高等数学练习题附答案

1、1. 收敛的数列必有界.2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.3. 闭区间上的间断函数必无界.4. 单调函数的导函数也是单调函数.()()线.()()8.若z f(X,y)在(Xo,yo)处的两个一阶偏导数存在,则函数z f(X,y)在(xo,yo)处可微.()9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解()10.设偶函数f(x)在区间(1,1 )内具有二阶导数，且f (0)f (0)1,贝U f(0)为f (x)的一个极小值. 二、填空题.(每题2分，共20 分)1.设 f(X1) X2，贝U f(x 1).12X 1，贝U lim .-X 02 13.设单调可微函数f (X)的反函数为

2、g(x) , f (1)3, f (1)2.若 f(x)2,f (3)6 则 g (3).专业年级学号姓名、判断题.将或X填入相应的括号内.(每题2分，共20 分)()()()()5. 若f(x)在Xo点可导，则f(X )也在Xo点可导.6. 若连续函数yf(x)在Xo点不可导，则曲线y f(X)在(Xo, f(Xo)点没有切7. 若f (X)在a,b上可积，贝U f (X)在a,b上连续.4. 设 U xy ,则 du .y5. 曲线X26y y3在(2 , 2)点切线的斜率为.6. 设 f(x)为可导函数，f (1) 1, F(x)f()f(x2),则 F (1).X卄 f(x)7.若0t

3、2dtx2(1x),则 f (2).8. f(x)X 2具在0,4上的最大值为.9.广义积分0 e2xdx10.设D为圆形区域x2y21,yj1 x5dxdy .D1(n 1)22.求 y (X 1)(x 2)2(x3)3(X 10)10 在(0, + )内的导数.、计算题(每题5分，共40分)11. 计算 lim(=n n3. 求不定积分， dx.7x(1 x)4. 计算定积分0寸sin3 X sin5 xdx.5. 求函数 f (x, y) x3 4x2 2xy y2 的极值.6.设平面区域D是由y 仮,y x围成，计算sinidxdy.D y7.计算由曲线xy1,xy 2,y x,yV3

4、X围成的平面图形在第一象限的面积.y空的通解. y四、证明题(每题10分，共20分)8.求微分方程1.证明：arc ta nx arcs in ” x (2.设f (x)在闭区间a,b上连续，且证明：方程F(x) 0在区间(a,b)内有且仅有一个实根.f(x) 0,高等数学参考答案、判断题.将或X填入相应的括号内(每题 2分，共20分)1. V； 2. X； 3. X； 4. X； 5. X； 6. X； 7. X； 8. X； 9. V； 10. V. 、填空题.(每题2分，共20分)1. x2 4x 4 ； ； 2； 4. (y 1/ y)dx(x x/y2)dy ；3； 7.幼36 ；

5、； 2；.三、计算题(每题5分，共40分)1. 解:因为話2 n L1(2n)2且 nim(20，lim m=0nn2由迫敛性定理知:limn2.解：先求对数3.解：原式=2In y1jrx(Anln(x1=2 Id 丘(vx)2=2 arcsin Jx4.解：原式=1(n 1)21) 2ln(x心)=02)101 n(x10)I 320 Jsin xcos xdx32 cosxsin 2 xdx03cosxsin2 xdx232 sin2 xd sin x03sin2 xdsinx2= 2sin2x舟5|si nx5 2=4/55. 解:fx3x28x 2y0 fy 2x 2y 00 时 f

6、xx(0,0)8，fyy(0,0)2，fxy(0,0)(8)2(2)20 且 A=(0,0）为极大值点且f (0,0) 022时 fxx(2,2)4，fyy(2,2)2，fxy(2,2)4 ( 2)220无法判断6. 解：D=(x,y)O. 2y 1,y x y0沁 dxdy y sin y J0dy y2dx=1 sin y0qdy10(sin yysin y)dy=cosy010 yd cos y=1 cos1ycosy010 cos ydy=1 sin17.解：令uxy,;则1738.解：令y2知（U）2u4x由微分公式知:2dx(2dxdxc)四.证明题（每题10分，共20 分）1.

