河北省张家口市沧州市2019届高三数学3月联考试题A理含解析

1、张家口市、沧州市2019届高三3月模拟联考数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（）A. x|x0B. x|x0C. x|1xD. x|1x【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，然后再求出，进而可得【详解】由题意得，故选B【点睛】本题以指数不等式为载体考查集合的运算，解题的关键是正确求出集合和集合，属于基础题2.复数z=(1+2i)2i+2，则z=（ ）A. 5B. 5C. 553D. 295【答案】A【解析】【分析】由复数模的运算法则可知|z|=|1+2i|2|i+2|，据此确定复数的模

2、即可.【详解】由复数模的运算法则可得：|z|=|1+2i|2|i+2|=(5)25=5.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的模的运算法则及其应用，属于基础题.3.随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来.为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包括老、中、青三个年龄段的1500人中采取分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（ ）A. 490B. 390C. 1110D.

3、410【答案】B【解析】【分析】由题意可知老年人所占的比例为134%40%=26%，据此求解老年人的人数即可.【详解】由题意结合分层抽样的定义可知，这个群体里老年人人数为1500(134%40%)=150026%=390.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查统计图表的识别与应用，属于基础题.4.已知直线a，b和平面，a，则b是b与a异面的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或b，充分性不成立，反之，若b与a异面，一定有直线b不在平面内，据此即可得到正确的结论.【详解】由题意，若直线b

4、不在平面内，则b与相交或b，不一定有b与a异面，反之，若b与a异面，一定有直线b不在平面内，即b是b与a异面的必要不充分条件.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查线面关系有关命题及其应用，充分必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.若x,y变量满足3x+4y20,xy+20,y+10,则使z=x+2y取得最小值的最优解为（ ）A. (3,1)B. 67,87C. (2,1)D. 87,67【答案】C【解析】【分析】首先绘制不等式组表示的平面区域如图所示，然后结合目标函数的几何意义确定使z=x+2y取得最小值的最优解即可【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数

5、即：y=12x+12z，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：3x+4y2=0y+1=0，可得点的坐标为：B2,1.本题选择C选项.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6.在ABC中，O为ABC的重心.若BO=AB+AC，则2=（ ）A. 12B. 1C. 43D. 43【答案】D【解析】【分析】由题意可得：BO=2312(

6、BA+BC)=13BA+13BC，据此确定,的值，然后求解-2的值即可.【详解】由题意可得：BO=2312(BA+BC)=13BA+13BC=13BA+13(BA+AC)=23BA+13AC,=23,=13，2=23213=43.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知函数f(x)=2sinx6cosx6(0)，且满足fx+2=f(x)，把f(x)的图像上各点向左平移6个单位长度得到函数g(x)，则g(x)的一条对称轴为（ ）A. x=0B. x=3C. x=2D. x=34【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数的最小

7、正周期为，结合最小正周期公式可得=1，据此可得函数gx的解析式为g(x)=sin2x，结合正弦函数的性质和所给的选项确定函数的一条对称轴即可.【详解】由fx+2=f(x)可得fx+2+2=fx+2=f(x)，则函数的最小正周期为，即22=,=1，故函数fx的解析式为f(x)=sin2x3，函数gx的解析式为g(x)=fx+6=sin2x+63=sin2x，函数的对称轴满足：2x=k+2，即x=k2+4kZ，令k2+4=0，k2+4=3，k2+4=2，k2+4=34，只有方程k2+4=34存在整数解k=1，故函数g(x)的一条对称轴为x=34.本题选择D选项【点睛】本题主要考查三角函数解析式求解

8、，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知函数f(x)=23xx23，且满足f(2a1)f(3)，则a的取值范围为（ ）A. a2B. 1a2D. af(3)即f|2a1|f3，结合偶函数的单调性可得不等式|2a1|3，求解绝对值不等式可得a的取值范围为-1a0,b0)的左焦点，圆O:x2+y2=c2与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于A,B两a点，若AFOB，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B. 12C. 2D. 233【答案】C【解析】【分析】不妨设A(ccos,csin)，其中tan=ba，由斜率公式可得kAF=sincos+1，由直线垂直的充分

9、必要条件可知：kAF=cossin，据此可得ba=tan=3，然后结合双曲线的离心率公式求解离心率即可.【详解】不妨设A(ccos,csin)，其中tan=ba，由于Fc,0，故kAF=csinccos+c=sincos+1，由于双曲线的渐近线方程为y=bax，结合直线垂直的充分必要条件可知：kAF=ab=cossin，据此可得：sincos+1=cossin，整理可得(cos+1)(2cos1)=0，据此可知：cos=12，ba=tan=3，双曲线的离心率e=ca=a2+b2a2=1+3=2.本题选择C选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围

