【全程复习方略】2013版高中数学 5.2等差数列配套课件 苏教版

1、第二节 等差数列,三年3考 高考指数:,1.等差数列的定义 (1)条件：一个数列从_起，每一项_它的前一项所 得的差都等于同一个常数. (2)公差：常数叫公差，用字母d表示. (3)定义表达式：_.,第二项,减去,an+1-an=d(nN*),判断下列数列是否为等差数列.(请在括号中填写“是”或 “否”) (1)数列0，0，0，0，0， ( ) (2)数列1，1，2，2，3，3， ( ) (3)数列 ( ) (4)数列a,2a,3a,4a， ( ),【即时应用】,【解析】(1)(4)中从第二项开始，每项与前一项的差为同一常数；而(2)(3)并不是同一常数，故(1)(4)为等差数列，(2)(3)

2、不是. 答案：(1)是 (2)否 (3)否 (4)是,2.等差数列的通项公式 若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=_.,a1+(n-1)d,(1)在等差数列an中，a5=10,a12=31,则数列的通项公式为_. (2)等差数列10，7，4，的第20项为_.,【即时应用】,【解析】(1)a5=a1+4d,a12=a1+11d, an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5. (2)由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得 a20=10+(20-1)(-3)=-47. 答案：(1)an=3n-5 (2)-47,3.等差中项 若a,A,b这三个数成等差数列，那

3、么A=_.A叫做a和b的 等差中项.,(1)请思考 是a，A，b成等差数列的_条件. (2)若等差数列an的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五 项为_.,【即时应用】,【解析】(1)若 可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以 a,A,b成等差数列；反之，若a,A,b成等差数列，则 故 是a，A，b成等差数列的充要条件. (2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即 解得a=0,故数列an的前三项依次为0，1，2，则a5=0+41=4. 答案：(1)充要 (2)4,4.等差数列的前n项和公式 (1)已知等差数列an的首项a1和末项an,则Sn=_. (2)已知等差数列an

4、的首项a1和公差d，则Sn=_.,(1)在等差数列an中，a1=5,an=95,n=10,则Sn=_. (2)在等差数列an中，a1=100,d=-2,n=50,则Sn=_. (3)在等差数列an中，d=2,n=15,an=-10,则Sn=_.,【即时应用】,【解析】 (3)由an=a1+(n-1)d得, -10=a1+(15-1)2,解得a1=-38, 答案：(1)500 (2)2 550 (3)-360,等差数列的基本运算 【方法点睛】 等差数列运算问题的通法 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.,【例1】(1)(2011广东

5、高考)等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=_. (2)(2011湖北高考)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升. (3)(2011福建高考)已知等差数列an中，a1=1,a3=-3. 求数列an的通项公式； 若数列an的前k项和Sk=-35，求k的值.,【解题指南】(1)根据S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k. (2)转化为关于a1,d的方程组，先求a1,d,再求a5，或直接转化为关于a5,d的方程组求解. (3)求出公差d后直接写出an，求出Sn

6、，根据Sk=-35求k的值.,【规范解答】(1)S4=S9, 由ak+a4=0，得 答案：10,(2)方法一：设自上第一节竹子容量为a1,依次类推，数列an为等差数列. 又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3, a7+a8+a9=3a1+21d=4. 解得,方法二：设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9,且 数列an为等差数列. a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 即4a5-10d=3 3a5+9d=4 联立解得 答案：,(3)设等差数列an的公差为d， 由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2. 从而an=1+(n-1)(-2)=3-2n. 由知an

7、=3-2n, 由Sk=-35得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5. 又kN*,故k=7.,【互动探究】本例(3)中，若将“a1=1,a3=-3”改为“a1=31,S10=S22”，试求 Sn; 这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值.,【解析】S10=a1+a2+a10, S22=a1+a2+a22，又S10=S22， a11+a12+a22=0， 即a11+a22=2a1+31d=0, 又a1=31,d=-2,方法一：由知Sn=32n-n2=-(n-16)2+256, 当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 方法二：由Sn=32n-n2=n(

8、32-n),欲使Sn有最大值，应有1n32, 从而 当且仅当n=32-n，即n=16时，Sn有最大值256.,【反思感悟】1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.,【变式备选】在等差数列an中， (1)已知a15=33,a45=153,求a66; (2)已知S8=48,S12=168,求a1和d； (3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.,【解析】(1)方法一：依题意条件得

