[全]全等型“手拉手”数学模型详解

1、全等型“手拉手”数学模型详解手拉手模型是最常见的一类证明全等或相似的重要数学模型，全等型手拉手模型主要有以下三个特征：双等腰、共顶点、顶角相等.【模型解析】模型一：等边三角形ABC 和 CDE 均为等边三角形，点 C 为公共顶点，如下图：结论：ACE BCD .【例题1】如图，ABD 与 BCE 都是等边三角形，连接 AE 与 CD，延长 AE 交 CD 于点 F .求证： AE = DC， AFD = 60 .证明： ABD 与 BCE 都是等边三角形， AB = DB , EB = CB , ABD = EBC = 60，又 ABE + EBD = DBC + EBD = 60， ABE

2、= DBC， ABE DBC（SAS）， AE = DC ，EAB = CDB . DAE + EAB = DAB = 60， DAE + CDB = 60， AFC = DAE + ADB + CDB = 60 + 60 = 120， AFD = 180 - AFC = 180 - 120 = 60 .模型二：等腰三角形等腰 ABC 和等腰 CDE，点 C 是公共顶点，ACB = DCE = a , 如下图：结论：ACD BCE .模型三：等腰直角三角形等腰 RtAOB 和等腰 RtEOF，点 O 为公共顶点，如下图：AE = BF , AEBF .现将 EOF 绕点 O 顺时针旋转一周，可

3、以分为以下几种情况来考虑：结论： 图二、三、五，当 A、O、F 三点不共线时，AOE BOF； 图一、四、六，AOB EOF； 由图六可知，点 E、F 的运动轨迹是圆弧 （注意特殊位置的最值问题）.模型四：正方形正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，点 C 是公共顶点，如下图：结论：BCG DCE .【例题2】如图 所示，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 的中点，以 AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE , BG .（1）发现： 线段 DE、BG 之间的数量关系是DE = BG； 线段 DE、BG 之间的位置关系是DEBG；（2）探究：如图 ，将正方形 AEFG 绕点 A 逆

4、时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；【提示】（1）、（2）中，用手拉手模型证明三角形全等即可解题 .【模型应用】【例题3】如图，在长方形 ABCD 中，AB = 3 , BC = 4 , E 为 BC 上一点，且 BE = 1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45 到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值是多少？【解析】如图，当 CGBG 时，此时 CG 最小 .解法的实质就是构造了一个和 BEF 全等、共顶点的三角形，或者说是将 BEF 绕点 E 旋转了45.FBE GBE EOG，四边

5、形 BEOG 是矩形，BEO = 90，从而可知 EOC 是等腰直角三角形，OE = OC , EOC = 90，由 EC = 3，可知 OC = 32/2，所以 CG = 1 + 32/2 .【例题4】在正方形 ABCD 中，CD = 2 , 若点 P 满足 PD = 1，且 BPD = 90，请直接写出点 A 到 BP 的距离为多少？【解析】其实点 P 的轨迹就是以点 D 为圆心，PD 长为半径的圆，BPD = 90，可知 BP 与该圆相切 .第一种情况：如图所示，连接 AP , 过点 A 作 AFAP，AEBP，交 BP 于点 F，E .可证：ABF ADP（ASA）， FB = PD

6、= 1 , AF = AP， PAF 是等腰直角三角形 .设 AE = EF = x , 在 RtAEB 中，由勾股定理可得：AE2 = AB2 - BE2 , 即 x2 = 22 - （x + 1）2 ,解得：x1 = （-1 + 7）/2 , x2 = （-1 - 7）/2 （舍去），此时点 A 到 BP 的距离是 （-1 + 7）/2；第二种情况：如图所示，连接 AP，过点 A 作 AFAP，交 PB 延长线于点 F，AEBP，垂足为点 E .可证：ABF ADP（ASA）， FB = PD = 1 , AP = AF , PAF 是等腰直角三角形 .设 AE = EF = x , 在 RtAEB 中，由勾股定理可得：AE2 = AB2 -