第1.2节：频率与概率

1、,1.2,频率与概率,研究随机现象，不仅关心试验中会可能出现哪些事,件，更重要的是想知道事件出现的,可能性大小,，为此，,先介绍频率的概念。,事件发生的可能性,概率是随机事件,发生可能性大小,的度量,.,越大，概率就,越大！,一、频率,1,、频率,设随机事件,A,在,n,次重复试验中发生了,k,次,记为,：,k,则称比值,为这,n,次试验中事件,A,发生的频率。,n,k,f,n,(,A,),?,n,大量重复的随机试验所体现出来的统计规律性：,频率稳定性,实例,将一枚硬币抛掷,5,次、,50,次、,500,次,各做,7,遍,观察正面出现的次数及频率,.,n,?,5,n,?,50,试验,序号,n,

2、H,n,H,f,f,1,2,3,4,5,6,7,4,n,?,500,n,H,f,0.44,251,0.502,0.4,22,2,1,在,0.6,25,处波动较大,0.50,249,0.498,3,2,随,n,的增大,频率,f,呈现出稳定性,0.2,1,21,0.42,256,0.512,5,1.0,1,25,0.50,247,0.494,在,处波动较小,1,24,0.48,0.2,2,251,0,.,502,波动最小,2,18,0.36,262,0.524,0.4,0.8,27,0.54,258,0.516,实验者,德,摩根,?,蒲,丰,n,2048,4040,12000,24000,n,H,

3、1061,2048,6019,12012,f,0.5181,0.5069,0.5016,0.5005,K,?,皮尔逊,K,?,皮尔逊,n,的增大,f,(,H,),1,.,2,2.,频率的性质,：,1,),非负性：对任意事件,A,都有,f,n,(,A,),?,0,2,),规范性：,f,n,(,?,),?,1,3,),有限可加性：对于任意,m,个两两不相容的事件,A,1,，,A,2,，,.,A,m,有,f,n,(,?,A,i,),?,?,f,n,(,A,i,),i,?,1,i,?,1,m,m,二、概率,1,、概率的,统计定义,-,如果随着试验次数,f,n,(,A,),在区间,0,1,n,的增大，,

4、事件,A,发生的频率,上的某个数,p,的附近来回摆动，且随着试验次,数的增大，其摆动的幅度越来越小，则称,频率,的稳定值,p,为事件,A,的发生的概率,，记作：,P,(,A,),。,【注,1,】,0,P,(,A,)1,频率与试验次数有关，,但概率与试验次数无关。,概率是事件,本身固有,的性,质。,事件发生的可能性,事件发生的可能性,最小是零，此时,概率为,0,。,最大是百分之百，,此时概率为,1,。,【,注,2,】,频率在一定程度上反映事件发生可能性的大,小。尽管每进行,n,次试验，所得到的频率可以各不相同，,f,n,(,A,),与概率,P,(,A,),是会非常接近的。,但,只要,n,相当大,

5、，频率,也就是说频率是概率的一种近似。,这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路,。,在实际中，当概率不易求出时，人们常取试验次数很大,时事件的频率作为概率的,估计值,，,称此概率为：,统,计,概,率,1933,年,，苏联数学家,柯尔莫哥洛夫,提,出了概率论的公理化结构,，给出了概率的,严格定义,，使概率论有了迅速的发展。,2,、概率的,公理定义,设随机试验,E,的样本空,?,上,任意,的事件,A,，,都存在,间为,?,，如果对于,一个实数,P,(,A,),与之对应，且满足：,1,),非负性：,P,(,A,),?,0,2,),规范性：,P,(,?,),?,1,3,),可列可加性：对于任意,

6、可列个两两互不相容的,事件,A,1,，,.,A,m,.,P,(,?,A,i,),?,?,P,(,A,i,),i,?,1,i,?,1,?,?,则称,P,(,A,),为事件,A,发生的概率。,三、概率的性质,（,1,）,P,(,?,),?,0,证明：,(,?,),?,P,(,?,P,?,),?,P,(,?,),?,P,(,?,),?,又由于,P,(,?,),?,0,，故,P,(,?,),?,0,。,(,2,),有限可加性：对于任意,m,个两两不相容的事件,A,1,，,.,A,m,有,P,(,?,A,i,),?,?,P,(,A,i,),i,?,1,i,?,1,m,m,A,有,:,P,(,A,),?,

7、1,?,P,(,A,),（,3,）对任意事件,证,明,：因：,?,?,A,A,AA,?,?,A,),故,：,1,?,P,(,?,),?,P,(,A,A,?,P,(,A,),?,P,(,A,),，,由,此：,P,(,A,),?,1,?,P,(,A,),。,?,(,4,),若,A,?,B,则,P,(,B,?,A,),?,P,(,B,),?,P,(,A,).,证明,：因为,A,?,B,则,B,?,A,故,(,B,?,A,),，,而,A,与,B,?,A,互斥，,A,B,P,(,B,),?,P,(,A,),?,P,(,B,?,A,),，,于是：,P,(,B,?,A,),?,P,(,B,),?,P,(,A