9、 解方程组得 a66=-23+(66-1)4=237. 方法二：由 得 由an=am+(n-m)d,得 a66=a45+(66-45)4=237.,(2) 解方程组得,(3)a6=10,S5=5, 解方程组得 a8=a1+7d=-5+73=16; S8=8a1+28d=8(-5)+283 =44.,等差数列的判定 【方法点睛】 等差数列的判定方法 (1)定义法：对于n2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n3,nN*)成立；,(3)通项公式法：验证an=pn+q； (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 【提醒】等差数列主要的

10、判定方法是定义法和等差中项法.,【例2】已知数列an中， 数 列bn满足 (1)求证：数列bn是等差数列； (2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由. 【解题指南】利用定义法证明数列bn是等差数列；先求bn， 再求an,最后利用函数的单调性求最大项和最小项.,【规范解答】(1) 又 数列bn是以 为首项，以1为公差的等差数列.,(2)由(1)知 则 设 则f(x)在区间 上为 减函数. 当n=3时，an取得最小值-1，当n=4时，an取得最大值3.,【反思感悟】本例在用定义法证明bn是等差数列时，不管用bn+1-bn还是用bn-bn-1需要考虑运算中是否包含了b2-b1这一运算.这是容易

11、被忽视的问题.,【变式训练】1.已知数列an中，a1=-1,an+1an=an+1-an,则 数列an的通项公式为_. 2.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0(n2), 求证： 是等差数列.,【解析】1.an+1an=an+1-an， 数列 是公差为-1的等差数列，且 答案： 2.an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0(n2)， Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n2)， 又Sn0， 数列 是以2为首项，2为公差的等差数列.,等差数列的性质及应用 【方法点睛】 等差数列的常见性质 (1)若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak. (2)若a

12、n,bn都是等差数列，k,mR,数列kan+mbn仍为等 差数列. (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍为等差数列. (4)am-an=(m-n)d,(5)项数为偶数2n的等差数列an: S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1). S偶-S奇=nd, (6)项数为奇数(2n+1)的等差数列an: S2n+1=(2n+1)an+1.,【例3】(1)(2011辽宁高考)Sn为等差数列an的前n项和，S2=S6，a4=1,则a5=_. (2)(2012嘉兴模拟)已知等差数列an中，a1+a2+a3=40, a4+a5+a6=20,则前9项之和等于_. (3)设等差数列an的前n项和为S

13、n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n6),求数列an的项数及a9+a10.,【解题指南】(1)根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5. (2)根据S3,S6-S3,S9-S6成等差数列求解. (3)根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10. 【规范解答】(1)S2=S6， S6-S2=a3+a4+a5+a6=0， 2(a4+a5)=0,即a4+a5=0， a5=-a4=-1. 答案：-1,(2)设等差数列an的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S9-S6成等差数列， 且S3=40，S6-S3=20. S9-S6=20+(-20)=0， S9

14、=S6=60. 答案：60,(3)由题意知a1+a2+a6=36 an+an-1+an-2+an-5=180 +得 (a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216， a1+an=36, 又 18n=324,n=18. a1+a18=36,a9+a10=a1+a18=36.,【互动探究】若本例(1)题的条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值. 【解析】在本例中第(1)题已求解出a5=-1, 又a4=1,得公差d=-2,此等差数列的前4项和最大，即S4最大. 且S4=1+3+5+7=16.,【反思感悟】1.在等差数列an中，若m+n=p+q=2

15、k,则am+an =ap+aq=2ak是常用的性质，本例(1)(3)题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误. 2.本例(2)题也可先求a1,d,再求a7+a8+a9,但不如用性质简单.,【变式备选】等差数列an的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,求m的值. 【解析】am-1+am+1=2am, am-1+am+1-am2=2am-am2=0， 解得am=0或am=2. 又a1+a2m-1=2am, am0,am=2,2m-1=19,解得m=10.,【满分指导】等差数列主观题的规范解答 【典例】(14分)

16、(2012广州模拟)已知等差数列an满足： a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； (2)令 求数列bn的前n项和Tn.,【解题指南】分析题意知，对本题(1)可列方程组求解； (2)将an代入bn后，表示出bn是解题关键. 【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d， 因为a3=7，a5+a7=26，所以有 解得a1=3,d=2，4分,所以an=3+2(n-1)=2n+1, 7分 (2)由(1)知an=2n+1， 所以 9分 所以 即数列bn的前n项和 14分,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2012徐州模拟)已知等差数列an满足a3+a4+a6+a9=56,则 其前10项之和为_. 【解析】a3+a4+a6+a9=2a5+2a6=56, a5+a6=28, 答案：140,2.(2011大纲版全国卷改编)设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=_. 【解析】Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2+(2k+1)2=24， k=5. 答案：5,3.(2011天津高考)已知an为等差数列，S