西电纠错码课件---第四章 多项式环及循环码

1、第四章 多项式环与循环码,课件下载地址 密码:111111,一种特殊的线性分组码,循环算子L：对n重码字A=(an-1, an-2, an-3, , a2, a1, a0)，有B = L(A) = (bn-1, bn-2, bn-3, , b2, b1, b0) = (an-2, an-3, , a2, a1, a0, an-1) 循环特性：对任意许用码字C，则L(C)也是许用码字 循环码： 一个 (n,k )线性码C，如果每个码字的循环移位仍是一个码字,称该码为循环码。,循环码的描述,问题：如何构造和描述一个循环码？满足什么样条件的循环码可以有较好的距离特性？,多项式的引入,如果将码字描述成

2、n阶多项式的形式，A(x)= an-1xn-1+an-2xn-2 +an-3xn-3+ +a2x2+a1,x+a0，则循环算法就可以描述为L(A(x)=xA(x) mod (xn-1) 便于描述：对任何一个多项式D(x)，有D(x)A(x) mod (xn-1)为许用码字，这里并没有限定D(x)的幂次，但可以肯定的一点是不同的D(x)A(x) mod (xn-1)是有限的，其个数由A(x)决定，这也决定了码集的冗余度和纠错能力，什么样的A(x)可以得到什么样的冗余度？哪些A(x)是等价的？,第一节 多项式与多项式环,要求掌握的内容,多项式剩余类环 循环群,一、复习几个概念,同余、剩余类 群 环

3、 域,同余和剩余类(p23),同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则称a、b关于模m同余，记为,剩余类(Residue)：给定正整数m，可将全体整数按余数相同进行分类，可获得m个剩余类，分别用,群(Group)的定义(p26),设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “ 。”，若满足：,1) 封闭性。对任意,，恒有,则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元,环(Ring)的定义(p30),非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足： 1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性 3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律,

4、子环、理想和主理想(P101,子环：若环R中的子集S，在环R中的定义的代数运算也构成环，则称S为R的子环。 理想：S是R的一个子环，若S中的元素由某几个元素及其所有可能的倍数构成，则S是一个理想 主理想：若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线性组合生成，则称这个理想为主理想。,二、多项式剩余类环(P103),有关多项式的几个概念 多项式的加法和乘法 多项式剩余类环的定义,多项式 f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+ f1x+f0,其中,i=0,1,n，该多项式称为域Fp上的多项式,多项式次数 degf(x) 系数不为零的x的最高次数称为多项式f(x)的次数,首一多项式 最高次数的系数为1

5、的多项式,有关多项式的几个概念,既约多项式 设f(x)是次数大于零的多项式，若除常数和常数与本身的乘积以外，再不能被域Fp上的其他多项式整除，则称f(x)为域Fp上的既约多项式 多项式的因式分解问题、根的问题,有关多项式的几个概念,f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+ f1x+f0,g(x)=gnxn+ gn-1xn-1+ g1x+g0,若对所有i, fi=gi, 则f(x)=g(x),多项式加法,f(x)+g(x)=(fn + gn)xn+ (fn-1 + gn-1)xn-1+ (f1 + g1)x+(f0 + g0),多项式乘法,结论：按上述定义的加法和乘法运算，Fpx构成一个具有单位

6、 元、无零因子的可换环,多项式的加法和乘法,定义：以一个Fp上的多项式f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+ f1x+f0为模的剩余类全体构成一个多项式剩余类环 Fp上的所有次数小于n-1的多项式构成n次多项式的剩余类全体,剩余类之间的加法和乘法运算规则,多项式剩余类环,1、GF(2)上的多项式 f(x)=x2+1的剩余类全体为：,2、GF(2)上的多项式 f(x)=x2+x+1的剩余类全体为：,对所定义的加法和乘法运算，前者构成剩余类环，后者构成域,结论：若n次首一多项式f(x)在域Fp上既约，则f(x)的剩余类环构成 一个有pn个元素的有限域,Examples,两个结论,多项式环Fpx的

7、一切理想均是主理想 多项式剩余类环Fpx/f(x)中的每一个理想都是主理想。,第2节 循环码的描述,要求掌握的内容,定义 循环码的代数性质 循环码的生成多项式和校验多项式 循环码的生成矩阵和校验矩阵 循环码的系统码形式,定义1：设CH是一个n.k线性分组码，C1是其中的一个码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中的一个码字，则称CH是循环码。,一、循环码定义,将码字 看成如下多项式的系数:,循环码码字与多项式之间的关系,因此，循环码的每个码字对应一个次数小于等于n-1的多项式。,若 ，则V(x)为n-1次多项式，若vn-1=0。则V(x)为次数小于n-1的多项式。,并且，码字与多