8、,),。,?,A,(,B,?,A,),?,?,P,(,B,?,A,),?,P,(,B,),?,P,(,AB,),推论,1,：,A,?,B,?,P,(,A,),?,P,(,B,),推论,2,：,推论,3,：,对任意事件,A,都有,0,?,P,(,A,),?,1,(,5,),广义加法公式：,P,(,A,?,B,),?,P,(,A,),?,P,(,B,),?,P,(,AB,).,证明,：,A,B,?,A,B,A,?,A,(,B,?,AB,),而,A,与,B,?,AB,互斥,故,P,(,A,B,),?,P,A,(,B,?,AB,),?,P,(,A,),?,P,(,B,?,AB,),?,P,(,A,),

9、?,P,(,B,),?,P,(,AB,),B,AB,A,?,A,(,B,?,AB,),?,?,【注】,事件互不相容时的加法公式,P,(,A,?,B,),?,P,(,A,),?,P,(,B,),A,事件相容时的加法公式,B,P,(,A,?,B,),?,P,(,A,),?,P,(,B,),?,P,(,AB,),B,AB,A,推广,：,P,(,A,B,C,),?,P,(,A,),?,P,(,B,),?,P,(,C,),?,P,(,AB,),?,P,(,BC,),?,P,(,CA,),?,P,(,ABC,),AB,A,ABC,AC,C,B,n,n,个事件和的概率为：,n,?,?,P,?,A,i,?,?

10、,?,P,(,A,i,),?,?,P,(,A,i,A,j,),1,?,i,?,j,?,n,?,i,?,1,?,i,?,1,BC,?,1,?,i,?,j,?,k,?,n,?,P,(,A,i,A,j,A,k,),n,?,1,?,?,(,?,1,),P,(,A,1,A,2,A,n,),推论,4,：次可加性,P,(,A,?,B,),?,P,(,A,),?,P,(,B,),P,(,?,A,i,),?,i,?,1,n,?,P,(,A,),i,i,?,1,n,1,例,1,设,P,(,A,),?,P,(,B,),?,P,(,C,),?,P,(,AB,),?,0,，,4,1,P,(,AC,),?,P,(,BC,

11、),?,，,则,A,B,C,全不发生的概率是什么？,6,解,P,(,A,B,C,),?,P,(,A,?,B,?,C,),?,1,?,P,(,A,?,B,?,C,),?,1,?,P,(,A,),?,P,(,B,),?,P,(,C,),?,P,(,AB,),?,P,(,BC,),?,P,(,A,C,),?,P,(,A,BC,),1,1,1,1,1,7,?,1,?,?,?,?,0,?,?,?,0,?,。,4,4,4,6,6,12,例,2,设,A,?,C,B,?,C,P,(,A,),?,0.7,P,(,A,?,C,),?,0.4,P,(,AB,),?,0.5,，求,P,(,AB,?,C,),。,解,由

12、于,P,(,A,?,C,),?,P,(,A,),?,P,(,AC,),?,P,(,A,),?,P,(,C,),（,AC,?,C,）,，,故,P,(,C,),?,P,(,A,),?,P,(,A,?,C,),?,0.7,?,0.4,?,0.3,由此,：,P,(,AB,?,C,),?,P,(,AB,),?,P,(,ABC,),?,P,(,AB,),?,P,(,C,),?,0.5,?,0.3,?,0.2,(,ABC,?,C,),1,例,3,设,A,B,C,满足：,P,(,AB,),?,P,(,AC,),?,P,(,BC,),?,，,8,1,P,(,ABC,),?,，求,A,B,C,至多发生一个的概率？

13、,16,解,“,A,B,C,至多发生一个”与“,A,B,C,至少发生两,个”是互为对立事件，因此：,P,(,AB,?,BC,?,AC,),?,1,?,P,(,AB,?,BC,?,AC,),?,1,?,P,(,AB,),?,P,(,BC,),?,P,(,AC,),?,3,P,(,ABC,),?,P,(,ABC,),3,1,3,?,1,?,3,P,(,AB,),?,2,P,(,ABC,),?,1,?,(,?,),?,。,8,8,4,例,4,某工厂职工可以订阅两种读物,报纸和杂志，,其中订阅报纸的概率为,0.7,，订阅杂志的概率为,0.2,两种都订阅的概率为,0.1,。求,(1),订阅报纸而不订阅杂志的概率；,(2),