定积分在生活中的应用

1、. PINGDINGSHAN UNIVERSITY院 系 : 经济与管理学院 题 目 : 定积分在生活中的应用 年级专业 : 11级市场营销班 学生姓名 : 孙 天 鹏 定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数在区间上有界.在中任意插入若干个分点,把区间分成个小区间且各个小区间

2、的长度依次为， ，。在每个小区间上任取一点，作函数与小区间长度的乘积（），作出和 。记作极限如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即=, 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。2定积分的性质设函数和在上都可积，是常数，则和+都可积，并且性质1 =;性质2 =+=-.性质3 定积分对于积分区间的可加性设在区间上可积，且，和都是区间内的点，则不论，和的相对位置如何，都有=+。性质 4 如果在区间上1，则=。性质 5 如果在区间上,则。性质 6 如果

3、在上,则性质 7（定积分中值定理）如果在上连续，则在上至少存一点使得 3定理定理1 微积分基本定理如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是 =.定理 2 原函数存在定理如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数.定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则 = 称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.二 、定积分的应用1、定积分在几何中的应用（1）设连续函数和满足条件，求曲线，及直线所围成的平面图形的面积（如图1）解法步骤： 第一步：在区间上任取一小区间，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以为高，以为底的矩形面积近似，于是第二步：在区间上将无限求和，得到.图2

4、 （2）上面所诉方法是以为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线、其中与直线、所围成的平面图形（图2）的面积为：例1 求由曲线，及直线，所围成图形的面积A解 （1）作出图形，如图所示 易知，在上，曲线与的交点为；（2）取为积分变量，积分区间为从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；（3）区间上这一部分的面积和区间上这一部分的面积分别为， ，所以，所求图形的面积为=+例2 求椭圆的面积.解椭圆关于轴,轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即 利用椭圆的参数方程 应用定积分的换元法,且当时,时,于是2求旋转体体积用类似求

5、平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割划分成许多基本的小块，每一块的厚度为，假设每一个基本的小块横切面积为，为上连续函数，则此小块的体积大约是，将所有的小块加起来，令，我们可以得到其体积： 。例2 求由曲线, 直线 ,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕轴旋转，所以取为积分变量，的变化区间为1,4，相应于1，4上任取一子区间,+的小窄条，绕轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为，底面积为的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为 =, 于是，体积 =1616=12.3.求曲线的弧长（1）设曲线在上有一阶连续导数（如下图）,利用微元

6、法，取为积分变量，在上任取小区间，切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度，即.得弧长微元为：,再对其积分，则曲线的弧长为：（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线上一段的弧长.这时弧长微元为：即则曲线的弧长为 例3 (1)求曲线 上从0到3一段弧的长度解 由公式 = （ ）知,弧长为=.(2)求摆线 在上的一段弧的长度（）解 取为积分变量，积分区间为由摆线的参数方程，得， 于是，由公式（16-13），在上的一段弧的长度为 2、定积分在经济中的应用（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量的变动区间上的改变量（增量）就等于它们各自边际

7、在区间上的定积分： （1） （2） （3）例1 已知某商品边际收入为（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量从250t增加到300t时销售收入，总成本C，利润的改变量（增量）。解 首先求边际利润所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：=150万元=250万元=100万元（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为，则称 为该经济函数在时间间隔内的平均变化率。例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间（单位：年）的函数：求它在开始2年，即时间间隔0，2内的平均利息率。解 由于所以开始2年的平均利息率为 例3 某公司运行（年）所获利润为（元）利润的年

8、变化率为（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔3，8内年平均变化率解 由于所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利元。（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在（年）时的收入为（万元），年利率为，即贴现率是，则应用定积分计算，该项目在时间区间上总贴现值的增量为。设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为（万元）年利率为，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。例4 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年

9、收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。解 这里，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为 令 =1000，即得该工程回收期为 =6.39（年）3、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分，即 例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示求汽车在这1 min 行驶的路程解：由速度一时间曲线可知：因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .总结：从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定积分来解决其他学科中的