10、)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)10.中国最早的天文学和数学著作周髀算经里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，.设内一衡直径为a1，衡间距为d2，则次二衡直径为a2=a1+d，次三衡直径为a1+2d，执行如下程序框图，则输出的Ti中最大的一个数为（ ）A. T1B. T2C. T3D. T4【答案】D【解析】【

11、分析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出Ti=aia8ii=1,2,3,4的值，结合等差数列的通项公式可得ai=a1+(i1)d，由均值不等式的结论即可确定输出的Ti中最大的一个数.【详解】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出Ti=aia8ii=1,2,3,4的值，由等差数列通项公式有：ai=a1+(i1)d，且易知ai0恒成立，则：aia8i=a1+(i1)da1+(7i)da1+(i1)d+a1+(7i)d24，当且仅当a1+(i1)d=a1+(7i)d，即i=4时等号成立.综上可得，输出的Ti中最大的一个数为T4.本题选择D选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图

12、的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证11.在锐角三角形ABC中，cosA+6=17,AB=7,AC=23，则ABBC（ ）A. 40B. 40C. 34D. 34【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数基本关系可得sinA+6=437，结合两角和差正余弦公式可知cosA= 3143，利用余弦定理可得cosB=40743，最后利用平面向量数量积的定义求解数量积ABBC即可.【详解】由同角三角函数基本关系可得sinA+6=437，则cosA=cosA+66 =1732+47312=3143，

13、由余弦定理可得BC2=12+492833143=43,则cosB=43+49122743=40743，结合平面向量数量积的定义可得：ABAC=74340743=40.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用12.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 8B. 9C. 414D. 41【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，其对应的几何体为三棱锥，建立空间直角坐标系，结合球的几何性质确定球心坐标，然后求解球的表面积即可.【详解】如图所示，在长方体

14、ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=2,AB=1，点M,N,N1分别为其所在棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥B1AMD，很明显AMD是以AD为斜边的直角三角形，且当NN1平面ABCD，故外接球的球心O在直线NN1上，以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0,B0,1,2，设O0,1,h，由OA=OB1有：12+h2=12+12+h22，解得：h=54,设外接球半径为R，则：R2=1+h2=1+2516=4116，外接球的表面积S=4R2=414.本题选择C选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有

15、关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p=_【答案】0.4【解析】【分析】由题意可得：p+p1p+p1p2=0.784，据此求解关于实数p的方程确定实数p的值即可.【详解】由题意可得：p+p1p+p1p2

16、=0.784，整理可得：p33p2+3p0.784=0，即(p0.4)p22.6p+1.96)=0,该方程存在唯一的实数根p=0.4.故答案为： 0.4【点睛】本题主要考查独立事件概率公式及其应用，属于基础题.14.在12x21x6的展开式中x3的系数为_【答案】52【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式可知12x21x6的展开式的通项为：Tr+1=(1)rC6r2r6x123r，据此确定展开式中x3的系数即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知12x21x6的展开式的通项为：Tr+1=C6r12x26r1xr=(1)rC6r2r6x123r，令123r=3可得r=3，故展开式中x3的系数

17、为(1)3C6323=(1)2018=52.故答案为： 52【点睛】二项式定理核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项15.点F为抛物线y2=2px(p0)的焦点，E为其准线上一点，且EF=233.若过焦点F且与EF垂直的直线交抛物线于A,B两点，且AF=3FB，则p=_【答案】1【解析】【分析】由焦半径公式可得：p1cos=3p1+cos，则tan=3，据此可得AB的方程为：y

18、=3xp2，EF的方程为y=33xp2，结合题意由EF的长度得到关于p的方程，解方程即可求得实数p的值.【详解】由题意结合焦半径公式可得：p1cos=3p1+cos，据此整理可得：cos=12,tan=3，据此可知直线AB的方程为：y=3xp2，直线EF的方程为y=33xp2，令x=p2可得y=33(p)=33p，则EF的长度为：p2p22+33p02=233，解得：p=1.故答案为：1.【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，方程思想的应用，直线方程及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知函数f(x)=-lnx,x(-,0),-6x2+20x-13,x0,2,6x,x