7、解:设 f (x)arcta nx arcs inf(x) 112x1 x2x2TTT,X =01 x20 f (0)0 0c 0即:原式成立。2. 解:且 F(a)又 F（X）F(x)在a,b上连续a 1bdt 0 b f (t) I 丿 a 丿故方程F(x) 0在(a,b)上至少有一个实根.1f(x)亍 f(x) 0f (x)即F(x)在区间a,b上单调递增F（x）在区间（a,b）上有且仅有一个实根.高等数学专业学号姓名、判断题（对的打2,错的打X；每题 2分，共10 分）1. f(x)在点Xo处有定义是f(X)在点Xo处连续的必要条件.2. 若y f(x)在点Xo不可导，则曲线y f(x

8、)在(Xo, f(Xo)处一定没有切线.3.若f(x)在a,b上可积, 积.g(x)在a, b上不可积，则f (X) g(X)在a, b上必不可4.方程 xyz 0 和 X2 y2z20在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个5.设y*是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则y y y*为一阶线性微分方程的通解.、填空题(每题2分，共20分)1.设 f(3x)J2x 1 , f (a)5,则 a .2.设 f (X)3.设 f(x)ln(1 2x)，当 f(0)arcs in3xlim x(11)2xt，则 f时，f(x)在点X 0连续.(X).4.已知f (x)

9、在X a处可导，且f (a) A，则 lim f(a 2h) f(a 3h)h 05. 若 2f (X) cosx f (X)2，并且 f(0)1，贝U f (X).dx6. 若 f (x), g(x)在点 b 左连续，且 f (b)g(b), f (x) g (x) (a x b)，则f (x)与g(x)大小比较为f (x)g(x).7. 若 y sin X2，贝Udy2;.d(x )dxX18. 设 f (X) x2lntdt，贝U f (?) .9.设 zex2y，则 dz (1,1)10.累次积分三、计算题(前sin X(1. 0 1. limX 0XRVr2 X2dx0 06题每题5

10、分，后两题每题6分，共42分)1t)tdt厂e2厂Ldt ；2.设 y ln Je2x 1 sin tf (X2y2) dy化为极坐标下的累次积分为卜 C sinx cosx ,，求y;3. Tsinordx；2FEd设乜,求:Z6.求由方程 2y x (x y) ln(xy)所确定的函数7.设平面区域D是由yJX，y x围成，计算y y(x)的微分dy . sindxdy.y8. 求方程 yin ydx (x In y)dy0在初始条件yx1 e下的特解.四、(7分)已知 f (x)x3 ax2 bx 在 x1处有极值 2，试确定系数a、b，并求出所有的极大值与极小值.五、应用题(每题7分，

11、共14分)1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 .已知当速度为10(km/h) 时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时 96元.问轮船的速度为 多少时,每航行1 km所消耗的费用最小？2. 过点(1,0)向曲线y Jx 2作切线，求：(1)切线与曲线所围成图形的面积;(2)图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.六、证明题(7分) 设函数f (x)在0g(x)里在 0 xxx a上的二阶导数存在，且f (0)0, f(X)0.证明a上单调增加.高等数学参考答案X； 3. V; 4. X； 5. V .、判断题1. V; 2.、填空题2 2x;2. ; 3. 4(1 x

12、)e ; 4. 5A; 5. 1 sinx; 6.32 27. cosx , 2xcosx ; 8. ln2 ; 9. 2dx dy ; 10.02dR0 f(r cos2 )rdr .三、计算题11.原式 lim(1 sinx)SncosxX 0xsin x2. y1J2x2e2x (e2x 1) e2x 2e2x(e2x 1)23.4.原式=sinx cosx2dx (sin x cosx)设 x 2 si nt 则 dx 2costdt原式=j4sint 2 cost 2costdt5._2y2尸2x2y2y(x2xy3y2P6.即 2dy dx in(x y)dx 故 dy 2 ln(

