工程控制第三章

1、,第三章 时间响应分析,3.1 时间响应及其组成 3.2 典型输入信号 3.3 一阶系统的时间响应 3.4 二阶系统的时间响应 3.5 二阶系统的性能指标 3.6 系统误差分析与计算,教学重点：时间响应、性能指标、稳态误差的分析计算 教学难点：性能指标与系统特征参数、结构参数间关系 稳态误差的分析与计算,1. 掌握一阶系统的时间响应； 2. 掌握二阶系统的时间响应； 3. 掌握欠阻尼二阶系统瞬态响应性能指标； 4. 掌握控制系统稳态偏差与稳态误差的分析计算。,本章教学大纲,经典控制论分析系统性能的方法,时域分析法：,根轨迹法：,根据系统的微分方程，以拉氏为数学工具，直接解算出系统的输出量随时间

2、变化的规律，并由此来确定系统的性能。,频域分析法：,3.1 时间响应及其组成,1. 定义,系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过程称为系统的时间响应。它反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。,2. 组成,按振动性质分,自由响应,强迫响应,按振动来源分,零输入响应,零状态响应,零状态响应,瞬态响应,稳态响应,若系统稳定,一般情况下，设系统的动力学方程为：,式中： si（i=1,2,n）为方程的特征根。,方程的解一般形式为：,零状态响应（零初始状态下，完全由输入所引起）。,零输入响应（系统无输入，完全由初始状态所决定）。,例子,-3，-4是系统传递函数的极点（特征根）,瞬态响应

3、系统在某一输入信号作用下，其输出从初始状态到稳定状态的响应过程。,稳态响应时间t趋于无穷大时，系统的输出状态。,通常将时间响应中实际输出与理想输出的误差进入系统规定的误差带之前的过程称为瞬态响应过程，之后的过程称为稳态响应。,稳态响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统的精确程度 表征系统的准确性和抗干扰的能力。,瞬态响应反映了系统的动态性能 表征系统的振荡特性和快速性,ts,注意：,系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态无关；,由 所求得的输出是系统的零状态响应；,对于线性定常系统，若x(t)引起的输出y(t)，则 引起输出为 。,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,3.

4、系统特征根与自由响应的关系,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,(1),(2),具有负实部的共轭复数特征根，自由响应衰减振荡，|Ims|越大，振荡加剧， |Res|与衰减所需时间，即响应快速性有关。,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,(3),(4),具有负实部的共轭复数特征根，|Res|越小，衰减所需时间越长，响应快速性变差。实部为0时，特征根为共轭纯虚根，自由响应为等幅振荡。,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,(6),(5),具有正实部的共轭复数特征根，|Ims|0，自由响应为发散幅振荡，输出响应不收敛。,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,(7),(8),Ims

5、=0，具有正实数根，自由响应不振荡，输出响应不收敛，（发散）；具有负实数根，自由响应不振荡，输出响应收敛。,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,特征根实部Resi的正负决定自由响应的收敛性.Resi0,自由响应发散，绝对值越大发散越快。,特征根虚部Imsi的大小决定自由响应的振荡频率,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,若所有特征根具有负实部,系统自由响应收敛,系统稳定,若存在特征根的实部大于零,系统自由响应发散,系统不稳定,若有一对特征根的实部为零 其余特征根均小于零,系统自由响应最终为等幅振荡,系统临界稳定,此时，自由响应为瞬态响应。,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,

6、结论：,1. 特征根的实部影响自由响应项的收敛性 若所有特征根均具有负实部，则系统自由响应收敛(系统稳定) 若存在特征根的实部为正，则系统自由响应发散 (系统不稳定) 若存在特征根的实部为零，其余实部为负，则系统的自由响应等幅振荡(系统临界稳定),2. 特征根的虚部影响自由响应项的振荡性,虚部绝对值越大，自由响应项的振荡越剧烈。,教材P:79,Resi稳定性，快速性 Imsi振荡性，准确性,3.2 典型输入信号,时域分析中，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。,对典型输入信号的要求,形式简单，便于解析分析； 实际

