空间直线及其方程 课件

1、上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,五、杂例,7.6,空间直线及其方程,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,分析：,点,M,在直线,L,上,?,点,M,同时在这两个平面上,?,点,M,的坐标同时满足这两个平面的方程,.,一、空间直线的一般方程,空间直线可以看作是两个平面的交线,.,设直线,L,是平面,?,1,和,?,2,的交线,平面的方程分别为,A,1,x,+,B,1,

2、y,+,C,1,z,+,D,1,=,0,和,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=,0,这就是空间直线的一般方程,.,来表示,.,那么直线,L,可以用方程组,?,?,?,=,+,+,+,=,+,+,+,0,0,2,2,2,2,1,1,1,1,D,z,C,y,B,x,A,D,z,C,y,B,x,A,.,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,二、空间直线的对称式方程与参数方程,如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫,做这条直线的方向向量,.,?,方向向量,直线上任一向量都平行于该直线的方向向量,.,当直线,

3、L,上一点,M,0,(,x,0,y,0,x,0,),和它的,一方向向量,s,=,(,m,n,p,),为已知时,直线,L,的位置就完全确定了,.,?,确定直线的条件,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,?,直线的对称式方程,求通过点,M,0,(,x,0,y,0,x,0,),方向向量为,s,=,(,m,n,p,),的直线的方,程,.,(,x,-,x,0,y,-,y,0,z,-,z,0,)/,s,从而有,这就是直线的方程,叫做直线的对称式方程,.,直线的任一方向向量,s,的坐标,m,、,n,、,p,叫做这直线的一,组,方向数,.,向量,

4、s,的方向余弦叫做该直线的,方向余弦,.,则从,M,0,到,M,的向量平行于方向向量,:,设,M,(,x,y,z,),为直线上的任一点,p,z,z,n,y,y,m,x,x,0,0,0,-,=,-,=,-,.,注,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,通过点,M,0,(,x,0,y,0,x,0,),方向向量为,s,=,(,m,n,p,),的直线方程,:,?,直线的参数方程,t,方,设,p,z,z,n,y,y,m,x,x,0,0,0,-,=,-,=,-,=,得,程,组,此方程组就是直线的参数方程,.,p,z,z,n,y,y,m,x,x,

5、0,0,0,-,=,-,=,-,.,?,?,?,?,?,+,=,+,=,+,=,pt,z,z,nt,y,y,m,t,x,x,0,0,0,.,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,n,1,=,(1,-,1,1),n,2,=,(2,1,1),平面,x,-,y,+,z,=,1,和,2,x,+,y,+,z,=4,的法线向量为,解,所求直线的方向向量为,例,1,用对称式方程及参数方程表示直线,.,?,?,?,=,+,+,=,+,-,4,2,1,z,y,x,z,y,x,k,j,i,k,j,i,n,n,s,3,2,1,1,2,1,1,1,2,1,

6、+,+,-,=,-,=,?,=,在方程组,中,令,y,=,0,?,?,?,=,+,+,=,+,-,4,2,1,z,y,x,z,y,x,得,?,?,?,=,+,=,+,4,2,1,z,x,z,x,解得,x,=,3,z,=-,2,.,于是点,(3,0,-,2),为所求直线上的点,.,所求直线的对称式方程为,3,2,1,2,3,+,=,=,-,-,z,y,x,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,n,1,=,(1,-,1,1),n,2,=,(2,1,1),平面,x,-,y,+,z,=,1,和,2,x,+,y,+,z,=4,的法线向量为,解

7、,所求直线的方向向量为,例,1,用对称式方程及参数方程表示直线,.,?,?,?,=,+,+,=,+,-,4,2,1,z,y,x,z,y,x,k,j,i,k,j,i,n,n,s,3,2,1,1,2,1,1,1,2,1,+,+,-,=,-,=,?,=,在方程组,中,令,y,=,0,?,?,?,=,+,+,=,+,-,4,2,1,z,y,x,z,y,x,得,?,?,?,=,+,=,+,4,2,1,z,x,z,x,解得,x,=,3,z,=-,2,.,于是点,(3,0,-,2),为所求直线上的点,.,所求直线的参数方程为,x,=,3,-,2,t,y,=,t,z,=-,2,+,3,t,.,上页,下页,返回

8、,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,三、两直线的夹角,两直线的方向向量的夹角,(,通常指锐角,),叫做两直线的夹,角,.,设直线,L,1,和,L,2,的方向向量分别为,s,1,=,(,m,1,n,1,p,1,),和,s,2,=,(,m,2,n,2,p,2,),那么,L,1,和,L,2,的夹角,j,满足,|,),cos(,|,cos,2,1,s,s,=,j,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,|,|,p,n,m,p,n,m,p,p,n,n,m,m,+,+,?,+,+,+,+,=,.,上页,下页,返回,退出,Jli

