量子力学的矩阵形式及表示理论

1、第六章量子力学的矩阵形式及表示理论1第六章目录6.1 量子体系状态的表示36.2 Dirac符号介绍4（ 1）量子态、 Ket 矢， Bra 矢（ Bracket ） . 5（2）标积5（3）算符及其表示 .7（4）不可约张量算符的矩阵元计算简介.12（5）投影算符 156.3表象变换，幺正变换 .17（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系.17（2）两表象的基矢之间关系 .18（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系. 18（4）幺正变换 196.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式 . .20（1） 平均值（2）本征方程2021（3） 薛定谔方程256.5 量子态的不同描述26（

2、1）薛定谔绘景27（2）海森堡绘景282第六章量子力学的矩阵形式及表示理论6.1 量子体系状态的表示现在来讨论 体系状态的“坐标”状态表示如果有一组力学量M? 构成一力学量完全集，其共同本征函数构成一正交，归一和完备组，并有封闭性。m ,nmnm (r ) *m (r )(rr )m于是，任一波函数(r )(r r )(r)drmm (r) m* (r ) (r )drmm (r )am 。a*(r )(r )dr(m,)mm2? 取值为m的几率（若(r )是归一化的）。am是在(r ) 中测得力学量 M显然，当选定一组力学量完全集?后，则集合am是与(r ) 完全等价的，它M完全确定了体系的

3、状态。我们将会看到，am 与(r ) 一样，提供给我们同样多的信息。状态表示的定义 ：若力学量的完全集?的共同本征函数组为m，则 am (m , )M的全体 a，被称为体系所处态?表象中的表示， 也可以看作态矢量在在 Mmm作为基矢所张的“坐标系”中的“坐标”。事实上，(r )正是体系所处状态在r表象中的表示。因我们知r? 本征函数为(r r )r(r ) ，它是力学量 (x,y,z) 的共同本征函数，它当然形成一组正交，归一和完备组。对于任何一个态，都能按它展开( r )*r ( r ) ( r) dr( r ,)ar。所以，(r ) 是状态在 r 表象中相应本征值为r 的表示。( r )

4、2 dr 为测量粒子3在 rr dr 中的几率。通常体系处于某状态，即认为被态矢量描述。对于分立谱：则?am，可以用一单列矩阵表示在 M 表示中的表示a1a a2。而归一化 ( , )a* (r)ann(r)dra2n,mmmmm(a1*a*2a1) a2a a 1对于连续谱：则在? 表象中的表示ak，它是 k 的函数K( , )a*k*k (r )ak k (r )dkdk dra*k ak(kk )dkdkak 2dk1 6.2 Dirac 符号介绍上节看到一个态矢量可由一组数am 表示。但在表示（或计算）am 时，其实已用到态矢量在 r 表象中的表示及在r 表象中的共同本征矢的表示。(r

5、 )( r , )(rr ) (r )drm (r ) ( r , m )(r r ) m (r )dr而amm* (r ) (r )dr 。事实上，一个描述体系所处的状态， 并不需要依赖于某一表象。而仅在计算时，要在一个具体表象中进行。所以 Dirac 建议用一抽象的符号来描述体系所处的状态。它现在已广泛用于量子力学或文献中。它的优点在于表述简明，运算方便，而与具体表象无关。4（1）量子态、 Ket 矢， Bra 矢（ Bracket ）量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢量，我们称为Ket矢，以表示。为使它可代表不同Ket 矢，则在这表示中给出特征标志符号。?N，则本征矢可表为N

6、 。如态矢量是 N 的本征矢，它的本征值为例如，在中心力场中能量的本征波函数为un lm (r ) ，我们可表示它为rnr lm，它是( H ,L, L z )的共同本征函数。? ?2?H nr lmE nr l nr lm?2nr lml(l 1)2nr lmL?nr lmm nr lmL z在这里并未与具体表象相联系，而仅表示是(H ,L,L z )具有本征值为? ?2?Enr l ,l(l )2,m的共同本征矢。1当然，对于任何一个线性空间，都存在一个共轭空间，在这个共轭空间中的态矢量我们可以以符号来表示，称为Bra 矢，如 N ， nlm 等。（2）标积有了态矢量Ket 矢和 Bra

