矩阵的逆及其应用

1、矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：一、 矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得，则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，的逆矩阵记作-。二、 逆矩阵的性质和定理1 逆矩阵的性质1、 若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为B-1 A-1，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。若，都是阶可逆矩阵，则也可逆，且（）-（）-（）-（）-.2、 若A可逆，则A-1也可逆，且（A-1）-1=A；3、 若A可逆，实数0，则A可逆，且（A）-1=1A-1；4、 若A可逆，则AT也可逆，且（AT）-1=（A-1）T；5、 A-1=A-1；6、 矩

2、阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有=E=，（）（）（与矛盾），所以是唯一的。2 逆矩阵的定理、 初等变换不改变矩阵的可逆性。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是与阶单位阵等价。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是可以表成一些初等矩阵的乘积。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是。三、 逆矩阵的计算方法1 定义法定义：设是阶方阵，如果存在阶方阵使得，那么称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，记为-。例、 求矩阵-的逆矩阵。解：-存在设-，由定义知-，-由矩阵乘法得-由矩阵相乘可解得-；-；-故A-1=1-4-31

3、-5-3-1642 、伴随矩阵法阶矩阵（）可逆的充要条件，而且当（）阶矩阵有逆矩阵，-*，其中*为伴随矩阵。注释：对于阶数较低（一般不超过阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意*（）元素的位置及符号。特别对于阶方阵，其伴随矩阵*-，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵。例、 已知-，求-。解：可逆，由已知得-，-，-，-*-3 、行（列）初等变化法设阶矩阵，作矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块变为，则子块将变为-，即初等变换，-。注释：对于阶数较高（）的矩阵，采用初等行变换求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用

4、上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换。也可以利用初等列变换-求得的逆矩阵。当矩阵可逆时，可以利用，初等行变换，-，初等列变换-求得-和-，这一方法的优点是不需要求出的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了-和-。例、 用初等行变换求矩阵的逆矩阵。解：，-4 、用分块矩阵求逆矩阵设、分别为、阶可逆矩阵，则：-例、 已知-，求-。解：将分块如下：-其中-可求得-*-，-*-5 解方程组求逆矩阵根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由-两端对应元素相等，依次可得只含有一个待求

5、元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵。例、 求的逆矩阵。解：设-，先求出-中主对角线下的次对角线上的元素，最后求，设为阶单位矩阵，比较的两端对应元素，得到；解得-；解得-；解得-；解得-；于是，所求的逆矩阵为：-6 、用克莱姆法则求解若线性方程组的系数行列式，则此方程组有唯一的一组解，这里是将中的第列，换成，得到的行列式。7 、恒等变形法求逆矩阵有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。8 、用Hamilton-Caley定理求逆矩阵Hamilt

6、on-Caley定理：设是数域上的阶矩阵()=| |-为的特征多项式，则：(A)=| E-A|=An+a1An-1+anA+anE=0于是（-）因此-（-）9 、三角矩阵的一种求逆法如果阶矩阵t11t120t22t1n-1t1nt2n-1t2n0000tnn可逆，那么他的逆矩阵是T=t11-1t11-1a120t22-1t11-1a1n-1t11-1a1nt22-1a2n-1t22-1a2n0000tnn-1其中aii+1=-ti+1i+1-1tii+1,(i=1,2,，n-1)aij+1=-tij-1tij-kjtiktkk-1,(i=1,2,，n-2;j=3,4,，n)10 、拼接新矩阵在

7、可逆矩阵A的右方补上一个单位矩阵E，在A的下方补加上一个负单位矩阵-E，再在A的右下方补加上一个零矩阵0，从而得到一个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵-E化为零矩阵，那么原来的零矩阵0所化得的矩阵就是所要求的那逆矩阵A-1。四、 矩阵的逆的应用(1) 逆矩阵在解线性方程组中的应用设用矩阵表示的方程组为，其中ijnnX=x1 x2 xnT B=b1 b2 bnT若A可逆X=A-1B注：利用逆矩阵求解要求方程个数与未知数个数相等，且矩阵A可逆，否则此法失效。而Gauss消元法对方程组个数与未知元个数不等时仍适用（此时有可能不相容或有无穷多个解）。且Gauss消元法特别适合于

8、计算机计算。(2) 逆矩阵在求矩阵的秩中的应用设A是mn矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)n阶矩阵A的秩为n|A|0A可逆。(3) 逆矩阵在信息科学中的应 算法的加密原理信息发送端首先根据密钥矩阵A的阶数（|A|=n）,将明文转换为n维数向量X，然后将X与A相乘得到密文Y，既Y=AX，再将Y发送，信息端接受到Y后，则利用密钥矩阵A-1Y=A-1A。加密通信模型基于加密技术的保密通信模型，发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。密钥的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩阵作为解密密钥是利用可逆矩阵实现保密通信的关键。， 加密密钥的生成初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。因此通信中可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密编码矩阵。它的生成方法如下：从单位矩阵出发，反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它，而其中的乘数必须取整数。这样得到的矩阵将满足，而-也将具有整数元素。通常所谓的矩阵的三种基本类型的初等变换如下：交换两行或两列；数乘某一行或某一列；将某一行（或某一列）的倍加到另一行（或另一列）上；实质上只有和两种是独立的，可以通过和来表示。， 解密密钥的生成设，其中i是