B-PC-A的平面角.FG在RtVGEB中，cosZEGB二一GBQ在VPAC内，EG/PA, E为AC的中点，故点G为PC的中点，设 BC = a,E

16、G=-PA=-a2 2又在等边VPBC中，GB=-ap,-.cosZEGB=GB 32一、直线与平面垂直定义：/丄a o唾直于平面Q内的所有直线.判定定理：唾直于平面况内的两条相交直线丄G(3) 线线垂直的常用证明方法：a平面内的两直线b.空间内的两直线|1菱形，正方形等对角线互相垂直|1转化为异面直线所成角问题 |2)等腰三角形底边上的高|2线面垂直=线线垂直.勾股定理要证明/垂直J u内的直线b,/往往反过来证明b垂直于过/的某个平面.(4) 两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行二、平面与平面垂直(1) 定义：两平面所成二面角为直二面角(2) 判定定理：平面0过平面a的

17、垂线丄a(3) 性质定理：两平面垂直，则平面&内垂直于公共棱的直线是另一个平面赠垂线.1、角度问题名称定义图形两条异面直线 所成的角直线纸b是异面直线，经过空间 任意一点O,作直线M、b并使 a7/a, b7/b,我们把直线和2所 成的锐角（或直角）叫做异面直 线a和b所成的角./b01 / a -直线与平面 所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若L丄a则 L与（X所成的角是直角，若L/a或L dC则L与a所成的角是的角。l二面角及它的平面 角从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两

18、个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。1-数学思想:解决空间甬的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即 把空间的甬转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后 通过解三甬形求得.2.方法:a求异面直线所成的角：平移构造可解三甬形找平行线方法：中位线，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等b.求直线与平面所成的角：找（或作）射影三药勾造可解三角形 即找面的垂线，找出垂足C.求二面角的大小：找（或作）其平面角构造可解-角形定义法或者垂线法3.步骤:作（找）证点算练习：二面角a-1-p的平面角为。，PA丄疔A点, PB丄歼B点，PA=a, PB=ft,求点

19、P到棱z的距离. 练 如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2, PA=PB=AB, ZACB=90, PCAC.(1)求证：PC丄AB；求二面角BAPC的大小P练2 在长方体ABCD AiBiGDi 中，AB=2, BC=BB=1, E为DAAH练1如图，M是正方体ABCDAiBiGD的棱AB的中点，求二 面角AiMCA的正切值.思路分析：找基面 平ffiABCD 找基面的垂线AAi 作平面角作AH丄CM交CM的延长线于H,连结AH解：作AH丄CM交CM的延长线于H,连 结AH. 上丄平面AC, AH是AH 在平面AC内的射影，AiH丄CM,卜ZAjHA为二面角Aj-CM-A的平面角.设正

20、方体的棱长为1. VM是AB的中点，且AMCD,则在 直角ZkAMN中，AM = 0.5, AN=1, MN=.人口 AM AN 1AA 丘 2AH = tan / A HA = =冷5MN V51 AH如图，在底面是直角梯形的四棱锥S4BCD中，ZABC=90 ,SA 丄ffiABCD, SA=AB=BC=2f AD=1 求四棱锥S -ABCD的体积；求面SCD与面SB4所成的二面角的正切值.S提不：故先延 然后证因所求二面角无“棱”， 长34、CD以确定棱SE, 明ZBSC为平面角.DA.练已知二面角a / 卩，A为面a内一点，A到（3的距离为2点 到2的距离为4.求二面角a-Z-p的大小

21、.解：过A作AO丄a于O,过O作OD丄2于D,连AD, 则AD丄人/. ZADO就是二面角a I 一卩的平面角.且40 = 2点4 = 4在RtAADO中，厂: sin ZADO= = AD 4:.ZADO=60Q 即二面角a 1 p的大小为60 练在二面角a力的一个平面a内有一条直线AB,它与棱2所成 的角为45 ,与平面“所成的角为30 ,则这个二面角的大小是45。或135已知I： a _La, qu0. 求证：a丄0证明：设an“=CD,贝!)BGCD.TAB丄“，CD 爲 A AB丄CD 在平面内过B点作直线BE丄CD,贝！) ZABE就是二面角a-CD-/?的平面角，TAB丄0, BE 罕,AAB丄BE二面角处CD-0是直二面角，丄.1过平面久的一条垂线可作无数b平面与平面伉垂直.3过平面亿的一条斜线，可作个平面与平面伉垂直.2 过一点可作无数个平面与已知平面垂直.4 过平面亿的一条平行线可作二个平面与久垂直.练正方体ABCD - ABiCDi中f求证:平面4CC A丄平面练 如图，4是ABCD所在平面外一点，AB = AD. ZABC = ZADC= 90, E是的中点求证：平面AEC丄平面变式1在三棱锥P-ABC中，PA = PB = PC, ZABC=90,求证:面PAC丄面ABC.P法二:取AC的中点E,连接PE,往证PE丄面AB