7、矢后。我们可定义两个矢量的标积A. 标积定义：矢量m 和矢量 n 的标积为一数，它表示为m nmn( m ,n )它对 n 是线性的，对m 是反线性的；如果两矢量的标积为0，则称这两矢量是正交的。如果矢量的标积为1，则称该矢量是归一的；而m n *n mB 基矢的正交、归一、完备和封闭性。态矢量的表示?n ，相应本征值为N n ，这就是 N若力学量 N形成一完全集， 其共同本征态记为表示的基矢，它是正交、归一和完备的。正交，归一：n nnn(或 c c(cc ) ；5对任一空间态矢量，可表为完备性：n an( ) 。nan( ) 称为态矢量在 N 表象中的表示a(n )封闭性：nnn n。由于

8、是任意的态矢量，所以n nI 。对于连续谱，则为dIn若在 x 表象中，的表示即为x(x) 。若就是 N 表象的本征矢n ，那在自身表象中的表示a(nn )n n00n na(nn)1第n行( n1,2,)00N 表象中的基矢在x 表象中的表示即为x nn (x) ，而 n x 代表 x 表象中的基矢（本征值为x ）在 N 表象中的表示n xx (n) x n *n* (x) （注意这时量子数为n ）这样，在坐标表象中，本征函数组，即基矢的正交、归一，完备和封闭性就易于理解。正交、归一： n nn I nn x dx x nn* (x)n (x)dxnn6完备性：nn，所以， xx n n ，

9、即nn(x)n ( x)an( )n而an( )nn x dx x*n ( x)(x)dx 。封闭性 ：nnn即x n n xx x 。所以nn (x) *n (x )(x x ) 。n它也是n*x (n)x (n)(x x ) ，即位置算符 x?的本征态以它在N 表象中的表示来示出归一化。所以说， N 表象的本征态在坐标表象中的表示的封闭性，就是坐标表象的本征态在 N 表象中的表示的正交、归一性。而二个矢量的标积n nna*nbnna bx dx x* (x)(x)dx（ 3）算符及其表示A. 算符的自然展开 ：在量子力学中，可观测力学量以厄密算符表示，其本征方程为?L L nL n L n

10、或L LL L于是有?L nLL L nnL n L nL nn由于是任意态，所以有7?L n L n L nLn或?L L L dLL事实上，这即定义了一个算符?L ，或称为算符L 的自然展开。B. 算符的表示?算符 L 是将一态矢量变为另一态矢量R?L NA设： ? 是一力学量完全集，其正交，归一，完备组基矢为n则nR?mm Nn Lmn R 和m N分别是态矢量R ， N? 表象中表示。在 A而?m 是将态矢量N 表示变到态矢量R?n L表示，所以它起到 L算符同样的作用。?m?在 ?表象中矩阵表示。n L的全体称为算符 LA显然，计算表示与在那一个表象中来计算是无关的。在r表象中计算：

11、态矢量和算符在A? 表象中的表示和矩阵元若R?L NnRn r dr r RV* (r )R(r )drn(Vn ,R )aRn同理m NV *m(r )N(r )dr (Vm, N ) bNmaR?m bNnm( L )nm而?mn Lmn r dr r L r dr rV*?V m(r)drdrn(r )(L )r r8?(L )rrr L rnr L nL n L n run (r )L n u*n (r )n?)un*(r )L (r , i(r )unn?i) (rr )L (r ,?mV*?i)Vm (r )dr代入得n Ln (r )L (r,?(L ) n mArr RrL r

12、dr rN，则有若? 算符即为 ?算符，即?R (r )?)(rr )N (r )drL (r , i?i) N (r )L (r ,L (r , i) 为力学量 Lr表象中的算符。?在事实上，矩阵L nm? 表象中的本征态，m?算符作用描述了 A, 在 L下，所得到的新的态矢量在?A表象中的表示。?mn?n L nmLnn L mn即?m1L 1m2 L 2m3 L 3mL?m?这表明， A 表象中的基矢在 L 作用下所产生的新的态矢量在A 表象中的表示。正是LAm列元素集合。? 算符在? 表象中矩阵表示的第?于是，我们求算符L 在某表象中的矩阵表示，只要将它作用于该表象的基矢上，并将新的态

13、矢量在该表象中展开，?L?L?L11 L112L 213 L 3121 L 122L 223 L 3231 L 132L 233 L 339L 11L 21L11L 12将其系数矩阵 L 12L 22转置为 L 21L 22?即得 L 在 A 表象中的矩阵表示显然，算符在其自身表象中的表示可由方程组?111A?222A?333A100020转置得到。的系数矩阵0030所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。例 1，求动量算符?在一维谐振子势的能量表象中的矩阵表示Px?nn 1n 1 )解： 由于i (n 1Px n22?0i1Px(1 )2?1i102Px(2 )22?2i213Px(3 )220

