中考数学压轴题(对称问题、双动点对称问题)

1、.（2014济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，过点A作直线ACx轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A的坐标，判定点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出对称点A的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A是否在抛物线上本问关键在于求出A的坐标如答图所示，作辅助线，构造一对相

2、似三角形RtAEARtOAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A的坐标；（3）本问为存在型问题解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解解答：解：（1）y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，解得抛物线的解析式为y=x2x（2）如答图所示，过点A作AEx轴于E，AA与OC交于点D，点C在直线y=2x上，C（5，10）点A和A关于直线y=2x对称，OCAA，AD=ADOA=5，AC=10，OC=SOAC=OCAD=OAAC，AD=AA=，在Rt

3、AEA和RtOAC中，AAE+AAC=90，ACD+AAC=90，AAE=ACD又AEA=OAC=90，RtAEARtOAC，即AE=4，AE=8OE=AEOA=3点A的坐标为（3，4），当x=3时，y=（3）2+3=4所以，点A在该抛物线上（3）存在理由：设直线CA的解析式为y=kx+b，则，解得 直线CA的解析式为y=x+（9分）设点P的坐标为（x，x2x），则点M为（x，x+）PMAC，要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC又点M在点P的上方，（x+）（x2x）=10解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）当x=2时，y=当点P运动到（2，）时，四边形PACM是平行四边形点评：本

4、题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度第（2）问的要点是求对称点A的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解（2014贵州黔西南州, 第26题16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接

5、写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P，求出P的坐标，并判断P是否在该抛物线上第1题图分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点由SAPE=PEyP，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值（3）由最值时，P为（，3），则E与C重合画示意图，P过作PMy轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P坐标判断P是否在该抛物线上，将xP

6、坐标代入解析式，判断是否为yP即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，解得 ，解析式为y=x22x+3x22x+3=（x+1）2+4， 抛物线顶点坐标D为（1，4）（2）A（3，0），D（1，4），设AD为解析式为y=kx+b，有 ，解得 ，AD解析式：y=2x+6，P在AD上，P（x，2x+6），SAPE=PEyP=（x）（2x+6）=x23x（3x1），当x=时，S取最大值（3）如图1，设PF与y轴交于点N，过P作PMy轴于点M，PEF沿EF翻折得PEF，且P（，3），PFE=PFE，PF=PF=3，PE=PE=，PFy轴，PFE=F

7、EN，PFE=PFE，FEN=PFE，EN=FN，设EN=m，则FN=m，PN=3m在RtPEN中，（3m）2+（）2=m2，m=SPEN=PNPE=ENPM，PM=在RtEMP中，EM=，OM=EOEM=，P（，）当x=时，y=（）22+3=，点P不在该抛物线上点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固（2014攀枝花，第24题12分）如图，抛物线y=ax28ax+12a（a0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（6，0），且ACD=90（1）请直接写出A、B

8、两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）记ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围分析：（1）令y=ax28ax+12a=0，解一元二次方程，求出点A、B的坐标；（2）由ACD=90可知ACD为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，进而求出抛物线的解析式；（3）PAC的周长=AC+PA+PC，AC为定值，则当PA+PC取

9、得最小值时，PAC的周长最小设点C关于对称轴的对称点为C，连接AC与对称轴交于点P，由轴对称的性质可知点P即为所求；（4）直线m运动过程中，有两种情形，需要分类讨论并计算，避免漏解解答：解：（1）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a0），令y=0，即ax28ax+12a=0，解得x1=2，x2=6，A（2，0），B（6，0）（2）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a0），令x=0，得y=12a，C（0，12a），OC=12a在RtCOD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；在RtCOD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12

10、a）2+22=144a2+4；在RtCOD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，解得：a=或a=（舍去），抛物线的解析式为：y=x2x+（3）存在对称轴为直线：x=4由（2）知C（0，），则点C关于对称轴x=4的对称点为C（8，），连接AC，与对称轴交于点P，则点P为所求此时PAC周长最小，最小值为AC+AC设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：，解得， y=x当x=4时，y=，P（4，）过点C作CEx轴于点E，则CE=，AE=6，在RtACE中，由勾股定理得：AC=4；在RtAOC中，由勾股定理得：AC=4AC+AC=4+4存在满足条

