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文档简介

1、对称性在二重积分中的应用,高等数学（同济大学第五版）,主讲：张晓斌,中国民航大学理学院,中国民航大学理学院 张晓斌,一、 常用的有关二重积分的对称性定理,二、定理的应用（典型例题分析）,三、小结,主要内容,中国民航大学理学院 张晓斌,一、 常用的有关二重积分的对称性定理,定义 1：若二元函数 的定义域 关于轴对称，且满足 （或 ），则称 关于 为奇（偶）函数。,定义 2：若二元函数 的定义域 关于轴对称，且满足 （或 ），则称 关于 为奇（偶）函数。,中国民航大学理学院 张晓斌,定义 3：若二元函数 的定义域 关于 直线 对称，且满足 ， 则称 关于 和 对称。,定理 1 若有界闭区域 关于

2、轴对称， 在区域 上连续， 则,当 关于 为奇函数时,当 关于 为偶函数时,中国民航大学理学院 张晓斌,定理 1 若有界闭区域 关于 轴对称， 在区域 上连续， 则,当 关于 为奇函数时,当 关于 为偶函数时,中国民航大学理学院 张晓斌,推论 1.1 若 有界闭区域 关于 轴 和 轴都 对称， 在区域 上连续，且 关于 和 均为偶函数，则,中国民航大学理学院 张晓斌,定理 2 若有界闭区域 与区域 关于直线 对称， 在区域 上连续，则,中国民航大学理学院 张晓斌,推论 2.1 若 有界闭区域 关于直线 对称， 在区域 上连续，则,中国民航大学理学院 张晓斌,例1.,如图，由于积分区域 关于 轴

3、， 轴都对称，且 和 中的被积函数分别关于 是奇函数，根据定理1和定理1得,计算 其中,解：,中国民航大学理学院 张晓斌,二、定理的应用,例2. （总习题九 1(2)）.,则,提示: 如图 ，,A,设有平面闭区域,中国民航大学理学院 张晓斌,例3. 有一个平面薄片, 在 平面上占有区域 其面密度为 ，求该薄片的质量M。,由于积分区域 关于 轴， 轴都对称，且 被积函 数关于 都是偶函数，根据推论1.1得,中国民航大学理学院 张晓斌,解：根据二重积分的物理意义，,2014.3,例4. 设 在 连续，且,证明,证明:,补区域 使其与区域,注意到被积函数关于 和 对称,考虑利用定理2，,关于直线 对称。,例5.,中国民航大学理学院 张晓斌,设 为取值恒大于0的连续函数，区域 ， 与 是两个 非零常数，则二重积分,解：由于区域 关于直线 对称，根据 推论2.1可得,从而,中国民航大学理学院 张晓斌,三、小结,本节给出了几种常用的有关二重积分的对称性定理，并通过例题分析对这些定理做了应用，讨论了利用积分区域的

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