13、x y)dx3 ln(X y)(本题求出导数后，用-7 sin y7.dxdyD y两边同时微分得:ln(x y)dydy1dy0 ，(dxdy)8.原方程可化为dxdyydx解出结果也可)y sin y2y y1xyin ydxdy 1yin y 丄 dyyCyx1e代入通解得C 1故所求特解为:2(ln y) 2xln y四、解：f (x)3x2 2ax b因为f (x)在x 故 f (1)3 2a又 f (1)1解得：aa0,1处有极值2，bbb于是f (x)x33x2f (x)3( x所以x 1必为驻点1)由 f(X)f (1)f ( 1)0得x6 0，60，在 x1，从而在x 1处有

14、极小值f(1)21处有极大值f( 1)2五、1.解：设船速为x(km/h)，依题意每航行1km的耗费为又X 10时，k 1036故得k 0.006，所以有13-(0.006X96)，X (0,)X8000)0，得驻点 x 20令0.012(3令 y 一 (xX由极值第一充分条件检验得X 20是极小值点.由于在(0,)上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为20(km/h)时，每航行1km的耗费最少，其值为ymin 0.006 2027.2 (元)202.解:又因为y(1)设切线与抛物线交点为(X0,y0)，则切线的斜率为土x。1X 2上的切线斜率满足2

15、y y 1，在(X0,y0)上即有2畑 1所以2y0X01,即 2y0 X011又因为(X0，y0)满足2y。X02，解方程组2y0x0 1 得y0 X02X0y。如则所围成图形的面积为：(2)图形绕X轴旋转所得旋转体的体积为：六、证：f(XhXf(X)f(X) Xf(X)f(X)f(0)所以切线方程为1) 2XX在0, X上，对f(x)应用拉格朗日中值定理,代入上式得3xf(x)2f()XX由假设f (x)0知f (x)为增函数，又X于是f(X)f ( ) 0,从而他0,故X2X则存在一点(0,x)，使得，则 f (X) f (),在(0,a)内单调增加.X高等数学试卷专业学号姓名、填空题(

16、每小题1分，共10 分)1 .函数y arcsin C 启的定义域为f(X02h) f(X03h)2.函数y X ex上点（0，1）处的切线方程是3. 设f（X）在xo可导且f（X） A，则limh 04. 设曲线过（0,1），且其上任意点（x,y）的切线斜率为2x，则该曲线的方程是LX5.4 dx _1 X16. lim xsin =。XX7.设 f (x, y) sin xy，则 fX(x,8.累次积分dx R X f (x20 0.3cj29.微分方程d y 3(d y)2 0 dx3 X dx210.设级数an发散，则级数n 1y)=的阶数为y2 ）dy化为极坐标下的累次积分为ann

17、1ooo若f （x）在XXo连续，贝U f （x）在X Xo可导若f（x）在XXo不可导,f (x)在 XXo不连续若f（x）在XXo不可微,f (x)在 XXo极限不存在若f （x）在XXo不连续,f (x)在 XXo不可导4.若在（a,b）内恒有f（X）o, f（X） o，则在（a,b）内曲线弧y f （x）为（）.、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，（110每小题1分，1117每小题2分，共24 分）11 设函数 f (x)- , g(x) 1 X，贝U f (g(x)=()X1 1 11丄1 2. X o 时，xsin - 1 是()X无

18、穷大量无穷小量有界变量无界变量3. 下列说法正确的是（）XXX 1 X上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧下降的凹弧5设 F(x) G(x)，贝U() F(x)G(x)为常数F(x) G(x)为常数 F(x)6.xdx =()7. 方程2x 3y 1在空间表示的图形是()平行于xOy面的平面平行于Oz轴的平面过Oz轴的平面直线&设 f(x,y) X3 y3 x2y，贝U f (tx,ty)()1a 1tf (X, y)t2f(x,y)t3f (x,y)pr f (x, y)9.设 a.0，且m = p，贝U级数 a.()an在P 1时收敛，P 1时发散在P 1时收敛，P 1时发散在P 1时收敛，P

