复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案

1、 复合函数 一， 复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=fg(x),其中u称为中间变量。 二， 对高中复合函数的通解法综合分析法 1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程 例1：指出下列函数的复合过程。 2 2 1-x2-x (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos（1）y=解：() y=2-x2是由y=u,u=2-x2复合而成的。 （2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的

2、。 （3）y=sin3x=(sinx)-3 y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。 （4）y=3cos1+x2是由y=3cosu,u=r,r=1+x2复合而成的。 2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。 看下例题：例：已知f(x+3)的定义域为1、2,求f(2x-5) 的定义域。 经典误解：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。 F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。 由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11 f(u1)的定义域为1、2 x2 -92x-11-6 即：

3、y=f(u2)的定义域为-9、-6 f(2x-5)的定义域为-9、-6 经典误解：解：f(x+3)的定义域为1、2 1x+32 -2x-1 -42x-2 -92x-5-7 f(2x-5)的定义域为-9、-7 （下转2页） 注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=fg(x),其中u称为“中间变量”。从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成（x+3）的取值范围，从而导致错误。而从定义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变

4、量也不是因变量。复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x的取值范围。 正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1x2)复合而成的。 f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的 x12 4u15 4u25 42x2-55 2x25 1 f(2x-5)的定义域为、5 结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u为第一层，x为第二层，一、二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解与的情况。 三、

5、高中复合函数的题型（不包括抽象函数） 题型一：单对单，如：已知f(x)的定义域为-1,4,求f(x2)的定义域。 题型二：多对多，如：已知f(x+3)的定义域为、,求f（2x-5）的定义域。 （下转3页） 题型三：单对多，如：已知f(x)的定义域为0、1,求f(2x-1)的定义域。 题型四：多对单，如：已知f(2x-1)的定义域为0、1,求f(x)的定义域。 注：通解法综合分析法的关键两步：第一步：写出复合函数的复合过程。 第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母（最为关键） 下面用综合分析法解四个题型 题型一：单对单：例3：已知f(x)的定义域为-1、4,求f(x2)的定义域。 第1步：写

6、出复合函数的复合过程：f(x2)是由y=f(u),u=x22复合而成的。 （由于要同层考虑，且u与x的取值范围相同，故可这样变形）f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。 f(x)的定义域为-1、4 第2步：找出复合函数定义域的真正对应-1x14 即-1u4 又u=x22 -1x224 (x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出) -2x22 f(x2)的定义域为(-2,2) 结论：此题中的自变量x1,x2通过u联系起来，故可求解。 题型三：单对多：例4：已知f(x)的定义域为0,1,求f(2x-1)的定义域。 第1步：写出复合函数的复合过程：f(x)是由y=f(u),u=x1复合

7、而成的。 f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1复合而成. 第2步：找出复合函数定义域的真正对应：0x11 0u1 02x2-11 x21 f(2x-1)的定义域为，1 结论：由此题的解答过程可以推出：已知f(x)的定义域可求出y=g(x)的定义域。 下转4页 题型四：多对单：如：例5：已知f(2x-1)的定义域为0、1,求f(x)的定义域。 第1步：写出复合函数的复合过程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1复合而成的。 f(x)是由f(u),u=x2复合而成的。 第2步：找出复合函数定义域对应的真正值：0x11 02x12 -12x1-11 -1u1 -1x21 f(x)的定

8、义域为-1、1 结论：由此题的解答过程可以推出：已知y=fg(x)的定义域可求出f(x)的定义域。 小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过u这2 个桥梁将x1与x2联系起来解题。 题型二：多对多：如例6：已知f(x+3)的定义域为1、2,求f(2x-5)的定义域。 解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：已知 f(x)的定义域可求出y=fg(x)的定义域”已知y=fg(x)的定义域可求出f(x)的定义域可以推出f(x)与y=fg(x)可以互求。若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知y1=f(x+3)的定义域，故这里f(x)成为

9、了联系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，其作用与以上解题中u所充当的作用相同。所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出f(x)，再以f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下： 第一步：写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3复合而成的。 f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5复合而成的。 第二步：求桥梁f(x)的定义域：1x2 4x+35 4u5 设：函数y3=(u),u=x 下转4页 y3=f(x)的定义域为4、5 第三步：通过桥梁f(x)进而求出y2=f(2x-5):f(x) 是由y3=f(u),u=x复

