分数阶微分系统的稳定性.pdf

1、 签 字日 期：本 学 位 论 文 作者完全 了解 安徽大 学 有 关 保 留、 使用 学 位 论 文 的 规 定， 有 权保 留并 向 国 家 有 关 部 门 或机构 送交论 文 的 复印件 和 磁 盘 ， 允 许 论 文 被 查阅和 借阅。 本 人授 权安徽大 学 可 以 将 学 位 论 文 的 全 部 或部 分内容编 入有 关 数 据 库进行 检索 ， 可 以 采 用 影印、 缩 印或扫描 等复制 手 段 保 存、 汇 编 学 位 论 文 。 艿 难 宦 畚脑诮 饷 芎 笫视帽 臼谌签 字日 期： 摘 最 后 ， 在第六章中， 我 们 对本 文 主 要内容进行 了总 结 琫 ， 琧 ，

2、， ， 籹 ； 目 分数 阶微 积分的 概念 及 相 关 性 质 第三 章分数 阶微 积分不 等式及 其应用 分数 阶微 积分不 等式 分数 阶微 积分不 等式的 应用 第四 章分数 阶时 滞微 分系 统 的 稳 定性 定义 及 引 理 分数 阶时 滞微 分系 统 的 稳 定性 第五 章分数 阶中立型 微 分系 统 的 稳 定性 算 子 型 分数 阶中立型 微 分系 统 分数 阶中立型 微 分系 统 的 稳 定性 分数 阶中立型 微 分系 统 的 有 限 时 间 稳 定性 第六章总 结 与 展 望 参 考 文 献 致 谢 攻 读 博士 学 位 期间 的 科 研 情 况 引 研 究背 景 和 意

3、 义究 理 论 专著仅有 与 晁 吹 淖 緇 】 ， 其中只 介绍了一些早期的 经典 概念 及结 论 【 】 但是， 在近二十几 年 来， 随 着 科 学技 术的 发展 ， 人们 发现 ：利 用 分数 阶微 积分所 建 立的 模 型 比 用 经 典 的 整数 阶微 积分建 立的 模 型 能更准确的描 述 一些自然 现 象及 反映 系 统 的 性 态 ， 比 如： 描 述 不 同 物 质 和 过 程的 记 忆 和 遗 传 性等 由 于 其广 泛 的 应用 背 景 ， 分数 阶微 积分及 分数 阶系 统 已 吸引 了数 学 、 物 理 学 、工 程等各 领 域的 众多 学 者对其展 开研 究， 并

4、 取 得了丰 富的 成果 目前 ， 分数 阶微 分方程已 被 广 泛 应用 于 各 个 领 域， 如： 物 理 学、化 学、生物 系 统 、信 号 处理 、机电 引由 于 分数 阶导数 是非局 部 的 且 具有 弱奇 异核， 导致 关 于 分数 阶微 分系 统 的 稳定性 分析 比 对经 典 的 整数 阶微 分系 统 的 稳 定性 分析 更复杂 与 对经 典 的 整数 阶微分系 统 的 稳 定性 的 研 究相 比 较而 言， 关 于 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性 的 研 究则 滞后 警 ， 其中相 对于 线性 系 统 而 言， 非线 性 微 分系 统 的 稳 定性 的 研 究则 困难得多

5、 自 瓵 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性稳 定性 问题 的 研 究则 甚 少 ， 仅有 【 ， 】 从 频 率域角度 研 究了分数 阶中立型 微 分系 统 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性的 意 义 下的 稳 定性 、 分数 阶中立型 系 统 的 意 义 下的 稳 定性 及 分数 阶中立型 系 统 的 有 限 时 间 稳 定性 这 三 个 方面 做 了一些研 究 本 文 各 章内容如下： 泛 函 方法得到 了该 系 统 的 意 义 下的 稳 定性 结 果 用 泛 函 方法得 该 系 统 的 意 义 下的 稳 定性 结 果 ，

6、 之后 借助 不 等式理 论 得到 了该 系 统 的 有 限 时 间 稳 定性 结 果 本 章给 出了本 文 中常 用 的 一些基 本 概念 ， 性 质 和 重 要结 果 ， 其详 细 内容可 参 见几 个 常 用 函 数为 琣 琁 ， 为 【 凸 ， 可下 鉏 的 可测 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性 玜 ， 蔯 口， 浚 琑 猲 琱 ，由 此 可 得， 对任意 的 非负 整数 仡 ， 有 ， 规 定： 一 剑 眤 不 为整数 时 ； 函 数 通 常 由 积分定义 如下 函 数 有 如下常 用 关 系 式： 函 数 的 概念 及 其性 质 定义 如下： 。

7、 丽 丽 ， 边 拧 琁 躳 时 ， 有 边 舑 ， 躀 口叼 时 ， 有 分数 阶微 积分的 概念 及 其相 关 性 质 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性文献 【 鬜 且 ， 衵 煌 ” 一 口十嗍 薹 善 芜 丽 房 笠 ， 撑 鷕 若 胪 ， ， 则 等式 鑂 月 若 妒 ， ， 则 等式 恽 而 与 小叫卜 一 ：口咄 茛 ，海H 万一丁 ，丁丁篔：一。 ， ” 广“ ： 暌 籵 琸 ， ， ， 一 ，一七 伪 堕 叶脚 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性为 正 整数 时 有 嚣 巾 线 卅 箫 等性 质 柘铝 懈 骱