11、件的点P，点P坐标为（4，），PAC周长的最小值为4+4（4）当6t0时，如答图41所示直线m平行于y轴，即，解得：GH=（6+t）S=SDGH=DHGH=（6+t）（6+t）=t2+2t+6；当0t2时，如答图42所示直线m平行于y轴，即，解得：GH=t+2S=SCOD+S梯形OCGH=ODOC+（GH+OC）OH=62+（t+2+2）t=t2+2t+6S=点评：本题是典型的二次函数压轴题，综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点，难度不大第（3）考查最值问题，注意利用轴对称的性质；第（4）问是动线型问题，考查分类讨论的数学思想，注意图形面积

12、的计算（2014山东烟台，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，ACB=90，OA=，抛物线y=ax2axa经过点B（2，），与y轴交于点D（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明EDAC的理由分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得（2）通过AOCCFB求得OC的值，通过OCDFCB得出DC=CB，OCD=FCB，然后得出结论（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果解答：（1）把点B的坐标代入抛物

13、线的表达式，得=a222aa，解得a=，抛物线的表达式为y=x2x（2）连接CD，过点B作BFx轴于点F，则BCF+CBF=90ACB=90，ACO+BCF=90，ACO=CBF，AOC=CFB=90，AOCCFB，=，设OC=m，则CF=2m，则有=，解得m=m=1，OC=OF=1，当x=0时y=，OD=，BF=OD，DOC=BFC=90，OCDFCB，DC=CB，OCD=FCB，点B、C、D在同一直线上，点B与点D关于直线AC对称，点B关于直线AC的对称点在抛物线上（3）过点E作EGy轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=，y=x+，代入抛物线的表达式x+=x2x解得x=

14、2或x=2，当x=2时y=x+=（2）+=，点E的坐标为（2，），tanEDG=，EDG=30tanOAC=，OAC=30，OAC=EDG，EDAC点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握(2014年湖北咸宁23（10分）)如图1，P（m，n）是抛物线y=1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H【探究】（1）填空：当m=0时，OP=1，PH=1；当m=4时，OP=5，PH=5；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A

15、，B在抛物线y=1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值分析：（1）m记为P点的横坐标m=0时，直接代入x=0，得P（0，1），则OP，PH长易知当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP（2）（2）猜想OP=PH证明时因为P为所有满足二次函数y=1的点，一般可设（m，1）类似（1）利用勾股定理和PH=yP（2）可求出OP与PH，比较即得结论（3）考虑（2）结论，即函数y=1的点到原点的距离等于其到l的距离要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OBAB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB6，即

16、A、B两点到l距离的和6，进而最小值即为6解答：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5如图1，记PH与x轴交点为Q，当m=0时，P（0，1）此时OP=1，PH=1当m=4时，P（4，3）此时PQ=3，OQ=4，OP=5，PH=yP（2）=3（2）=5（2）猜想：OP=PH证明：过点P作PQx轴于Q，P在二次函数y=1上，设P（m，1），则PQ=|1|，OQ=|m|，OPQ为直角三角形，OP=， PH=yP（2）=（1）（2）=，OP=PH（3）解：如图2，连接OA，OB，过点A作ACl于C，过点B作BDl于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离则有OB=BD，OA=A

17、C，在AOB中，OB+OAAB，BD+ACAB当AB过O点时，OB+OA=AB，BD+AC=AB综上所述，BD+ACAB，AB=6，BD+AC6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6点评：本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习( 2014年河南) (23. 11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(5,0）两点，直线y=x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PFx轴于点F，交直

18、线CD于点E.设点P的横坐标为m。（1）求抛物线的解析式；（2）若PE =5EF,求m的值；（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A (1,0) , B(5,0)两点， 抛物线的解析式为y=x2+4x+53分 （2）点P横坐标为m，则P(m,m24m5）,E(m,m+3)，F(m,0), 点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧， 0m5. PE=m24m5(m3)= m2m24分分两种情况讨论： 当点E在点F上方时，EF=m3. PE=5EF，