19、(2,+), g(x)=ax-2(aR)满足：当x0时，至少存在一个整数x0使f(x0)g(x0).则实数a的取值范围为_【答案】e3a3【解析】【分析】首先绘制函数f(x)的图像，然后结合题意分类讨论x0两种情况分别得到关于a的取值范围，最后求解所得取值范围的公共部分即可确定实数a的取值范围.【详解】绘制函数fx的图像如图所示，函数gx恒过点0,-2，（1）当x0时，方程f(x)=g(x)无解，考查临界情况，当xe-3，（2）当x0时x=1时-6x2+20x-13=1，点0,-2,1,1两点连线的斜率k=-2-10-1=3，x=2时-6x2+20x-13=3，6x=2，点0,-2,2,2两点

20、连线的斜率k=3+22-0=52，据此可得a3，综上可得，实数a的取值范围为e-3a3.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答 17.已知数列an满足12an+1-an=0(nN*)，且a2,a3+2,a4成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=11-an-11-an+1(nN*)，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围.【答案】（1）an=2n（2

21、）1Tn23【解析】【分析】（1）由题意可得数列an是等比数列，且公比为q=2.结合a2,a3+2,a4成等差数列求得数列的首项即可确定数列的通项公式；（2）裂项求和可得Tn=12n+1-1-1，结合前n项和表达式的单调性确定Tn的取值范围即可.【详解】（1）由12an+1-an=0知an+1an=2(nN*),数列an是等比数列，且公比为q=2.a2,a3+2,a4成等差数列，2a3+2=a2+a4,24a1+2=2a1+8a1 a1=2an=2n（2）Tn=11-a1-11-a2+11-a2-11-a3 +11-an-11-an+1=11-a1-11-an+1=-1-11-2n+1=12n

22、+1-1-1易知Tn单调递减，TnT1=-23当n+时，Tn-1Tn取值范围为-1Tn-23【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，列项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，在三棱台ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1底面ABC，并且A1AA1B1，AA1B90（1）平面A1C1B平面ABCl，证明：A1C1l；（2）求平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值【答案】（1）见解析（2）21313【解析】【分析】（1）在三棱台中，根据线面平行的判定和性质可得所证结论（2）建立空间直角坐标系，求出平

23、面A1C1B与平面ABC的法向量，然后求出两向量夹角的余弦值，于是可得所求正弦值【详解】（1）证明：在三棱台ABCA1B1C1中，可得A1C1AC，且A1C1平面ABC，AC平面ABC，所以A1C1平面ABC，又A1C1平面A1C1B，平面A1C1B平面ABCl，所以A1C1l（2）根据题意，以AB的中点为原点，AB为x轴，OC为y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示由于AB=2,AA1=A1B1=1,AA1B=90，B(1,0,0),A112,0,32,C10,32,32，则BA1=32,0,32,BC1=1,32,32，设平面A1C1B的法向量为n=(x,y,z)，则nBA1=32x+

24、32z=0nBC1=x+32y+32z=0，即3x=z2x3y3z=0，令x=1，得z=3,y=33，n=1,33,3由题意知，平面ABC的法向量为m=(0,0,1)cos=mn|m|n|=31133=31313，sin=1cos2=21313即平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值为21313【点睛】用向量法求空间角的关键是建立空间直角坐标系，然后得到相关点的坐标用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量夹角和二面角平面角的大小关系，由于平面角等于两法向量的夹角或其补角，所以在求出两个法向量的夹角后还要根据图形判断出二面角为锐角还是钝角，然后才能得出所求角的大小19.近年来，随着互联网

25、技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表，为收费标准（单位：元/日），为入住天数（单位：），以频率作为各自的“入住率”，收费标准与“入住率”的散点图如图x50100150200300400t906545302020（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的概率分布列；（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判

26、断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（结果保留一位小数）（3）若一年按天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额最大？（年销售额L=365入住率收费标准x）参考数据：b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2, a=y-bx,x=200,y=0.45,i=16xi2=325000, z5.1,i=16yizi12.7, i=16zi2158.1,e3148.4【答案】（1）见解析；（2）见解析，y=-0.5lnx+3（3）收费标准约为148.4元/日时，最大值约为27.083元【解析】【分析】（1）由题意可知的所有可能取值为0,1,2.分别计算相应的概率值确定分布列即可

27、；（2）由散点图可知y=bz+a更适合于此模型.分别确定b，a的值即可确定回归方程；（3）由题意可得L=365(-0.5lnx+3)x= -3652xlnx+1095x.利用导函数研究年销售额L的最大值即可.【详解】（1）的所有可能取值为0,1,2.则P=0= C42C62 =615=25, P=1=C21C41C62=815，P=2= C22C62 =115的分布列012p25815115（2）由散点图可知y=bz+a更适合于此模型.其中b=i=16ziyi-6zyi=16zi2-6z2=-1.072.04-0.5，a=y-bz=3所求的回归方程为y=-0.5lnx+3（3）L=365(-0

