高等数学练习题 第十章曲线积分与曲面积分

1、 高等数学练习（下） 曲线积分与曲面积分第十章 高等数学练习题 学号 班 姓名 系 专业 对弧长的曲线积分 第一节 一选择题?)dsy(x?)01,A(?1,0)B(0,1)C(L 1设 是连接 B， ， 的折线，则 L2222 （D） （C ） （A）0 （B ） 22yx22?1?dsx?4y12)(3L D = ，并且其周长为S，则 2设为椭圆 34L24S D） （ ）12S 6S （B） （C （A）S 二填空题222?yds)(xLx?y?1 ，则曲线积分 为下半圆周 1设平面曲线 L 1?2?)ds(x?yL 2设 是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则

2、曲线积分 2L 三计算题n22?tacosx?ds)(x?ytasiny?2?0tL. ，其中（为圆周），1L?221n?22n?1222n?a2?dt?)dta?a(x)?(y 解：原式00 22y?x222?ax?yxxy?Ldse轴在第一象限内所围成的扇形为圆周，其中及，直线2L. 的整个边界xxy?BA 解：设圆周与的交点分别为轴和直线，和? 22yx?ds?e? 于是原式 BOABOAy?0,ds?dxOA得 在直线 上a22yx?xa?1ds?eeedx 0OA?0ayax?cos,?sin,AB得 上令在圆周 437 高等数学练习（下） ?aea?22y?x22a? ?)d)?e

3、ds?(e(xy4 40ABdx?2x,dsy?BO 得上 在直线 2a22yx?a2x?1?dse2?dx?ee2 0BOaa?2)e?(2? 所以原式 4 2?dsy)t?cost)y?a(1?x?a(tsin2t?0?L）为摆线的一拱3. ，其中（L? 2222?dt(?y)cost(x)a?21(? 解：原式 05? 3 ?dt1?cos)2?2at(2 03a256? 15 38 高等数学练习（下） 高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分 系 专业 班 姓名 学号 第二节 对坐标的曲线积分 一选择题 (1,1)(?1,1)(?1,?1)(1,?1)L为顶点的正方形周边，为逆时针方

4、向，则， 1设 以，22?dx?xydy D L （A）1 （B）2 （C）4 （D）0 2?)x?1y?x(?1?xxdy?ydxxds?L 和A , 2设增加的方向为正向，则是抛物线 LL2525,0,000, （D） （C） （A） （B） 3838二填空题 12?x?y?dyy)(x?)1(1,L 1设设 是由原点O沿 ，则曲线积分到点A 6L 222?2xy(y)xdy?2xy)dx?()1B(1,)A(1,?1L= 的线段，则2设. 是由点 到 3L 三计算题2222?a?x?y?4xx)dy?2y)dx?(2xyL. ，求曲线积分为取正向圆周1设L?)?2asin?,(0x?ac

5、os?,y， 解：将圆周写成参数形式 于是原式 ?2222?d)?cosaa?42acoscossincos?2asin?)(?asin()?a(? 0?232223322?dcossin?a?24sinaa)?()(?2acos?cos 02?a?2? 2xy?x?y),1(1L 沿直线A到原点的闭曲线，求2 设O是由原点沿，再由点A到点y?dy?arctandx xLy1?Idx?2(xarctanx1)?arctandydx解： 1x0OA39 高等数学练习（下） ?12?x2x?x?arctanx?x?arctan 02?y0?11I?)dx(arctan1?arctandy?dx?

6、24x1AO?1?2?1?I?I 所以原式 21424 ?(x?y)dx?(y?x)dyL是：计算 ，其中 3L2y?x上从点（1，1）到点（4，2（1）抛物线）的一段弧； （2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段； （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 222?)ydy?(yy?y)?2y?( ）原式解：（11232?y)?ydy(2y? 134? 3x?3y?2,dx?3dy ）的直线方程为 （2）过（1，1），（4，2 2?3(4y?2)?(?2?2y)dy 所以 原式12?(10y?4?)dy 1?11 x?1,dx?0,1?y?2 ，）过（

7、 （31，1），（12）的直线方程为 12?dy?I?1)(y 所以 121y?2,dy?0,1?x?4 ）的直线方程为423 （）过（1，），（，2274?)dxx(?2I? 所以 221?I?I?14 于是 原式21 40 高等数学练习（下） 23222?(0?t?z?t1x?t,y?t),)dx?2?zyzdy?x(ydzL按参数增加的4求其中为曲线L方向进行. 14664?dt34t?(tt?t?)? 解：由题意，原式0164?)ttdt?2(3 01? 35 高等数学练习题 曲线积分与曲面积分 第十章 学号 专业 班 姓名 系 格林公式及其应用 第三节 一选择题4pp?124?p?d

8、y?(6x?5y(xy?4xy)dx 1 设曲线积分 C 与路径无关，则 L （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 (x?ay)dx?ydya? 已知 2 为某函数的全微分，则 D 2)y(x?1 （B）0 （C）1 （ A） （D）2 2xx212?x?2y),(1A)22,B(dx?dyL= 沿曲线D则曲线积分设的弧段，为从 到点 3 22yyL33? （C）3 ） （A） （B （D）0 2 二填空题)1(1,0O(0,)AL分，1 设是由点曲线则曲到点线积光意的任一段 滑 422?dyyy?)dx?(x?(1?2xy 3L 22?2?189?x?y?dy4x)2?y)dx?(x(2x

9、y?L 2设曲线为圆周 ，顺时针方向，则 L 三计算题32222?y?2xdyx?sin2(1dxxxy(2?I?ycos)?yx3y)L上从点 1 ，其中为在抛物线L41 高等数学练习（下） ?),1(),0(0 到的一段弧。 22223,y2ysinx?3xyxy?cosx,Q(x,y)?1?P(x,y)?2 解：设 ?P?Q2?2yxycosx?6，所以曲线积分与路径无关。 因为 ?y?x?)1(,),0(3222? )dyy3ysinxI?xcosx)dx?(1?2(2xy?y22 于是 ?),0(0)(,0 22?12?)3?dy?y(1?2y? 402? 4(3,4)2322?)d

10、y3xxyxyy?y?)dx?(6(6与路径无关并计算其积分值 证明 2(1,2)2322P(x,y)?6xy?y,Q(x,y)?6xy?3xy, 证明：设 ?P?Q2?3y12xy?，并且连续，所以该积分与路径无关。 因为 ?y?x(1,2)(3,2)(3,4)A,B,C ， 分别记 为， BCAB线段的积分。 线段的积分加沿 因为积分与路径无关，所以原积分等于沿 即， (3,2)(3,4)22232223?)xydyy?3?y(?3?6)6(xy?ydx?(xy?xy)dy)dx?6xxy(6 原式)2)3(,21(,432?(6y?y)dy91?8(3x?)dx?。 12?236 42 高等数学练习（下） 42?u)uf(Lx?2xy0?A?f(u)du，起点为原，为半圆周 3设是的连续可微函数，且022?)(xdx?ydyf(x)?y),0(2 点，终点为，求L2222