19、m2m2=5(m3) 即2m217m26=0，解得m1=2，m2=（舍去）6分 当点E在点F下方时，EF=m3. PE=5EF，m2m2=5(m3)，即m2m17=0，解得m3=，m4=（舍去），m的值为2或8分 (3),点P的坐标为P1(，),P2(4，5), P3(3，23).11分 【提示】E和E/关于直线PC对称，E/CP=ECP;又PEy轴，EPC=E/CP=PCE, PE=EC,又CECE/，四边形PECE/为菱形过点E作EMy轴于点M,CMECOD，CE=. PE=CE,m2m2=m或m2m2=m， 解得m1=，m2=4， m3=3，m4=3+（舍去） 可求得点P的坐标为P1(，

20、),P2(4，5), P3(3，23)。（2014广州,第24题14分）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C点P（m，n）（n0）为抛物线上一点（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标（2）当APB为钝角时，求m的取值范围（3）若，当APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法; (2)存在性问题,相似三角形;(3)最终问题,轴对称,两点之间线段

21、最短【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得: 抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴, (注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5各单位到处 沿轴对称为当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入 即将代入，得：，解得：当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABPC周长最小。（2014四川泸州，第25题，12分）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=x2+mx+b的图象C都经过点B（0，1）和点C，且图象C

22、过点A（2，0）（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；（2）联立y1与y2得，求出点C的坐标为C（，），因此使y2y1成立的x的取值范围为0x，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；（3）第1步：首先确定何时四边形DEFG的面积最大如答图1

23、，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标；第2步：利用几何性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标如答图2，作点D关于x轴的对称点D，连接DE，与x轴交于点P根据轴对称及两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小利用待定系数法求出直线DE的解析式，进而求出点P的坐标解答：解：（1）二次函数y2=x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2，0），解得l：y1=x+1；C：y2=x2+4x+1y2=x2+4x+1=（x2）2+5，ymax=5；（2）联立y1与y2得：x+1=x2+4x+

24、1，解得x=0或x=，当x=时，y1=+1=，C（，）使y2y1成立的x的取值范围为0x，s=1+2+3=6代入方程得解得a=；（3）点D、E在直线l：y1=x+1上，设D（p，p+1），E（q，q+1），其中qp0如答图1，过点E作EHDG于点H，则EH=qp，DH=（qp）在RtDEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（qp）2+（qp）2=（）2，解得qp=2，即q=p+2EH=2，E（p+2，p+2）当x=p时，y2=p2+4p+1，G（p，p2+4p+1），DG=（p2+4p+1）（p+1）=p2+p；当x=p+2时，y2=（p+2）2+4（p+2）+1=p2+5，F（p+

25、2，p2+5）EF=（p2+5）（p+2）=p2p+3S四边形DEFG=（DG+EF）EH=（p2+p）+（p2p+3）2=2p2+3p+3当p=时，四边形DEFG的面积取得最大值，D（，）、E（，）如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D，则D（，）；连接DE，交x轴于点P，PD+PE=PD+PE=DE，由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小设直线DE的解析式为：y=kx+b，则有，解得直线DE的解析式为：y=x令y=0，得x=，P（，0）（2014海南,第24题14分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0），F

26、（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，1）；连接PM2

27、，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小解答：解：（1）对称轴为直线x=2，设抛物线解析式为y=a（x2）2+k将A（1，0），C（0，5）代入得：，解得，y=（x2）2+9=x2+4x+5（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2设P（x，x2+4x+5），如答图2，过点P作PNy轴于点N，则PN=x，ON=x2+4x+5，MN=ONOM=x2+4x+4S四边形MEFP=S梯形OFPNSPMNSOME=（PN+OF）ONPNMNOMOE=（x+2）（x2+4x+5）x（x2+4x+4）11=x2+x+=（x）2+当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标

28、为（，）（3）M（0，1），C（0，5），PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为3令y=x2+4x+5=3，解得x=2点P在第一象限，P（2+，3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，1）代入得：，解得：m=，n=，y=x当y=0时，解得x=F（，0）a+1=，a=a=时，四边形PMEF周长最小点评：本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称最短路线的性质试题计算量偏大，注意认真计算（2013湖南张家界，25，12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=O