9、n Institute of Chemical Technology,方向向量分别为,(,m,1,n,1,p,1,),和,(,m,2,n,2,p,2,),的直线的夹角余弦,:,解,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,|,|,c,os,p,n,m,p,n,m,p,p,n,n,m,m,+,+,?,+,+,+,+,=,j,.,例,2,求直线,与直线,的夹角的余弦,.,?,?,?,=,+,-,=,-,+,-,0,2,3,0,9,3,3,5,z,y,x,z,y,x,?,?,?,=,-,+,+,=,+,-,+,0,18,8,3,0,23,2,2,z,y,x,z,y,x,

10、直线,与,?,?,?,=,+,-,=,-,+,-,0,2,3,0,9,3,3,5,z,y,x,z,y,x,?,?,?,=,-,+,+,=,+,-,+,0,18,8,3,0,23,2,2,z,y,x,z,y,x,的方向向量分别为,k,j,i,k,j,i,s,-,+,=,-,-,=,4,3,1,2,3,3,3,5,1,k,j,i,k,j,i,s,10,5,10,1,8,3,1,2,2,2,+,-,=,-,=,两直线之间的夹角的余弦为,0,10,),5,(,10,),1,(,4,3,10,),1,(,),5,(,4,10,3,|,|,|,|,),cos(,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,

11、1,=,+,-,+,-,+,+,?,-,+,-,?,+,?,=,?,?,=,s,s,s,s,s,s,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,?,两直线垂直与平行的条件,设有两直线,L,1,?,L,2,?,m,1,m,2,+,n,1,n,2,+,p,1,p,2,=,0,;,则,方向向量分别为,(,m,1,n,1,p,1,),和,(,m,2,n,2,p,2,),的直线的夹角余弦,:,:,2,L,1,1,1,1,1,1,1,p,z,z,n,y,y,m,x,x,-,=,-,=,-,L,:,2,2,2,2,2,2,p,z,z,n,y,y,m,x

12、,x,-,=,-,=,-,L,1,2,L,/,踼,2,1,2,1,2,1,p,p,n,n,m,m,=,=,.,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,|,|,c,os,p,n,m,p,n,m,p,p,n,n,m,m,+,+,?,+,+,+,+,=,j,.,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,提示：,四、直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线,的夹角,j,称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定,直线与平面的夹角为,90,?.,设直线的方向向量为,s,=,(,m,n,

13、p,),平,面的法线向量为,n,=,(,A,B,C,),则直线与平,面的夹角,j,满足,2,2,2,2,2,2,|,|,sin,p,n,m,C,B,A,Cp,Bn,Am,+,+,?,+,+,+,+,=,j,.,|,),(,2,|,n,s,-,=,?,j,|,),cos(,|,si,n,n,s,=,j,.,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,方向向量为,(,m,n,p,),的直线与法线向量为,(,A,B,C,),的平面,的夹角,j,满足,?,直线与平面垂直和平行的条件,设直线,L,的方向向量为,s,=,(,m,n,p,),平面,?,

14、的法线向量为,n,=,(,A,B,C,),则,L,/,?,?,Am,+,Bn,+,Cp,=,0,.,2,2,2,2,2,2,|,|,sin,p,n,m,C,B,A,Cp,Bn,Am,+,+,?,+,+,+,+,=,j,.,L,?,?,?,p,C,n,B,m,A,=,=,;,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,例,3,求过点,(1, -,2,4),且与平面,2,x,-,3,y,+,z,-,4,=,0,垂直的直线的,方程,.,平面的法线向量,(2, -,3,1),可以作为所求直线的方向向,量,.,由此可得所求直线的方程为,解,1,4,

15、3,2,2,1,-,=,-,+,=,-,z,y,x,.,设直线,L,的方向向量为,s,=,(,m,n,p,),平面,?,的法线向量为,n,=,(,A,B,C,),则,L,/,?,?,Am,+,Bn,+,Cp,=,0,.,L,?,?,?,p,C,n,B,m,A,=,=,;,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,五、杂例,解：,例,4,求过点,(1,2,1),而与两直线,?,?,?,=,-,+,-,=,+,-,+,0,1,0,1,2,z,y,x,z,y,x,和,?,?,?,=,+,-,=,+,-,0,0,2,z,y,x,z,y,x,平行

16、的平面的方程,.,直线,的方向向量为,?,?,?,=,-,+,-,=,+,-,+,0,1,0,1,2,z,y,x,z,y,x,k,j,i,k,j,i,s,3,2,1,1,1,1,2,1,),1,1,1,(,),1,2,1,(,1,-,-,=,-,-,=,-,?,-,=,直线,的方向向量为,?,?,?,=,+,-,=,+,-,0,0,2,z,y,x,z,y,x,k,j,k,j,i,s,-,-,=,-,-,=,-,?,-,=,1,1,1,1,1,2,),1,1,1,(,),1,1,2,(,2,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,五、杂

