2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解3-5 指数与指数函数（含答案）

1、2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解3-5 指数与指数函数（含答案）专题3.5 指数与指数函数【考纲解读与核心素养】1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.4本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.5. 高考预测：（1）指数幂的运算；（2）指数函数的图象和性质的应用；（3）与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等6.备考重点：（1）有理指数幂的运算；（2）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象

2、过定点；（4）底数分类讨论问题.【知识清单】1根式和分数指数幂1n次方根定义一般地，如果xna，那么x叫做a的_n次方根_，其中n1，且nN*个数n是奇数a0x0x仅有一个值，记为a0x0n是偶数a0x有两个值，且互为相反数，记为a0x不存在2.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na.3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rar

3、br，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象和性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0且a1【答案】C【解析】由题意，得，解得a2，故选C.【规律方法】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0，a1)这一结构形式【变式探究】若函数y(m2)ax32n(a0，且a1)是指数函数，则k ，b .【答案】3，.【解析】由题意，得，.高频考点四：指数函数的图象【典例6】（2019贵州省织金县第二中学高一期中）函数且过定点（ ）ABC

4、D【答案】D【解析】令，所以函数且过定点【典例7】（2019华东师大二附中前滩学校高三月考）函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】，函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，当时，所以排除B，当时，所以排除C，故选D.【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置

5、；从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复；从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)4.过定点的图象 (1)画指数函数yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2) 与的图象关于y轴对称；(3)当a1时，指数函数的图

6、象呈上升趋势，当0a1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减【变式探究】1.（2020上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )ABCD【答案】C【解析】由于过点，故D选项错误.当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C2.如图所示是下列指数函数的图象：(1)yax；(2)ybx；(3)ycx；(4)ydx.则a，b，c，d与1的大小关系是 ()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc【答案】B 【解析】可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2

7、)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.【特别提醒】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大高频考点五：指数函数的性质及其应用【典例8】【2016新课标全国III】已知a=243，b=425，c=2513，则( )A. bac B. abcC. bca D. ca425=b，c=2513=523423=a，所以bac，故选A【典例9】（2020上海高三专题练习

8、）函数的值域是_.【答案】【解析】设 当 时，有最大值是9；当 时，有最小值是-9， ，由函数 在定义域上是减函数，原函数的值域是 故答案为 【典例10】(2020上海高一课时练习）已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值.【答案】或【解析】时，是增函数，则，解得（舍去）；时，是减函数，则，解得（舍去）综上，或【典例11】（2019黑龙江省大庆四中高一月考（文）已知函数的图像经过点，（1）求值；（2）求函数的值域；【答案】（1）（2）【解析】（1）函数的图像经过点（2）由（1）可知 在上单调递减，则在时有最大值又函数的值域为【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同

9、是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大4.简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论5.求解与指

10、数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解【变式探究】1.（2018年新课标I卷文）设函数，则满足fx+1f2x的x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有2x02xx+1，解得x0，所以满足fx+1f2x的x的取值范围是，故选D.2.（2019天津高三高考模拟）若2x2+1(14)x-2，则函数y=2x的值域是A18,2) B18,2 C(-,18 D【答案】B【解析】将2x2+1(14)x-2化为，即，解得x-3,1，所以，所以函数y=2x的值域是18,2.故选C.3.(2019年高考北京理)设函数（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式