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文档简介
1、重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分,它是定积分的推广;被积函数由一元函数f(x)推广为二元函数f(x,y),三元函数(fx,y,z);积分范围由数轴上的区域推广为平面域(二重积分)和空间域(三重积分)。我个人在学习与复习多重积分这一块时,感到多重积分的计算比较繁琐,而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点,重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分,本人结合前人的经验,在这里介绍几种常用的重积分计算方法,以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。一 二重积分的计算1常用方法(1) 化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重
2、积分的计算主要采用累次积分法,即把一个二重积分表达为一个二次积分,通过两次定积分的计算求得二重积分值,分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下:第一步:画出积分区域D的草图;第二步:按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序,并确定积分的上、下限;第三步:计算累次积分。需要强调一点的是,累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简,有些题这两种次序的难易程度可以相差很大,甚至对一种次序可以“积出来”,而对另一种次序却“积不出来”。所以,适当选择积分次序是个很重要的工作。选择积分次序的原则是:尽可能将区域少分块,以简化计算过程;第一次积分的上、下限表达式要简单,并且容易根据第一次积
3、分的结果作第二次积分。 (2) 变量替换法着重看下面的例子:在计算定积分时,求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时,求积的困难来自两个方面,除了被积函数的原因以外还在而且,有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化,以便于用基本求积公式。于积分区域的多样性。为此,针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。(3)极坐标变换公式(主要是f(x,y)dxdy=f(pcos,psin)pdpd)下面看一个例子:计算二重积分时,要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系,如能采用适当的坐标系,往往可以收到事半功倍的效果。从
4、积分域来考虑,一般情况下,圆形、扇形或者环形可以选用极坐标。(4)对称法第四种对称法为轮换对称,它在应用中十分重要,下面详细介绍:首先所谓轮换对称性就是,如果把f(x,y)中的x换成y,y换成x后,f(x,y)的形式没有变化,就说f(x,y)具有轮换对称性。例如x2+y2有轮换对称性,而2x+3y没有轮换对称性(因为换完后是2y+3x,和原来的不一样)。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用,我们知道二重积分的积分区域的边界可以用方程f(x,y)=0表示,如果这里的f(x,y)具有轮换对称性,那么被积函数中的x和y互换后积分结果不变。例如x2dxdy,积分区域为圆周x2+y2=1,由于轮换对称性
5、可知x2dxdy=y2dxdy(这就是把被积函数中的x换成了y),因此积分=(1/2)2x2dxdy=(1/2)(x2+y2)dxdy,再用极坐标计算就简单多了。下面举几个例子:对称法就是利用区域和被积函数的对称性简化积分。在做题时,先考虑区域和被积函数有无对称性,有时一看就知道积分为零,有时可使积分化简。否则的话,就会把时间花在无谓的计算上,有时不仅仅“得不偿失”,而且往往是“有失无得”。利用区域和被积函数对称性简化积分的方法可以总结为: 设域D关于x轴对称,x轴上方部分为D1,下方为D2, 设域D关于y轴对称,y轴右边的部分为D1,左边的部分为D2, (4) 特例当积分区域是一矩形,被积函
6、数可以分离成只含x 的函数和只含y的函数相乘时二重积分可作两个定积分相乘。二 三重积分三重积分概念可以看作是二重积分概念的直接推广,它的计算也是化为累次积分,适当地选择变量代换可使三重积分容易计算。与前面二重积分情况相同,三重积分也可以应用对称法计算,即一般地,若区域D关于yoz平面对称,被积函数关于x 是奇函数,则三重积分必为零,类似地还可推出其它各种对称情况的三重积分。计算三重积分的一般步骤为:1画出空间域D的草图;2根据被积函数和积分域D选择适当的坐标和累次积分的次序,并将域 D用相应的双边不等式组表示; 3完成累次积分的计算。这里,画好图形是计算的关键,因为积分变量变化的范围就是从图形上看出来的,于是也就顺利地写出了积分限。其中柱坐标系中的定限化为平面直角坐标系的定限,球坐标中定限化为平面极坐标系的定限。可以说,三重积分的计算方法可由二重积分推广过来,不再累述。三
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