10、合而成的 4x5 4u5 42x-55 x25 f(2x-5)的定义域为：5 小结：实际上，此题也可以u为桥梁求出f(2x-5), 详参照例2的解法。 四、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。 如：例7：已知函数y=f(x)的定义域为0、1，求函数y=f(x2+1)的定义域。 解：函数f(x2+1)中的x2+1相当于f(x)中的x(即u=x2+1,与u=x) 0x2+11 -1x20 x=0 定义域为0 小结：本题解答的实质是以u为桥梁求解。 例8：已知y=f(2x-1)的定义域为0、1,求函数y=f(x)的定义域。 解：由题意：0x1（即略去第二步，先找出定义域的真正对象）。 -12

11、x-11(即求出u,以u为桥梁求出f(x) 视2x-1为一个整体（即u与u的交换） 则2x-1相关于f(x)中的x(即u与u的交换，f(x)由y=f(u),u=x复合而成，-1u1, -1x1) 函数f(x)的定义域为-1、1 总结：综合分析法分了个步骤 写出复合函数的复合过程。 找出复合函数定义域所指的代数。 找出解题中的桥梁（u或f(x)可为桥梁） 浅析复合函数的定义域问题 一、复合函数的构成 ?B，是的函数，是到设上的函数，且到)(?xgu?()yfuCBBBA3 当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由uy)g(xy?f(CCAB外函数和内函数复合而成的复合函数。 )x

12、?gf(x)(uy?说明： 复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。 x)(xy?f(g称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。 uxu)g(x与表示不同的复合函数。 )f(x)xg(f(g例1设函数，求 )f(x(x),gx)?3x?5(f(gf(x)?2x?3,g(，则复合函数中， 若的定义域为MM)?f(x)g(x)f(g(xM?M注意：的值域 )(xg例2： 若函数的定义域是0，1，求的定义域； )2f(x)xf(1?若的定义域是-1，1，求函数的定义域； )2x?1)xf(f(?54,?，求定义域已知定义域是 )32x?f()(x?3f要点1：解决复合函数问题，一般先将

13、复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答： 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函)uf(1?2x)?f(yx?2u?1数 函数的定义域是0，1， )xf(?B=0,1，即函数的值域为0，1 x1?2u?， 1x?1?201，即， ?x0?0?1?2x? 21函数的定义域0， )f(1?2x 2 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函)f(2x?1uf(y)?1x?2u?数 的定义域是-1，1， )1f(2x?A=-1,1，即-1， 1?x?,即的值域是-3，1， 1u?1x?2?23?x1的定义域是-3，1 )y(f?x4 xAA)?)g(x)xfg

14、(xf(的集的定义域就是不等式的定义域为的，要点2：若已知则Af(x)g(x)(x?A)fg(x的值域。的定义域为合；若已知 ，则的定义域就是函数 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数 )u?f(y)?3f(x3u?x?的定义域是-4，5), )?3?f(xA=-4,5)即， 5?4?x?即的值域B=-1，8） 3x?u?1?x?3?8又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，)u?f(2x?3)f(y32x?u?BA而,从而的值域 )81,B?32?x?uB?B 8?3?1?2x ,11x?2?211 ?x1 211） 的定义域是1，)3(2x?f 2例3：已知函数定义

15、域是（a,b），求的定义域 )1(3x?(3x?1f(x)?fF(x)?fb?1a?1?x? x?1?ba?3?33?， 解：由题，?a?1b?1a?3x?1?b?x? 33?a?1b?1? 当，即时， 不表示函数； )(xF2b?b?a?33?a?b?a?1b?1? 当，即时，表示函数， )xF(2a?b?33?a?b?a?1b?1其定义域为 ),( 33 说明： (a,b)，求的定义域的方法：的定义域为已知 )(xf)xf(g(u)，bx)(af(的已知，求的定义域为的定义域。实际上是已知中间变量的)g(xf(xg(x)?(a，bx?g()?b)a)，ba?u(通过解不等式，即求得的范围，