7、中可以实现或近似实现； 能够使系统工作在最不利的情形下。,控制系统中的典型输入信号（时域）,单位脉冲信号,撞击,后座力,电脉冲,单位阶跃信号,开关量,等速跟踪,单位斜坡信号,单位抛物线信号,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,三、一阶系统的时间响应,微分方程,传递函数,1.一阶系统单位脉冲响应,瞬态响应,稳态响应,单位脉冲响应函数与传递函数为Laplace变换对,过渡过程（调整过程）,时间响应与稳态值之间误差为之前的过程,调整时间ts（过渡过程时间）,过渡过程所需的时间,=0.02时，ts=4T; =0.05时，ts=3T,调整时间ts反映系统响应的快速性。,制作：华中科技大学 熊良才、

8、吴波、陈良才,2. 一阶系统单位阶跃响应,瞬态响应：,稳态响应：,三、一阶系统的时间响应,两个重要的特征点：,A点,t=T，xo(t)=0.632xo稳,零点,t=0，切线斜率= ，切线与稳态值相交对应的时间恰为T。,=0.02时，ts=4T; =0.05时，ts=3T,结论,例3-1 已知某一阶系统的单位阶跃响应曲线如下， 求该系统的传递函数G(s)。,解：令,故该系统的单位阶跃响应xo(t)为,由图知，,且当t=0，切线斜率为 ，,且当t=0，切线斜率为 ，,T=2 s,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,3. 一阶系统单位斜坡响应,瞬态响应：,稳态响应：,如果输入函数等于某个函数的

9、导数，则该输入函数所引起的输出等于这个函数所引起的输出的导函数。,结论1：,制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才,4.时间常数对时间响应的影响,单位脉冲响应,单位阶跃响应,单位斜坡响应,单位阶跃输入作用下，其响应与稳态值相差等于容许误差所需要的时间。,D 越小，精度要求越高，调整时间ts 越长；,调整时间反映系统响应的快速性,设相对容许误差 D,T 越大，系统惯性越大，调整时间ts 越长。,5.一阶系统性能指标调整时间,在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，如我们熟悉的现象钟铃、弹簧、以及电路在受到冲击后的短暂振动，都是二阶系统动态性能的的外在表现。 此外，许多高阶系统在一定的条件下可以

10、近似为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。,研究的必要性：,四、二阶系统的时间响应,二阶系统,阻尼比；n无阻尼固有频率,与n是二阶系统的特征参数，表明了二阶系统本身与外界无关的特性。,传递函数：,特征方程：,特征根：,一、二阶系统的单位脉冲响应,有阻尼固有频率,衰减振荡,等幅振荡,无振荡，衰减指数,无振荡，衰减指数,衰减得更快,衰减振荡，自由响应收敛，欠阻尼系统稳定,n一定，,振荡频率d,振荡越剧烈,衰减时间常数,表征系统的惯性,特点,等幅振荡，自由响应不收敛，无阻尼系统不稳定,特点,无振荡，自由响应收敛,特点,特点,图3.2 二阶系统单位脉冲响应曲线,二

11、、二阶系统的单位阶跃响应,（1）,教材P:86,或,稳态项,瞬态项,（2）,（3）,（4）,当 时， 比 衰减得快得多,过渡过程的变化以 项起主要作用,（1）,其响应特征与欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应一致,图3.3 二阶系统单位阶跃响应曲线,结论：,1) 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性;, = 0时，出现等幅振荡。, 1时，无振荡，过渡过程长。,2) 工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。,通常，系统的性能指标由系统的单位阶跃响应给出。,单位阶跃信号易产生，且响应也较

12、易求得；,单位阶跃信号作为输入往往是实际中最不利的输入情况，用它来定义系统性能更能反映系统的性能情况。,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的瞬态响应性能指标,欠阻尼二阶系统(通常取= 0.40.8)振荡适宜，过渡过程时间较短。,3.5 二阶系统的性能指标,一、常见的性能指标,1. 上升时间tr,2. 峰值时间tp,3. 最大超调量Mp,4. 调整时间ts,5. 振荡次数N,灵敏度、快速性、振荡性能,1. 上升时间tr,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应第一次达到稳态值所需要的时间。,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应从稳态值的10%上升到90%所需要的时间。,tr,灵敏度,特点,2. 峰值时间tp,欠阻尼二阶系统