28、.5lnx+3)x= -3652xlnx+1095x.L=-3652lnx-3652+3653令L=0lnx=5x=e5148.4若一年按365天计算，当收费标准约为148.4元/日时，年销售额L最大，最大值约为27083元.【点睛】本题主要考查分布列的计算，非线性回归方程及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.如图，菱形ABCD的面积为82.ABAD=4，斜率为k的直线交y轴于点P，且OP=2OA，以线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆与直线相交于M,N两点（M与A在x轴同侧）.（1）求椭圆的方程；（2）求证：AN与CM的交点在定直线y=1上.【答案】（1）x28+y24=1

29、（2）见证明【解析】【分析】（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可得a2=8,b2=4，据此确定椭圆方程即可；（2）易得P(0,4)，设直线l:y=kx+4与椭圆x2+2y2=8联立可得x1+x2=-16k1+2k2,x1x2=241+2k2，求得直线MC的方程和AN的方程，联立方程确定交点坐标即可证得题中的结论.【详解】（1）设A(0,b),B(-a,0),D(a,0), AB(-a,-b),AD=(a,-b).ABAD=-a2+b2,2ab=82-a2+b2=-4解得a2=8,b2=4椭圆方程为x28+y24=1（2）易得P(0,4)，设直线l:y=kx+4与椭圆x2+2y2=8

30、联立，得(1+2k2)x2+16kx+24=0由0得k232，设Mx1,kx1+4,Nx2,kx2+4，x1+x2=-16k1+2k2,x1x2=241+2k2kMC=kx1+6x1直线MC的方程为y+2=kx1+6x1x kAN=kx2+2x2直线AN的方程为y-2=kx2+2x2x 联立消去x，得(y+2)x1kx1+6=(y-2)x2kx2+2y+2y2=x2kx1+6x1kx2+2=kx1x2+6x2kx1x2+2x1=24k1+2k2+6x224k1+2k2+2x1=12k1+2k2+3x212k1+2k2+x1=12k1+2k2+3x212k1+2k2+16k1+2k2x2=34k

31、1+2k2+x24k1+2k2+x2=3y=1从而命题得证【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21.已知函数f(x)=ex(ax+1).（1）讨论f(x)在(0,+)上的单调性；（2）令g(x)=xlnxm2x2x+e，当a=12,0mf(x2).【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】（1）由题意可得f(x)=ex(ax+a+1)(x0)，分类讨论a0时，-1afxmax.由函数f(x)的解析式可得f

32、xmax=f1=e2,结合函数g(x)的性质证明gxmine2即可证得题中的结论.【详解】（1）f(x)=ex(ax+a+1)(x0)当a0时，由于x0，所以f(x)0恒成立，f(x)在(0,+)为增函数；当a0时，若1+a0,a-1,f(x)0,a-1，令f(x)=0，得x=-1-aa,f(x)在0,-1-aa上为增函数，-1-aa,+上为减函数.综上：当a0时，f(x)在(0,+)上为增函数；当-1af(x)max.当a=-12时，f(x)=ex-12x+1，由（1）知f(x)在(0,1)上为增函数，在1,e2上为减函数，f(x)max=f(1)=e2,g(x)=lnx-mx令p(x)=l

33、nx-mx, p(x)=1x-m=1-mxx.令p(x)=0，得x=1me2，p(x)0在(0,e2上恒成立，p(x)在(0,e2上单调递增，即g(x)在上(0,e2单调递增.当x0时，g(x)-,g(e2)= lne2-me2=2-me2，由于0m0,存在x0，使g(x0)=0，即lnx0-mx0=0,m=lnx0x0，g(1)=-m0, x0(1,e),g(x)在(0,x0)单调递减，在(x0,e2单调递增，g(x)min=g(x0)=x0lnx0-m2x02 -x0+e=x0lnx02-x0+e，令h(x)=xlnx2-x+e(1xe), h(x)=lnx-12h(e)=e2-e+e=e

34、2，从而g(x)mine2.命题得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C的极坐标方程为（1-cos2）=8cos，直线cos=1与曲线C相交于M，N两点，直线l过定点P（2，0）且倾斜角为，l交曲线C于A，B两点（1）把曲线C化