13.5 3 角平分线

1、 13.5 逆命题与互逆定理 3.角平分线学习目标：1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.（重点）2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.（难点）自主学习一、知识链接我们知道角是轴对称图形，它的对称轴就是角平分线所在的直线，试着在下图中画出ABC的对称轴BD.二、新知预习在上图的BD上取一点H，点H在ABC的内部，作HEAB，HFBC，求证：HE=HF.合作探究一、探究过程探究点1：角平分线的性质定理问题 根据上述的作图及证明，你认为过角平分线上一点向角的两边作垂线，这两条垂线有什么关系？【要点归纳】角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离 _ .例1 如图，D

2、是ABC外角ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F求证：CECF例2 如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6 B5 C4 D3【方法总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法【针对训练】如图，OP是MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CAON交OP于点C，连接BC，AB10cm，CA4cm则OBC的面积为 cm2探究点2：角平分线的性质定理的逆定理问题 写出角平分线性质定理的逆命题，它是真命题还是假命题？【要点归纳】角平分

3、线的性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的 上.例3 如图，BECF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC，求证：AD是BAC的平分线【方法总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是利用角平分线的性质定理的逆定理【针对训练】如图，已知ABC的ABC和ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是BAC的平分线（提示：作辅助线如图所示）二、课堂小结内容角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等.如果点P在AOB的平分线上，且PDOA于点D，PEOB于点E，那么PD_角平分线性质定理的逆定理角的内部到角的两边距离_的点在角的平分

4、线上 如果点P为AOB内一点，PDOA于点D，PEOB于点E，且PDPE，那么点P在AOB的平分线上. 第 6 页 共 6 页当堂检测1.如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F， 且DE =DF， EDB= 60，则 EBF=_度，BE=_ . 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在ABC中, C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是_.3.如图，已知ABC的周长是21，BO，CO分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=4，ABC的面积是_4.如图，BC90，M是BC的中点，DM平分ADC，且ADC110，则MAB 5.如图，ABC中，ABAC

5、，AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F下面给出四个结论，DA平分EDF；AEAF；AD上的点到B、C两点的距离相等；到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等其中正确的结论有()A1个 B2个 C3个 D4个6.如图，点B，C分别在A的两边上，点D是A内一点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且ABAC，DEDF求证：BDCD参考答案自主学习一、知识链接 解：对称轴如下图所示：二、新知预习证明：由作图知BD平分ABC，FBH=EBH，EHAB，HFBC，BEH=BFH，BH=BH，BEHBFH，EH=FH.合作探究 一、探究过程 探究点1 【要点归纳】相等例1 证明：CD是ACG的平分线，DEAC，DFCG，DEDF.在RtCDE和RtCDF中，RtCDERtCDF（HL），CECF例2 D【针对训练】20探究点2 【要点归纳】平分线例3 证明：DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，BED=CFD=90在RtBDE和RtCDF中，RtBDERtCDF（HL），DE=DF，AD是BAC的平分线【针对训练】证明：分别过D作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，BD平分CBE，DEBE，DFBC，DEDF同理DGDF，DEDG，点D在EAG平分线上，AD是BAC的平分线二、课堂小结 PE