13、的单位阶跃响应第一次达到峰值所需要的时间。,tp是有阻尼振荡周期2/d 的一半。,tp,灵敏度,特点,tp是有阻尼振荡周期2/d 的一半。,3. 最大超调量Mp,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的最大值与稳态值之差，再与稳态值之比的百分数。,Mp只与阻尼比有关，反映系统的阻尼特性。,=0.40.8时，相应的Mp=25%1.5% 。,特点,4. 调整时间ts,在响应曲线的稳态值上下取（一般取2%或5%）倍的稳态值作为误差带。响应曲线达到并不再超出误差带范围所需要的时间。,当,当=2%，=0.76时，ts为最小。,当=5%，=0.68时，ts为最小。,最佳阻尼比,特点,5. 振荡次数N,在过渡过程时间

14、0tts内，xo(t)穿越其稳态值xo() 次数的一半。,当,（数值向上圆整）,N只与阻尼比有关，反映系统的阻尼特性。,特点,结论：,1. 二阶系统的动态性能由n和决定。,通常根据系统允许的最大超调量Mp来确定 。,2. 二阶系统的响应速度与振荡性能间往往存在矛盾。,一般选择=0.40.8，然后再调整n以获得合适的ts 。,最佳阻尼比=0.707,二、二阶系统性能指标计算举例,例3.3 设系统的方框图如下图所示，其中=0.6，n=5 rad/s。当有一单位阶跃信号作用于系统时，求其性能指标tp、Mp和ts。,解：,由图知该系统是典型二阶系统。,由已知条件和相关性能指标公式，得：,例3.4 如图

15、(a)所示的机械系统，在质块m上施加，xi(t)=8.9N阶跃力后，m的时间响应xo(t)如图(b)所示，试求系统的m,k和c值。,解：,分析已知条件。,1）建立系统数学模型,该系统为典型的二阶系统。,2）求k,由图(b)知,3）求m,由图(b)可得，,4）求c,例3.5 有一位置随动系统，其方框图如下图(a)所示。当系统输入单位阶跃函数时，Mp5%，试,（1）校核该系统的各参数是否满足要求；,（2）在(a)系统中增加一微分负反馈，如图(b) 示，求其时间常数。,解：,(1) 分析图(a)，该系统传递函数为，,此时，,所以系统(a)的各参数不满足Mp5%的性能要求；,(2) 分析图(b)，该系

16、统传递函数为，,为满足条件Mp5% ，,由,当系统加入微分负反馈时，相当于增大了系统的阻尼比，改善了系统的振荡性能，即减小了Mp，但并未改变n。,结论,3.6 系统误差分析与计算,误差：以输出端为基准定义,准确性即系统的精度，是对控制系统的基本性能要求之一。,稳态误差是衡量系统最终控制精度的性能指标。,一、系统的误差e(t)与偏差(t),误差理想输出值与实际输出的差;,偏差：以输入端为基准定义,偏差与误差的关系：,特别，当 时，,稳态误差：,稳态偏差：,二、误差e(t)的一般计算,其中，,三、与输入有关的稳态偏差,其中,K开环增益；, 系统型次；,n 系统阶次；,串联积分环节的个数，也称系统无

17、差度，表征系统的结构特征。 2时系统难稳定。工程上一般规定=0,1,2，为0型,型,型系统,系统的稳态偏差ss与系统的型次、开环增益、输入信号有关。,其中，,位置无偏系数,、型系统稳态无差,1. 单位阶跃输入时,2. 单位斜坡输入时,其中，,速度无偏系数,0型系统稳态误差,型系统稳态无差,其中，,加速度无偏系数,0、型系统稳态误差,3. 单位加速度输入时,总结,系统型次越高，稳态偏差越小；,表3.1 不同输入作用下系统的稳态偏差,0,0,0,系统稳态有差时，开环增益越大，稳态偏差越小；,根据线性系统的叠加原理，当,当H(s)=1时， ；当H(s)1时，,例3.6 已知某单位反馈系统,试求在参考输入 作用下系统的稳态误差。,解：,另，可利用表3.1求解：,四、与干扰有关的稳态偏差,系统在参考输入作用下的稳态偏差反映了系统的准确性； 系统在干扰作用下的稳态偏差反映了系统的抗干扰性。,Xi (s)=0时,在第2章中提到，为减小干扰引起的输出，应使系统有，,干扰引起的稳态偏差，与开环传函