16、取值范围，。即为的定义域。 )(fgx5 的定义域的方法：(a,b)，求 已知的定义域为)xf()(xf(g)(xb(a，)f的定义域。实际上是已知复合函数的定义域为，求若已知)xg(f(xbx?a?)(b)xgx?(a，的范围，求得直接变量的取值范围，即。先利用)(g(xf)(xx)f(x)fg(的解析式形式所要求定义域真包含即使函数的范围即是的定义域,则)xfx)(x)f(g(x)g(因为要确保所求外含数的值域，也应以的值域做为所求的定义域，)xf(将失去解决问题的有效与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数)xf(x)f(的定义域不，如果外函数的外函数性。换元法其实质就是求复

17、合函数)x(f(g)xf(x)(g 的最值或值域。等于内函数就确定不了的值域，那么)(xf(g ：已知函数例4,x)?x1?f(x)(x?1 的值域。求)(xf1x?u(x)? 分析：令，；)(x?121u)?u?g(u ， 则有)0(u?)(xf221x)?x?u(，与而复合而成，复合函数是由1?u?u?1?ug(u)g(u)?u?)?0(u)(xf21u?u?g(u)其值域则不等于复合函数的本身定义域为的值域，但,的值域即R)(xf 的值域了。2x)xf(2lgf(x?3)? 例5：已知函数，求函数的解析式，定义域及奇偶性。 26?x2x2lg?3)f(xx?66x?x?| 或分析：因为

18、定义域为 2x?6u?32u3xu? ，且， 令；则lg)?f(u33u? u?3x?3f(x)是非奇非偶函数。 ，定义域不关于原点对称，故 所以3f(x)xlg?,? x?3912?a a?，a?，q?，则n为 （ 1在等比数列 中，已知） nn1833 A2 B3 C4 D5 ?a?a?a?aa 等于 ，则 2设 的等差数列，若是公差为2 50?a?a?a?a?99693n97174 （ ） 132 A82 BDC82 132 6 1?1?a(n?2)a?a?aa?（ 中给出，则 3已知数列以后各项由公式） 1n1nn?4n(n?1)4477? C D A B 44 77?9,b,b,b?

19、1(a,a,?1a?a)b?9,等于（ 成等比数列，则成等差数列，）已知4 3212112299? C8 BD A8 88 5在3和9之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是 （ ） 45279 D9 C A B 244?nSa?a?10Sa= 的前 项和为 ，若 （，则 ）6等差数列 173n19n A190 B95 C170 D85 ?aa?2aa?aa?36a0?N,a?n， 是等比数列，对7已知恒成立，且n623541na?a等于 （ ） 则526?6 D A36 BC6 ?aaSa?a 0?d的前n项和，则（ 是数列中， ，公差） ；8已知等差数列nn

20、n93S?SS?SS?0S?S AC BD66655659已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为 （ ） A2 B4 C8 D16 *a.a?a?a?ak为整数的数)Nk?(叫做希望10已知数列满足：，定义使2)(a?logn?k3n211nn?M ）（ 内所有希望数的和数，则区间1，2010 2048 D2036 C 2046 A2026 Bbbab=5aa+ba，、11已知数列，都是公差为1、的等差数列，其首项分别为，且111n11n1+a)?、b?NN(na的前10项的和等于 （ ，则数列） b11n95 D85 A65 B75

21、C?2S?38S0?aa?aam?（ 12等差数列， 的前n项和为 ，已知）,则 m1m?m?11?2mnn A38 B20 C10 D9 . 16分把答案填在横线上4小题，每小题4分，共二、填空题：本大题共. _ 4,6,8,1013已知数列前4项为，则其一个通项公式为 a?a12?成等比数列，则, bb, 4, b成等差数列，, 4, a已知 _141, a1, 31212 b27 Slog(S?1)?naa= 15已知数列 ,则的前n项的和满足nn2nn a?2，它们按以下规个，记为16甲型h1n1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时20律进行分裂，1 小时后分裂成4个并死去1

22、个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成aa=_(用n表示，则) 1 个，,记n小时后细胞的个数为 10个并死去nn三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分12分） aa?1a?5已知数列是一个等差数列，且， 5n2aa；的通项 （1）求nnaS的最小值 前 （2）求n项和 nn 18（本小题满分12分） ?a1?ba2?bbb. 的等差数列；若数列满足，是首项为1，公差为已知1nn?1n1nn?b的通项公式； （1）求数列 n2?b?bb. ）求证： （21?2nn?n 参考答案 一、选择题 912921?n?1?1na?，(?，q