8、项式之间是一一对应的。,二、循环码的代数性质,假设有两个码多项式,则有,二、循环码的代数性质,定理4.1 循环码C中次数最低的非零码多项式是唯一的。,由于循环码是线性码，因此,证明：令,为循环码中次数最低的一个非零多项式。假设该多项式不唯一，即存在另一个次数为r的多项式,是一个次数比r更低的码多项式。,二、循环码的代数性质,定理4.1 循环码C中次数最低的非零码多项式是唯一的。,即,证明：若,则 是一个次数比r更低的非零码多项式。,因此，g(x)是唯一的。,这与假设相矛盾，因此必有,二、循环码的代数性质,定理4.2 令 为循环码C中最低次数的非零码多项式，则常数项g0一定等于1。,证明：假设,

9、这与之前假设g(x)是次数最低的非零码多项式相矛盾。,则,上式表明，如果将g(x)循环左移一位，可以得到一个次数低于r的非零码多项式,因此，必有,由定理4.2可知，次数最低的非零码多项式具有如下形式,考虑多项式 ，它们的次数分别为 ，且是g(x)的循环移位。,因此，由循环码的定义，它们一定是循环码的码多项式，且它们的线性组合也一定是一个码多项式，即,是一个码多项式，其中,定理4-3 设 是(n,k)循环码的最低次数 非零码多项式，次数小于或等于n-1的多项式为码多项式，当且仅 当它是g(x)的倍式。,证明：令 是次数小于等于n-1的二进制多项式，且为g(x)的倍式。,由于 是码多项式 的线性组

10、合，因此它一定是一个码多项式。,证明：假设 是循环码中的码多项式，我们可得到,因此有,由于 和 都是码多项式，因此b(x)必为码多项式。,若 ，则b(x)必为次数小于g(x)的非零码多项式，与g(x)为次数最低码多项式相矛盾，因此b(x)=0。,因此，码多项式必为g(x)的倍式。,定理4-4(p147) (n,k)循环码中，有且仅有一个次数为n-k的码多项式 每一个码多项式是g(x)的倍式，且每个次数不大于n-1且为g(x)的倍式 的多项式必为一码多项式。,证明：由于码多项式 是g(x)及其倍式的线性组合，即,可知 共有 个元素，构成维数为n-r的线性空间，而n,k循环码中共有 个码字。因此有

11、,即,注： 由上述定理， (n,k)循环码的每一个码多项式可表示为,生成多项式的次数等于码中校验位的个数，即等于n-k.,其中 是待编码的信息比特，v(x)是对应的码多项式。,因此，可利用 乘以消息多项式 来完成编码，即一个n,k循环码的码字可由非零最小次数多项式完全确定，称该多项式为循环码的生成多项式。,问题：如何寻找生成多项式g(x)？,三、生成多项式,定理4-5(p148):GF(q)(q为素数或素数的幂)上n,k循环码的生成多项式g(x)一定是xn-1的n-k次因式： xn-1= g(x) h(x)。 反之，若g(x)为n-k次多项式，且xn-1能被g(x)整除，则g(x)一定能生成一

12、个n,k循环码,三、生成多项式,结论1:找一个n,k循环码，即是找一个n-k次首一多项式g(x)，且g(x)必是xn-1的因式。,g(x)决定生成矩阵，h(x)决定校验矩阵,四、循环码的生成矩阵和校验矩阵,Examples GF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 试求一个7,4循环码。,g(x)、 xg(x)、x2 g(x)、 x3g(x)、,五、循环码的系统码(P151),由于生成矩阵G中的k行要求线性无关，因此在求余式时，可选择k个线性无关的信息组 (1,0,0,0) xk-1， (0,1,0,0,0) xk-2, (0,0,0,0,1) 1,表示ri(x)的

13、系数,循环码的编码原理(1),基本步骤(n,k),1、分解多项式xn-1=g(x)h(x),2、选择其中的n-k次多项式g(x)为生成多项式,3、由g(x)可得到k个多项式g(x), xg(x),xk-1g(x),4、取上述k个多项式的系数即可构成相应的生成矩阵,5、取h(x)的互反多项式h*(x),取h*( x), xh*( x), xn-k-1h*( x),的系数即可构成相应的校验矩阵,可选择k个线性无关的信息组 (1,0,0,0) xk-1， (0,1,0,0,0) xk-2, (0,0,0,0,1) 1,循环码的编码原理(2),表示ri(x)的系数,第3节 循环码的编码电路(P165,