14、10212系数矩阵为i022。2002转置（或取复共轭） ，得10010212i0220202?例 2：求算符 H 的矩阵，则由?1)nH n (n21002300 矩阵为250002相应本征值为1， 1,1222100010,001例 3： 给出方程( x)x (x)? 表象中的表示式在 PxPxPxx?bP?Px x Px dPx Pxx?aPx dPx(x) Px Px?Px x x x Px dx(x) P PxPx x PxxeiPx x xei Px x1 dx2i 1ei ( Px Px ) x dxPx 211i (Px Px )Pxi (Px Px )Pxbpxiapxpx并

15、由此可推论，由于是任意态，所以在Px 表象中，算符 x?的形式为 i。Px（ 4）不可约张量算符的矩阵元计算简介A. 不可约张量算符的 G. Racah 定义若 TLM 满足以下的对易关系J , TLM(L M )( L M 1) 1 2 TLM 1Jz ,TLMMT LM则称 TLM 为 L 秩不可约张量算符。它在空间转动下的变换为B. Wigner Eckary 定理维格纳 - 埃伽定理：矩阵元j m TLM jm 与投影量子数的关系完全包含在C G 系数中j m TLMjmjL j m jmLMj TL j证：由j m J z ,TLM jmM j m TLM jm于是有 (mmM )

16、j m TLMjm 0 ，它是表示投影量子数的守恒规则。由j m J T LM jmj mTLM J jm ( L M )( L M 1)1 2 j m TLM 1 jm得( jm )( jm1)1 2 j m1 TLMjm( jm)( jm1)1 2 j m TLMjm112(L M )( L M 1)1 2 j m T1jm（ 1）LM根据投影量子数守恒知，仅当mMm1矩阵元才不为零。我们知j mm ,MjmLMjm ,LMjL j m将算符?作用于方程两边，得JjL( j m )( j m 1)1 2 j m 1( jm)( jm1)1 2 jm1LMjm , LM jL j mm ,M

17、( LM )(LM1)1 2jmLM1 jm , LM jL j mm ,M于是有( j m )( jm1)1 2jLj Lj m 1,( j1)( j)1 2 jLj1,LjL j mm ,M(L1)(L)1 2 jLj , L1 jL j mm ,M以 jm LM 标积方程两边，得( jm )( j m 1)1 2 jmLMj m1( jm1)( jm )1 2jm 1, LM jL j m(LM1)(LM )1 2jm, LM1 jL j m与 (1) 式比较，可见TLM矩阵元随投影量子数的变化与C G 系数的变化是完全一样的。于是有j m TLMjmjL j mjmLMj TL jC.

18、 一秩张量的投影定理j m T1Mj m J M ( J T1 ) jmj j m M mjm1)j( j证：由于T1M 为一秩不可约张量算符，所以J , T1M(1M )( 2M ) 1 2 T1M 113J z , T1MMT 1M从而得Jx , T1yiT1zJ y , T1xiT 1zJz , T1xiT1yJ z , T1yiT1x现求J2, T1xJ2, TJJ,T1xJ, T1xJ1xiJ y T1ziJ zT1yiT1yJ ziT1zJ y2iJ zT1y2iJ y T1z 2T1xJ2, TJJ,T1yJ, T1yJ1yiJ x T1ziJ zT1xiT 1z JxiT1xJ

19、 zJ2 , TJJ, T1zJ,T1zJ1ziJ y T1x iJ x T1yiT1x Jy iT1y J x J 2 , J 2 , T1x2JzJxT1zJ2T1xJTJxJzT1xJzzz 1zJ2T1xJyJ TJyT JyJyT Jx 2 J2 ,T1xyx 1y1x1y2iJ z T1y2Jz2 T1x2J z T1z J xi J zT1y2J2T1xi JTi JyT1z2JyT1yJx 2 J2, Tyy 1z1x22(Jx2J y2J z2 )T1x2( Jx T1xJ yT1yJ z T1z )Jx2J x2 T1x 2JxT1x Jx 2 J2 , T1x4 J 2T