8、腖 变 换 存在， 则 【 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性由 引理 芍 #撼 踔 滴 侍 釩 等价于 如下的 分数 阶积分方程 噶 瑄 ， 躎 ， 分数 阶微 积分不 等式及 其应用注 是文 的 一个 简单 改 进 瑉 籬 ， 豢 ， 軾 ：证 明设 H 我 庹 凳 搴 如下魄 瑃 【 ， ， 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性 跕 ， 一 浩 】 ， 一 】引理 可鑝： 【 ， 植 縃 模 衣 愣 匀 我 獾摹 阬 ， 瑃 躷 ， 瑃 躷 ， 瑃 躷 则 下式成立 设 骸 総 琓 】 翿为 连 续 可微 的 ， 且 对任意

9、的 琓 】 ， 有则 下式成立接下来 ， 我 们 考 虑 下列 线性 分数 阶积分方程 圪 瑶 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性 紫 龋 眓 时 ， 我 们 有 瑶口 瑶 籵 可 丽 蟋 瑶 趌 假设当 佗 崾 保 式成立 则 七 时 ， 有 ：。 岳 磁 瑶， 昭 茼 等播 粘 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性又 因 为 函 数收敛， 所以最 后 证 明上 述 慊 址匠 因 为 。 醺 酋 骸緉 。 琲 。 ：。 阰 ！ 恕 置 砭 熙暑 磁 ， 则 有 躾 阰 。 弧 阰 ， 初 值 为 ， 其中 琭 罝， 琭 ， 三 珼

10、 一 】 ， ， 全 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性 粝 低 的 零解 是一致 稳 定的 ， 且 对比 ， 嬖 琓 ， 且 包含原 点 ， O低 的 零解 若 【 。 籄 】 口， 分数 阶微 积分不 等式及 其应用 躦 ， 瑃 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性证 明对任意 的 鑥。 为 下列 分数 阶微 分系 统 的 解 黄 瑃 【 ， 卅 ，因 此 夕 辍 涸 夕 ， ， 分数 阶微 积分不 等式及 其应用注 啥 亦 可获得上 述 定理 的 结 果 绻 嬖 诙 省 蔏 使得 妒 躹 ， 芏 ： 芏 叩 安徽大 学博士 学

11、位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性口【 等擎 暌 籺 一 ， 籄 】 方 嚣 ， 輌 ， 瑉 ， 辏 瑉 蔥 ， 罛 。 ， 分数 阶微 积分不 等式及 其应用 而 比 较系 统 的 解 为 仳 一 暌 籺 口 匀 唬 低 牧憬 鈛 是 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性证 明取 函 数 为 ， ， 由 条件 可 得 谏 肷 僖 【 掣 掣 】 芸 一 其中 页 踔 祕 阰 则 系 统 的 零解 是渐 近稳 定的 。 畍 畑 ， 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性阶微 分系 统 的 稳 定性 问题 转化 为 考 察

12、方程系 数 矩 阵 的 特 征值 问题 ， 给 出了重 要的稳 定性 判 定定理 自此 以 后 ， 又 有 很 多 学 者进一步 研 究了线 性 分数 阶微 分系 统 的 稳定性 问题 而 关于 非线 性 分数 阶系 统 的 稳 定性 问题 ， 相 比 较线性 系 统 而 言， 更复杂 ，更困难 目前 ， 也已 有 一些结 果 有 关 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性 分析 的 方法及 详 细的 稳 定性 结 果 ， 读 者可以 参 考 最 近的 文献 【 ， 】 及其所引文献 考 虑 如下分数 阶时 滞微 分系 统其初 始 条件 为曲叫缸 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系

13、统 的 稳 定性当 南时 ， 有 ， 輙 ， ， 即 雤 ， 则 称 系 统 的 虺葡 低 的 零解 在 意 义 下是一致 渐 近稳 定的 设 簅 为 系 统 钠 胶 獾悖 蛳 低 的 零解 是稳 定的 瑇 ， 咿 ， 妒 瑃 ， ， 妒 躹 ， 甌 ， 垆 ， 妒 簍 ， ， 妒 躭 ， 蹺 ， ， 妒 舸嬖 赥 使得 ， ： 妒 及妒 黮 盜 瑃 瑂 ， 我 们 有 ， 妒 籚 琽 蹺 ， 瑂 ， 则 有 瑇 ， 妒 瑉 ， 妒 瑇 ， 妒 ， 妒 瑃 故 ， 存在连 续 函 数 及 泛 函 满足 定理 的 条件 定理 证 毕 ， 咖 菰 刈 畔 低 的 解 ， ， 妒 汉 痽 辏 连 续