23、?aa，?aaq?)? ：；解析等中；列比数，C1 n1n1n338833223n?14,n?31n?，)(?)( ； 338 ?a 的等差数列，B；解析：因为是公差为22n)d?2?)?(a?2d)?(a?2d?a?aa?a?(a?2d)?(a 974139769982?132?2d?50?a?a?a?33?a? ；974171111?aa?1?)?2n?(a?a，所以A；解析：因为 ，3 121nn?211)2(2?)1n?n(711111111?a?a?a?1?1?a ，； 34234144?1)1)12234(3(3?89)1?(?a?a a4D；解析：9，a，1成等差数列，所以；21

24、 123?14,b,b?1?9,b(a?a)b?831)?b?(?9)?(?；成等比数列，所以 31222129?x? 45?22?3y,2xy?x?9x?y?yx,； ；解得；解析：设中间两数为，则，所以5A? 274?y? 4?19?(a?a)19?(a?a)171193?95S；B；解析： 6 1922?2a?a?636?a)(2aa?aa?a?a?n?N,a?0a?； ；解析：；，7D5n642123552 a?0,a?0a?a?0a?0a?0a?0aa?0?d；，且8D；解析：，759336993S?S； 65170S?q?S，q，则有2； 9C；解析：设该等比数列的公比为q，项数为

25、2n 85奇偶2n)(1?qa2n1170?S85?S?S?1?2255，2n，8，故这个数列的项数为8；又 n2奇偶1?qa?a?La为整数得 ，由10A；解析：2)?(na?logk121n?nmm2)(k?logLlog(k?2)?3log?log42?k?2， 为整数，设为，则2k2(?31)m11?22048k?2?2， ；因为?1043220101间，2?2,2?2,2?2,?,2?2，内所有希望数为区 10324?2?M222222?22026；其和 11C；解析：应用等差数列的通项公式得9 a?a?n?1,b?b?n?1;11nn 11)?n?1?a?(b?a?a?b?1b1n

26、1n?a?b?n?2?5?n?2?n?3;1110(4?13)a?85； 也是等差数列，且前10数列项和为 b 2n?22a0?a?aa?2aa?a?aa，得：2；解析：因为是等差数列，所以，由12Cmm11mm?1m?m?1m?mn(2m?1)(a?a)1?21m38S?a，即380，所以，2，又 m12m?2 即（2m1）238，解得m10 二、填空题 a?2(n?1)4项分别可写成： ；解析：该数列的前13na?2(n?1)4?12?(3?1),2?(2?(1?1),2?(2?1),；，所以数列的通项公式为 n5a?a?1?4?5；1, b, b, b, 414成等比数列，；解析：1,

27、a, a, 4成等差数列，32211 2125a?a222b?04?4b?1?qb?1?21；，又；， ? 2222b2n?1nnlog(S?1)?nS?1?2S?2?12，；解析：由15得 n2nnnn?1nn?1n?1a?S?2?1?1a?S?S?(2?1)?(2?1)?2?2?2；， 1?nnn11n?1a2；= nna?4?1?3a?2a?192?5?1?a?2?3?1?5a?1?2；解析：；按规律，16，n?11n32?nn1)2(a?a?1?a2?a?11a?2?1=是等比数列，其首项为2，公比为2，即故， nn?1nnn23na?3?2?1a1?2?1a?9a?5?22?1，猜想

28、出，（本题也可由）= ，321n三、解答题 a?d?1?1dad?23?a?的公差为，）设，由已知条件，解出 17解：（1?1na?4d?5?1a?a?(n?1)d?2n?5 所以 6分 1nn(n?1)22n?2S4?n?2)(?n?4dnaS?n?4取到最小值时， （2）所以 n1n2 12分 nna?nb?b?2b?b?2.（，即从而2118解：（）由已知得分） .nn?1nn?1nb?(b?b)?(b?b)?L?(b?b)?b 1?1?nnn1nn22110 n21?n?2?1nnL1?22?2?1?2?分） （6 . 21?2?12nn?2n1)(2?(2?1)?b?b?b?(2?1