17、例,解：,例,4,求过点,(1,2,1),而与两直线,?,?,?,=,-,+,-,=,+,-,+,0,1,0,1,2,z,y,x,z,y,x,和,?,?,?,=,+,-,=,+,-,0,0,2,z,y,x,z,y,x,平行的平面的方程,.,所求平面的法线向量可取为,k,j,i,k,j,i,s,s,n,-,+,-,=,-,-,-,-,=,?,=,1,1,0,3,2,1,2,1,所求平面的方程为,-,(,x,-,1),+,(,y,-,2),-,(,z,-,1),=,0,即,x,-,y,+,z,=,0,.,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technolo

18、gy,x,=,2,+,t,y,=,3,+,t,z,=,4,+,2,t,代入平面方程中,得,2(2,+,t,),+,(3,+,t,),+,(4,+,2,t,),-,6,=,0,.,解上列方程,得,t,=-,1,.,将,t,=-,1,代入直线的参数方程,得所求交点的坐标为,x,=,1,y,=,2,z,=,2,.,解,所给直线的参数方程为,例,5,例,5,求,直,线,2,4,1,3,1,2,-,=,-,=,-,z,y,x,与,平,面,2,x,+,y,+,z,-,6,=,0,的,交,点,.,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,解,例,6,

19、的直线的方程,.,求过点,(,2,1,2,),且,与直线,2,4,1,3,1,2,-,=,-,=,-,z,y,x,垂直相交,所求直线的方向向量为,s,=,(1,2,2),-,(2,1,2),=,(,-,1,1,0),过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为,(,x,-,2),+,(,y,-,1),+,2(,z,-,2),=,0,即,x,+,y,+,2,z,=,7,.,此平面与已知直线的交点为,(1,2,2),.,提示：,求出两直线的交点是关键,而交点就是过已知点且与已,知直线相垂直的平面与已知直线的交点,.,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Tech

20、nology,解,例,6,的直线的方程,.,求过点,(,2,1,2,),且,与直线,2,4,1,3,1,2,-,=,-,=,-,z,y,x,垂直相交,所求直线的方向向量为,s,=,(1,2,2),-,(2,1,2),=,(,-,1,1,0),过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为,(,x,-,2),+,(,y,-,1),+,2(,z,-,2),=,0,即,x,+,y,+,2,z,=,7,.,此平面与已知直线的交点为,(1,2,2),.,所求直线的方程为,0,2,1,1,1,2,-,=,-,=,-,-,z,y,x,即,?,?,?,?,=,-,-,=,-,-,0,2,1,1,1,2,z,y,x,

21、.,?,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,因为,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例,所以对于任何一,个,l,值,上述方程的系数不全为零,从而它表示一个平面,.,分析：,对于不同的,l,值,所对应的平面也不同,而且这些平面都,通过直线,L,即这个方程表示通过直线,L,的一族平面,.,另一方面,任何通过直线,L,的平面也一定包含在上述通过,L,的平面族中,.,?,平面束,考虑三元一次方程,:,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,+,l,(,A,2,x,+,B,2,y,+,

22、C,2,z,+,D,2,),=,0,即,(,A,1,+,l,A,2,),x,+,(,B,1,+,l,B,2,),y,+,(,C,1,+,l,C,1,),z,+,D,1,+,l,D,2,=,0,其中,l,为任意常数,.,其中系数,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例,.,设直线,L,的一般方程为,?,?,?,=,+,+,+,=,+,+,+,0,0,2,2,2,2,1,1,1,1,D,z,C,y,B,x,A,D,z,C,y,B,x,A,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,上述方程表示通过定直线,

23、L,的所有平面的全体,称为平面,束,.,?,平面束,考虑三元一次方程,:,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,+,l,(,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,),=,0,即,(,A,1,+,l,A,2,),x,+,(,B,1,+,l,B,2,),y,+,(,C,1,+,l,C,1,),z,+,D,1,+,l,D,2,=,0,其中,l,为任意常数,.,其中系数,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例,.,设直线,L,的一般方程为,?,?,?,=,+,+,+,=,+,+,+,0,0,2,2,2,2,1,1,1,1,D,z,C,y,B,x,A,D,z,C,y,B,x,A,上页,下页,返回,退出,Jlin Institute of Chemical Technology,提示,我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂,直的平面,此平面与已知平面的交线就是所求的投影直线,.,：,这是平面束的法线向量,(1,+,l,1,-,l,-,1,+,l,),与已知平面的法,线向量,(1, 1, 1),的数量积,.,(,x,+,y,-,z,-,1),+,l,(,x,-,y,+,z,+,1),=,0,即,(1,+,l,),x,+,(1,-,l,),y,+,(,-,1,+,l,),z,+,(,-,1,+,