14、 可微 且 满足 ， 咖 荨 瑇 ， 妒 ， 妒 瑃 必要性 ： 设系 统 牧憬 馐 且 恢 挛 榷模 啥 的 必要性 的 证 明可 知 ： 解 一致 稳 定 ， 刈 畔 低 的 解 ， ， 妒 汉 痽 辏 连 续 可微 且 满足 ： 尝 ， 阰 ， 妒 瑃 ， 猇 詂 闢 ， 现 蹹 故由 定理 傻茫 低 的时 滞微 分系 统 的 相 应结 论 一致 ， 咖 菰 匀 我 飧 摹 阰 ， 关 于 在咖 处 连 续 其所引文献 见文献 【 ， ， ， ， 】 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性 鲋， 沪 仁 琁 脚 化 钏 删 鳌 可綢定义 线性 泛 函 差 分算

15、 子 如下： 琗 ， 妒 一日 ， 荻 琗 盯 剩 省 蔆 ， 吼 垆 ， 欢 ， 纠 ， 】 ， 輘 ， 】 ， 叫 瑃 琘 蔆 易，的 零解 是一致 渐 近稳 定的 ， 则 称 算 二 珼 是稳 定的 阕 覦 是稳 定的 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性的考 虑 算 子 型 分数 阶中立型 微 分系 统 虺葡 低 的 零解 在 意 义 下是一致 渐 近稳 定的 分数 阶中立型 微 分系 统 的 稳 定性设 篟 躹 ， 咖 躠 多 U 蛳 低 的 零解 是稳 定的 证 明由 式 可知 ， 存在一个 非负 函 数 满足 ： 分数 阶中立型 微 分系 统 的 稳

16、 定性刃 躸 一 等嘞 皇 稹 曷 躸 一 妒 昂 坏 萾 芦 瑉 一 证 明由 式 可知 ， 存在 个 非负 函 数 满足 ： 匀 我 飧 膖 汉 痽 茫 关 于 西 在点 处 连 续 ， 即， 对任意 的 ， 刈 畔 低 的 解 瑃 ， 泛 函 满足 ： 瑇 ， 妒 ， 妒 瑃 ， 赜凇 墼诘 憧 蚀嬖 ， 匀 我 獾摹 邸 蔆 ， 当恻 ， 妒 瑃 篋 ， 妒 蔍 ， 堋 ， 另 一方面 ， 由 式 我 们 有 由 此 可得 彤 川 拓 瑇 ， 垆 南， 沟玫薄韡 刃 ， ， 妒 猺 ， 瑃 瑂 ， 则 。 ， 荨 瑇 ， 妒 瑇 ， 妒 所 以 ， 我 们 有故 ， 定理 得证 瑇 ，

17、 妒 ， 妒 瑃 证 明由 分数 阶微 积分性 质 可 得：的 充 要条件 是存在一个 泛 函 篟且 ； 使得满足 下列 条件 ： ， 咖 躹 ， 咖 躸 瑇 ， 妒 ， 妒 瑃 且 使得下列 条件 成立： 瑇 ， 妒 ， 妒 瑃 证 明充 分性 ： 因 为 矩 阵 荢 稳 定的 ， 故 存在常 数 工 使得 阮拍 。 嚣 骤 】 由 定理 的 条件 ， 妒 瑂 ， 妒 冢 瑃 所 以 存在 ： 使得 式 可得因 为兰 您 产 ， 所以 ， 存在七 。 使得当后 保 幸云 摺 所以 瑇 ， 妒 ， 咖 萑 由 上 式， 我 们 可 以 得到 ， 咖 躽 ， 躹 的解对任意 的 ， 总可取到 充

18、 分小的 沟 ， 赡 又乱 琗 躽 躽 ！ 及 访 琁 万 ， 札 辍莼取。 颈砲， ，由式 瑉 瑂 ， 】 痎，叫斜】由 上 可得 分数 阶中立型 微 分系 统 的 有 限 时 间 稳 定性 子 籆 一 ， ，时 ， 有 下式成立： 则 称 系 统 关于 ， ， 是有 限 时 间 稳 定的 在下述 稳 定性 的 分析 中， 我 们 要用 到 如下引 理 引 理 鑅 海 籌 一 一” 一 海 骸 猻 一 猽 骸 札 一 ” 籚 瑄 ， 由 于片一” 靡 一” 所以引理 证 毕 安徽大 学博士 学位 论 文： 分数 阶微 分系 统 的 稳 定性证 明当 时 ， 对乱 求 导可 得阱 臧朕伲 焊 群 诺 觋 篙 知 ：。 瓸 口 艫 们 有 趚 一 籆 一 】 。 。 。 ， 一 口 一 。 一 甁 泌扛 玞 一 縅 。 省 由 諰 函 数 业 旱氖 樟 残 约 笆 ， 我 们 可以 得到 ， 冢 艫 一 甁 一 欢 】 緼 暌 緼 ， 艫 琲 。 一 】 ，、 卜 齮由 上 可得： 系 统 凇 疽 欢 。 洗 嬖 谖 坏 牧 猓 裕 踔 滴 侍 一 凇 疽 籪 ， 卅 上 存在唯一的 连 续 解 定理 证 毕 口 底 净 產 娜 揣， 妒 最 一 。 一 続 欢 】 最 絀 猻