29、) ）因为（212nn?n?n?22n?2n2n?2n?2n0?(21)?(2?22?22?1)? ，2b?b?b 分） （12 . 1?n2nn?3333?aS?a?S?2?n 19解：（1；时，当）由已知得 1nn?n1n?22223333aa?3a?S?a?aa?aS?2n? 时，即，当； 1nn?1nn?1n?1nn?nn2222a3q? （4分） 数列 为等比数列，且公比 ；n33333a?a?aS?a1?n 又当，即时，； 111112222n3a? 6分） （ . n1111n?bnlog3?loga? ，； （2） 3n3n1?n?1)nnalog?logan(1nn33? （

30、9分） n11111111n?Lb?)?(?(?1?)?)?)T?(1?(?. 项和的前 nn1n?n?134n2n23?1 （12分） 2aaaaaa= 1.已知等比数列=1，的公比为正数，且，则=29n3125212 D.2 B. C. A. 22?22428a2?qqqqa?a?2aq的公比为正数，【解析】设公比为,由已知得又因为等比数列,即,n111 a21 2q?2?a?B 选,所以故, 12q211 aSaa与aS?32Sn等于.若 是3.公差不为零的等差数列则 ,的前的等比中项项和为, 1083n4n7A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 56220d?2a?3)d?6

31、2d)(a(a?3d)?(a?a?aad?32?8a?S得 得【解析】由再由得, 1117341182903?d?2,a8d?2a?7d?6010a?S?,.,则所以故选C 111102?a?11SaS?3a等于，则( ) 4.设的前是等差数列n项和，已知，67n2nA13 B35 C49 D 63 7(a?a)7(a?a)7(3?11)6712?S?49.故选C. 【解析】 7222a?a?d?3a?1?121a?1?6?2?13.? 或由, ?7a?a?5d?11d?2?167(a?a)7(1?13)71?49.S?所以C. 故选 722aSaS =6，等于=4，5.等差数列 则公差d的前

32、n项和为，且1n3n5 C.- 2 D 3 1 B A 33a?a?2d a=4 ? d=2)?S6?(a?a.解析故选C 且 1313132?aaaa0,则公差d为等差数列，且26.已知 1, 347n11 C. D.2 2 B.A. 221 【解析】a2aa4d2(ad)2d1 ? d3347 2aaaaa的等比中项，则数列的前10，项之和是是7.（等差数列 的公差不为零，首项和1512n1 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 2dS)1?4dd(1?)?1?(dd100 2.【解析】设公差为，解得，则0，10x?3解析式而言，定义域是关于原点对称的，且然而只就，所以)x

33、?f(f(?x)?lg)?f(x x?32?3?xu，是奇函数。就本题而言就是外函数其定义域决定于内函数的值域，)f(u3u?而不是外函数其解析式本身决定的定义域了。 )uf(2求有关复合函数的解析式， 2?1x,?f(x)求；例6已知 )1(fx?2?1)(?x?1)?(fx1，求 已知)(fx12 1已知 ，求； 例7)(xf?x?1)?f(x x112 已知，求)1f(x?xx(?)?f 2xx 要点3：x)g(x(x)f(x)xf()fg 换成即可。已知求复合函数的解析式，直接把中的)f(xfg(x) 已知求的常用方法有：配凑法和换元法。x)g(g(x)xf配凑法就是在的表达式先凑成中

34、把关于变量整体的表达式，再直接x)(x)g(xf而得把换成。 xxxtt)g(?tx换元法就是先设，再把，从中解出的式子）直（即用（关于表示）xxt)f(ttf()x)f(x(fg，这种代换，最后把接代入中消去直接换成得到中的即得 遵循了同一函数的原则。 ，求已知是一次函数，满足；例8)1x?)?2f(x?1)?2x?17f(xf()x3f(1 ，求已知)xf(x?4f3f(x)?2() x ：要点4 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。求函数的解析式。已 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 )f(x)?xx)f(f(、是未知量外，还出现其他未知量，如满足某个等式，这个等式除知1)xf()f( 。等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出 x 二、练习：2)?223?221)?f(2xf1)?x2?xf( 已知和，求2?1x?1?22x2