19、1时发散在P 1时收敛，P 1时发散10.方程 y 3xy 6x2y 是()一阶线性非齐次微分方程齐次微分方程可分离变量的微分方程二阶微分方程11.下列函数中为偶函数的是() y ex y x3 1 y x3 cosx y ln x12.设 f (X)在(a,b)可导，aX1 X2 b，则至少有一点(a,b)使() f(b) f (a) f ( )(b a) f(b) f(a) f ( )(X2 xj f(X2)f(X1)f ( )(b a) f(X2)f(X1) f ( )(x2 X1)13. 设f(x)在X X0的左右导数存在且相等是f(x)在X X0可导的()充分必要的条件必要非充分的条

20、件rl-IG(x) 0一 F(x)dx 一 G(x)dx x dxdx必要且充分的条件既非必要又非充分的条件pl14. 设 2f(x)cosx f(x)2，贝U f(0)1，贝U f(x)()dxCOSX2 cosx 1 sinx 1 sinx15.过点(1,2 )且切线斜率为4X3的曲线方程为y=() X4 X4+C X 4+1 4X316.设幕级数anxn在x0 ( x0 0 )n 0收敛，则anXn 在IX 1x0 ()0绝对收敛条件收敛发散收敛性与an有关17.设D域由y X , y x2所围成，则()1sinx , Q 1 .#sinx , dx dy ; dy dx ;0 x X0

21、 y X局，1我si nx厂八1庶si nx dx dy : dy dx.0 X X0 X X三、计算题(13每小题5分,49每小题6分,共 51 分)1 .设y求y.o 七sin(9x216)2 .求 lim X 43 3x 4、丄皆dx-计算 .(1 ex)2. 设 X0(cosu)arctanudu ,yt(sin u)arctanudu，求 鱼dx.求过点A(2,1B(1,1,2 )的直线方程.设 u eUysinz，求du .X asi n.计算rsin drd0 08. 求微分方程dy (-)2dx的通解.X 19. 将f(X)3展成的幕级数.(1 x)(2 X)四、应用和证明题(

22、共15分)1.（8分）设一质量为m的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为k 0）求速度与时间的关系。2. （7分）借助于函数的单调性证明：当 x1时，2丘高等数学参考答案、填空题（每小题1分，共10 分）2+1l)2.2x y+l = 03.5A4.y = x1 25 . arcta nx c 6.17.ycos(xy)28. jd 0 f(r2)rdr 9 .三阶10 .发散、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题 干的（）内，110每小题1分，1117每小题2分，共24分）1. 2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15

23、.16.17.三、计算题（13每小题5分，49每小题6分，共51分）.解:1解：Iny -ln(x 1) ln x ln(x 3)店-18x cos(9x2 16) 原式=linjx /3.解:.解:.解:44 218(-)cos(9(-)2 16)=33=83原式=0 e Qdx(1 e )= dx _d(1 ex)z, X.f AX2(1 e )(1 e )_(1 ex ex)dx 1=nx rv_ x ln(1 ex) +1 e 因为 dx (cost)arctgtdt, dy 所求直线的方向数为1，(sin t)arctgtdt0，34所求直线方程为g丄三二103.解:du e 再 s

24、inzd(xsi nz).解:原积分二0sinasinrdr-a2 sin3 d2 0.解:两边积分得9.解:=a2 2 sin30两边同除以(y2 -a31)2 得-dy(1y)2dx(1 x)2dydx2 2 (1 y) (1 x)亦即所求通解为1 c1分解，得f(x)11n 0四、应用和证明题(共1xnn 0(1)n5分)x-2n11 n1 .解：设速度为u,则u满足m1解方程得u -(mgkn冷(x1且x2n21)1)n屯 mg kudtce kt)由 u| t=0 =0定出 c，得 u mg(1 e kt)k2 .证：令 f(x)而且当x 1时,因此f (x)在从而当x2/x丄3则f