14、174),多项式乘法和除法电路 循环码的编码电路(乘法和除法),一、多项式乘法和除法电路,乘B(x)运算电路 (利用校验多项式h(x)编码时会用到),br-2,br-1,输出C(x),输入A(x),a0,a1,ak,乘B(x)运算电路,akb0,akb1,akbr-2,akbr-1,除B(x)运算电路,a0,a1,ak,除式B(x)构成电路，被除式A(x)的系数依次送入电路,hr-2,hr-1,输入A(x),a0,a1,ak,gr-1,输出商q(x),乘H(x),除g(x)运算电路,二、循环码编码电路(P174),n-k 级编码器,基本原理：利用生成多项式g(x),若要求编成非系统码形式，则利

15、用乘法电路,若要求编成系统码形式，则利用除法电路,n-k级乘法电路(非系统码形式),取g(x), xg(x),xk-1g(x)的系数可构成生成矩阵G,n-k级乘法电路(非系统码形式),若信息序列 m=(mk-1, mk-2,m0),则mG对应的n维向量为：,该n为向量正是多项式m(x)g(x)的系数,Examples GF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 试画一个7,4循环码的n-k级乘法编码电路。,n-k级除法电路(系统码形式),(1,0,0,0) xk-1， (0,1,0,0,0) xk-2, (0,0,0,0,1) 1,表示ri(x)的系数,n-k级除法电

16、路(系统码形式),对任意信息多项式m(x), xn-km(x)除g(x)可得余式r(x)， m(x)的系数为信息序列m r(x) 的系数为m对应的校验比特,n-k级除法电路(系统码形式),若信息序列 m=(mk-1, mk-2,m0),对应的多项式m(x)=mk-1xk-1+ mk-2xk-2+m0,n-k级除法电路(系统码形式),综上，循环码的系统码电路是信息多项式m(x) 乘xn-k,除g(x)的实现电路,输入m(x),m0,m1,mk-1,gn-k-1,-g0,-gn-k-1,-gn-k-2,乘xn-k除g(x)运算电路,k 级编码器,基本原理：利用校验多项式h(x),为系统码编码电路,

17、k 级编码器,若信息序列 m=(mk-1, mk-2,m0),对应的多项式m(x)=mk-1xk-1+ mk-2xk-2+m0,码多项式C(x)= m(x)g(x),且C(x)为系统码,h(x)C(x)= h(x)m(x)g(x) = m(x)(xn-1) = m(x)xn-m(x) = mk-1xn+k-1+ mk-2xn+k-2+m0 xn -(mk-1xk-1+mk-2xk-2+m0),k 级编码器,h(x)C(x)的乘积中，xn-1, xn-2, xk次的系数为零,k 级编码器,由于hk=1,cn-1-k = - (h0 cn-1 +h1 cn-1-1 + +hk-1 cn-1-(k-

18、1),cn-2-k = - (h0 cn-2 +h1 cn-2-1 + +hk-1 cn-k-1),cn-3-k = - (h0 cn-3 +h1 cn-3-1 + +hk-1 cn-k-2),cn-k-(n-k) = - (h0 ck +h1 ck-1 + +hk-1 c1),循环码k级编码电路,Examples:设7,4循环码的生成多项式为 g(x)=x3+x2+1，试 1)写出它的校验多项式h(x) 2)求出生成矩阵和校验矩阵 3) 求出系统码的生成矩阵和校验矩阵 4) 画出(n-k)级系统码编码电路和k级编码电路,1) h(x)=(xn-1)/g(x)=x4+x3+x2+1,2) h*

19、(x)=x4+x2+x+1,作 业,设7,4循环码的生成多项式为g(x)=x3+x+1，试 1)写出它的校验多项式h(x) 2)求出生成矩阵和校验矩阵 3) 求出系统码的生成矩阵和校验矩阵 4) 画出(n-k)级系统码编码电路和k级编码电路,1) h(x)=(xn-1)/g(x)=x4+x2+x+1,2) h*(x)=x4+x3+x2+1,第四节 几类特殊的循环码,最小循环码：一个理想中不再含有任何的非零理想，此理想对应的循环码是最小循环码(p158) 缩短循环码：对循环码缩短得到的码(p159) 准循环码 双环循环码,第五节 用生成多项式的根定义循环码(p152),研究表明，生成多项式有重根

20、的码一般都要比无重根的码差，因此只考虑无重根的码，或构造无重根的多项式。 循环码的编码问题转化为：如何由给定的根来得到生成多项式g(x)? GF(q)上多项式xn-1无重根的充要条件是n与q互素。因此对GF(2)而言，充要条件即为n为奇数。,用指定的根确定码长和生成多项式(1),给定r个根 , 每个根都有级数ei，即 ，则码长为所有级的最小公倍数； 每个根都可有一个最小多项式m(x)，而生成多项式则是所有根的最小多项式的最小公倍式； 同一共轭根系的根在设计生成多项式时的效果相同，只需考虑其中一个；,用指定的根求生成多项式(2),给定必含根 ，求生成多项式g(x)时，要先找出各个根的最小多项式（

