杆件的横截面应力.ppt

1、第四章 杆件的横截面应力,4-1 平面图形的几何性质,杆件承载能力除与其材料性能 , 加载方式和尺寸 有关外 , 还与杆件截面的几何形状有关,一、静矩和形心 微面积 dA 乘以坐标 z 称为dA对y轴的静矩: 同样，dA对 z 轴的静矩为: 平面图形 A 对两坐标轴的静矩为,静矩是可加的, 即,利用计算均质板形心的公式, 可知计算几何图形形心的公式,C点是平面图形A的形心的充分必要条件： 平面图形A对过C点任意方向轴的静矩为零。 SzC=0；SyC=0,根据静矩定义和静矩的可加性，为了简化复杂图形的形心计算，可以将复杂图形A分为Ai ，i=1,2,n，则,这种方法称为组合法,例1： 求抛物线

2、z =hy2/b2下方面积的形心。 解,例2： 求图示面积的形心。 解,二、惯性矩 , 惯性积和惯性半径,微面积元dA乘以坐标z的平方称dA对y轴的惯性矩 同样， dA对z轴的惯性矩为 dA对O点的极惯性矩为 平面图形A对两坐标轴的惯性矩 和对O点的极惯性矩分别为: 惯性半径定义为,微面积元 dA 乘以 yz 称 dA 对 yOz 轴系的惯性积： 平面图形A对坐标轴系的惯性积为 惯性积反映平面图形对坐标轴系 的对称性,以上讨论都与转动惯量的计算方法相似,例 4-3 求矩形对边轴和形心轴的惯性矩。 解,例 4：求圆对形心轴的惯性矩和极惯性矩。 解,三、 平行移轴公式,研究平面图形对两组相平行的轴

3、系的惯性矩、惯性积之间的关系。首先根据坐标平移公式,取O1点为平面图形的形心， 且SyC=SzC=0，可得 对于惯性积，用同样结果可以得到,针对形心轴系的平行移轴公式,以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似,例5：求图形对形心轴和y、z轴的惯性矩。 解,四、 转轴公式,研究将坐标系逆时针旋转角时，平面图形A的惯性矩 和惯性积在新、老轴系之间的变化规律。 坐标旋转公式,转轴公式的推导,平面图形A对旋转后的y1轴的惯性矩,平面图形A对旋转后的z1轴的惯性矩,平面图形A对新轴系的惯性积： 经整理后,由前面的推导，可以得到,平面图形A对过O点任意方向轴的惯性矩之最大、最小值 极值条件： 惯性主

4、方向： 惯性主轴： 平面图形A对过O点沿惯性主方向的轴称惯性主轴。 对称轴是惯性主轴，和该主轴垂直的轴也是惯性主轴,主惯性矩： 是平面图形A对过O点惯性主轴的惯性矩；也是平面图形 A对过O点各轴惯性矩的极大、极小值。 过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴（形心主惯性轴）。 过图形上的任何一个点，都可以找到一对相互垂直的惯性主 轴,一. 应力 即：单位截面积上作用着的内力 平均应力： 一点处的应力： - 正应力；切应力,4-2 应力与应变的概念,应力的量纲：FL-2， 单位：MPa = 106N/m2。 二. 应变 概念: 弹性变形; 塑性变形 应变: 描述变形的剧烈程度. 应变分为线(正)应变和切

5、应变. 平均线应变 线应变 切应变表示材料内部两正交线段在变形后的角度变化. 或: 切应变是直角的改变量,三. 简单的应力-应变关系 1. 胡克定律 E-弹性模量, 单位: GPa 1 GPa=10 9 Pa 2. 波松比 杆件在轴向伸长时其横向同时缩短 - 波松比 /- 横向线应变 3. 剪切胡克定律 4. E G 三者之间的关系,4-3 轴力与弯矩所引起的应力,一. 轴力在横截面引起的应力,当杆段发生伸长、缩短时，其横截面仍为平面，仍垂直于轴线，无任何转动，杆的横截面面积发生变化,在杆件横截面上变形均匀。根据对材料的连续性假设，在杆件横截面上内力均匀分布，即杆件在拉压时横截面上仅有正应力，

6、且在横截面上均匀分布,例4-6： 如图杆件，已知qx， 试求杆件中的最大应力。 解： 先作杆件的轴力图. 可以发现，FN的最大值 出现在杆的两端. 故最大应 力也出现在杆的两端,斜截面上的应力,拉压杆任一斜截面上的应力也是均匀分布的： 正应力和切应力： 最大切应力,一点的应力状态：过该点所有方向的截面上的正、 切应力的总和。一般用微单元体来描述,弯矩在横截面引起的应力 1. 纯弯曲和平面假设 纯弯曲：杆件的横截面上只有弯矩，无其它内力。 平面假设：梁在变形后，横截面仍然保持为平面，仍垂直于变形后的轴线，绕中性轴发生转动,中性轴和中性层： 梁在变形后，横截面上一部分材料受拉，另一部分材料 受压，

7、两部分的界线为一直线，称中性轴。各截面的中性轴 连成中性层。中性层上无伸长、缩短变形（既不受拉也不受 压,纵向纤维互不挤压假设： 梁中各平行于轴线的纵向截面上无正应力,2. 纯弯曲梁的弯曲正应力,变形几何关系,物理关系（应力应变关系,应用胡克定律得,静力学关系,由 轴力为零,结论：在纯弯曲时，中性轴过形心,由 正应力的合成结果是弯矩,由 (1)(2)(3)式，得纯弯曲梁横截面正应力的计算公式,3、横力弯曲时的正应力,在截面上一般FS和M都非零。严格地讲，由于FS的作用，横力弯曲时平面假设不能成立。但对于细长梁来说，由此引入的误差很小，故认为， FS引起的横截面翘曲对变形几何关系的影响较小。 在横力弯曲时，纵向纤维互不挤压的假设也不能成立。但因为在绝大多数情况下，纵截面上的正应力不大，因此对变形几何关系的影响较小。 总之：在横力弯曲时，