25、(x)在区间1,+xf (x) iL 1,+71 时，f (x)即当x 1时，2仮1-20 (x 1)x单调增加f(1) =0-x高等数学专业学号姓名、判断正误(每题2分，1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量.2. 初等函数在其定义域内必定为连续函数共 20 分)3. y f X在点xo连续，贝U y f x在点xo必定可导.4. 若X点为y f X的极值点，则必有f x。0.5. 初等函数在其定义域区间内必定存在原函数6.方程X1 21表示一个圆.7.若 z fx,y在点Mq X0, y可微，则z f X, y在点M 0 X0, y连续.8. y 22xex是二阶微分方程.d X9.dX1s

26、intdtsin X sin1.10.若 y f XX为连续函数，则f tdt必定可导.a、填空题（每题4分，共20 分）1. 亠 .1 sin X2. lim 沁 .X X3. 设 f X 1，且 f 01，贝U f xdx24. z xy，贝U dz.d b 25. sin Xdx a三、计算题与证明题（共计 60分）1. 1 limn（5 分）；（5 分）。2.求函数sin xcosxcosx snx 的导数。（10 分）3.若在0, f 00.证明：F Xf X在区间 0和0, 上X单调增加.（10分）4.对物体长度进行了n次测量，得到n个数X1，X2,Xn。现在要确定一个量x，使之与

27、测得的数值之差的平方和最小.X应该是多少？（10 分）5. 计算 xs in x2dx. (5 分)6. 由曲线y lnx与两直线y e 1 x , y 0所围成的平面图形的面积是多少.（5分）7. 求微分方程X巴 x y满足条件yx匹0的特解。（5分）dx、8. 计算二重积分 x2dxdy, D是由圆x2 y2 1及x2 y2 4围成的区域.（5 分）D高等数学参考答案、判断正误（每题2分，共20分）1-5. x,x,x,x,v .6-10.、填空题（每题4分，共20分）1 1 2 c ; 2.0 ; 3.-x c ;2（共计1.ta n X cosx三、计算题与证明题。60分)1.1 li

28、m n nn=limnx,v,4.y2dxn 1? 3nx,x,v .2xydy ; 5.0.limn=e3nn 12 lim -X 0 xx/e1xx e-=lim1x 0x / e 1x2x1 lix= limx 02xl2.令y1sin x同理2cosxxcosxf x3. Fy2cosxln sin x esin X 1 1-2In cosx tan xxf xf x xf x f x2xxf x 0则当x0 时 g(x) gF x 0当 x 0时,F x为单调递增当x 0时g(x)0 F x 0当 x 0时，Fx为单调递增故命题成立。4.令 f XXi2X22X Xn则令f X 0X

29、oXi空为驻点nu 2 .1 cos 2x1c .5. xsinx dx= Xdx=- x xcos2x dx21 -cos2x c81 2=X421xsin 2x416. S e0eydy1 1 21y0 - y0 e21 y1 30 27.方程变形为1?e1dxX dx初始条件：yr,1 r 2,0高等数学专业学号姓名、判断(每小题2分，共20 分)(X)在点Xo处有定义是f(x)在点Xo处连续的必要条件.()2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.()=f(x)在Xo处可导,则y=|f(x)| 在Xo处也可导.()4. 初等函数在其定义域内必连续.()5. 可导函数f(x)的极值点一定是

30、f(x)的驻点.()6. 对任意常数 k,有 kf(x)dx=k f(x)dx.()7. 若f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界.()8. 若f(x,y)在区域D上连续且区域D关于y轴对称,则当f(x,y)为关于x的奇函数时，f (X, y)dxdy=0.()D9. (y )2 =-2x-e x的通解中含有两个独立任意常数.()10. 若z=f(x,y)在Po的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在Po连续.()、填空(每空2分，共20分)11 2 x1. lim xsin +sinx+()x=.Xx xx2.函数 f(x)=x J3x在0,3上满足罗尔定理的条件,定理中的数值3.设 f(x)=exx 0当a=时,f(x)在x=0处连续.x 024.设 z=ex2y,则 dz|(0,0)=.5.函数f（x）=e x-x-1在内单调增加；在内单调减