20、1x(J T )Jx 2J2 ,T1 x 4 j m J2T1x jm 4 j m (J T)Jx jm 2 j m J2 , T1 x jm 0 即j m T1x jmj m J x (JT1 ) jmj jj( j1)同理有14j m T1yj mJ y (JT1 ) jmjmj(j1)j jj m T1zj mJ z ( JT1 ) jmjmj(j1)j j从而有j m T1Mj m JM (JT1 ) jmj j m M mjm1)j( j（ 5）投影算符这里简单介绍一下投影算符，它是一极有用的工具，涉及一系列概念：子空间， 子空间正交系等等，这里仅给出最简单的定义。A定义 ：若厄密算

21、符具体看一个例子。若?2?P 有性质PP ，则称该算符为投影算符。?n（ n nL n L nnnnnnn nI）n?Pnn?Pnn n就是一投影算符。事实上，?( n n )( n ) ( n )n nPn?2n n nnPnn n?Pn它将任何一个态的某部分抛投出来，而态的这部分恰恰是?Ln 本征L 的本征值为态。?n nPnnn（或者说，?将空间所有态都投入到态n 上）Pn15n 0显然 ?n n也是一投影算符。Pnn0它将任一态中相应于本征值为L n0 L n 0所相应的本征态分量抛投出来。也可说，将所有的态都投入到这样一些态的子空间中，成为这些态的线性组合。?n0nnPn0但可以证明

22、n0?Pan n nn0就不是投影算符（若an 不全为 1）B.任何投影算符的本征值都是0 和 1P ?若 是 P 的本征态，本征值为 P , 则?P PP P?2PP2P?P PPP P( P2P) P0P 不是零矢量，P2P0P 0 或 1而任何一个态矢量都可以按?的基矢展开P(1?PP)(1?P)P由?2)0P(1P)( PP所以，若 (1?不是零矢量，那它是?P)P 的本征值为零的本征矢。当然，若(1?0，那? 的本征值为 1 的本征矢。P)就是 P由? ?)?2?)P(PP( PP不是零矢量，那它是P1 的本征矢。当然，若所以，若 ?的本征值为?0，P16那?0 的本征态。就是 P

23、的本征值为若?都不是零矢量，那?和(1?P， (1 P)PP) 是正交的。?20P (1P)PP6.3 表象变换，幺正变换（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系对于态?在 F 表象中，其表示为fnafn?f n f nfn fnF fnn即f n afnn?在另一表象 G 中其表示为bgmgm于是，af nfnf n gmgmmSf ngm bgmmSf g是将态矢量在 F 表象中的表示，变换到G 表象中表示的变换， （或 F 表象中的表示nm以 G 表象中的表示来表出）写成矩阵形式a1S11S12b1a 2S21S22b 2即aFSbG在 F 表象中表示f g?在 G 表象中表示S 矩阵的

24、矩阵元正是?F 表象基矢与 G 表象基矢的标积， 其第 l 列，是 G 算符的第 l 个基矢在 F 表象中的表示。17(SS )f nf nSfn gm Sgm f nfn gm gm fnfn f nf nf nmm(S S) gm gmgm fn fn gmgm gmgm gmn?因此， S 是一个幺正算符。 同一态矢量在不同表象中的表示之间是通过一个幺正变换联系起来的。（ 2）两表象的基矢之间关系f ngmgm fnmgm Sgmfnm所以，基矢的变换是经S 来实现Sf*1 g1Sf* 2g1f1 , f2 ,g1 , g2 ,S*f1 g2S*f 2g2A g1f 1A g1 f 2g

25、1 , g2 ,A g 2 f1 A g2 f 2A gmfnf n gm*gmfnSf*ngm .（ 3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系与态矢量一样， 在不同表象中， 力学量的矩阵表示是不同的 . 它们之间的关系也是幺正变换（即由幺正算符进行相似变换）?对于算符 L 在 F 表象中的矩阵表示为?gm f nfn L f nfn gm gm L gmm ,mSf g?(S )gf(L )g gmnm ,mn mmm即?f?GSLSLSfngmfngm总结：F 表象G 表象对同一波函数在不同表象中表示af nbgm18则af nSfngm bgmgm基矢fn ( r )gm (r )(S) gm fnm力学量?fn?(S )gm f nL f nfnL fnSf n gm L gm gmgm gm（ 4）幺正变换U? 1LU对某一力学量设： ? 是一线性算符，有逆算符? 进行相似变换得? ? ? 1? ? ?LUL U即 L UUL? ? 同样的本征值A 对每一算符 L 有与 L?L nL n n? ? ? 1 ?UL UU nL nU n?L ( U n ) L n (U n )?L n?L 与 L有同样的本征值，而本征函数为 U n例：?m m