21、可计算或查表），然后求它们的公倍式。 由于共轭根系的最小多项式相同，需先要找出必含根中包括哪几个共轭根系,用根形成生成多项式举例,GF(211)中，为本原元，令=89，求以、2、3、4为根的二进制循环码。的级数为211-1=2047=8923，23=(89)23=1，因此的级为23，如果以为根，则它的共轭根系也为根：、2、4、8、16、32=9、18、36=13、26=3、6、12。,例（续）,由于所要求的其它必含根2、3、4都包括在这个共轭根系中，它们有相同的最小多项式 g(x)=m(x) =(x-)(x-2) (x-4) (x-8) (x-16) (x-9) (x-18) (x-13) (

22、x-3) (x-6) (x-12) = x11 + x9 + x6 + x5 + x4 + x2 + 1 这是著名的Golay码，能纠3个错，是一种完备码。（上面的化简中要用到m()=0和=89 ）,由生成多项式根定义的校验矩阵(1),若g(x)有r个不相等的根，则每个根必为每个码多项式的根， 可将所有根代入是否为零来验证是否为码多项式； 也可由此得到循环码的校验矩阵。 （此处的运算是在扩域GF(qm)上的）,由生成多项式根定义校验矩阵(2),由生成多项式根定义的校验矩阵(3),BCH码,用GF(qm)中的n级元素的-1个连续幂次为根的多项式生成的循环码称为BCH码。它的自由距不小于。如果根集

23、中有本原元,则码长n=qm-1，称为本原BCH码,RS码,GF(q)上的码长N=q-1的本原BCH码称RS码 RS码的符号域与根域相同 RS码生成多项式g(x)=(x-m0) (x-m0+1)(x-m0+-2)，常取m0=1。其码距为。即生成的码为(n,k,d)=(q-1, q-, )。因此RS码被称为极大最小距离可分码。,第六节 循环码的译码(P190),一般译码原理 捕错译码 大数逻辑译码,一、一般译码原理(P190),基本思想与线性分组码类似,1、根据接收序列R计算伴随式S=RHT(n-k维向量),2、根据伴随式S寻找错误图样E,3、根据错误图样E估计码向量C， 进而计算信息序列,伴随式

24、计算的多项式表示,系统循环码的一致校验矩阵H,循环码伴随式 可用除法电路实现,由此可知：循环码的检错电路易于实现。,输入m(x),m0,m1,mL-1,gn-k-1,-g0,-gn-k-1,-gn-k-2,乘xn-k除g(x)运算电路,循环码的检错功能在ARQ中的应用(1),C(x),发送端实现电路：在数据序列后端添加CRC校验,循环码的检错功能在ARQ中的应用(2),输入R(x),r0,r1,rn-1,gn-k-1,-g0,-gn-k-1,-gn-k-2,若移位寄存器的存储值全部为零，则表示收到的码字为合法码字， 否则，有错，将向发送端反馈一个信号，用于重传。,接收端实现电路：将接收序列通过

25、一除法电路，判断是否有错。,计算伴随式电路的特点,定理：若S(x)是R(x)的伴随式，R(x)的循环移位xR(x)的伴随式为S1(x)，则S1(x)是伴随式计算电路中无输入时右移一位的结果。,推论：xiR(x)的伴随式为Si(x) xiS(x) mod(g(x)，a(x)R(x)的伴随式为Sa(x) a(x)S(x) mod(g(x)。,译码时，可将错误图样进行归类，即任一错误图样及其循环移位作为一类,Example: 循环码生成多项式g(x)=x3+x+1， 计算E(x)=x6和E(x)=x5的伴随式,循环汉明码译码电路,7,4,3循环汉明码的生成多项式为x3+x+1,输入R(x),循环汉明

26、码译码电路 (需要14移位),Example：设计一个由g(x)=x4+x3+1 生成的15,11循环汉明码译码电路。,基本要求：需要一个除法电路和一个逻辑电路,要设计逻辑电路，须知道该码可纠正的错误图样及伴随式,汉明码可纠一个错误，只需知道一个错误图样的伴随式,伴随式又可由校验矩阵H得到,扩展汉明码的译码(p195),缩短循环码的译码(p197),二、捕错译码(P197),基本原理,基本原理,若错误集中在校验元的n-k位上，即EI(x)=0, E(x)=EP(x),此时，伴随式就是错误图样，C(x)=R(x)-S(x),可用捕错译码循环码必须满足,1、错误必须集中在任意连续的n-k位上可利用

27、循环码的特点将错误移到后n-k位上,2、k n/t 或 t n/k 或 R 1/t,错误集中在n-k个校验元上的条件,纠正t个错误的GF(q)上的n,k循环码，捕错译码 过程中，已把t个错误集中在Ri(x)的最低次n-k 位 以内的充要条件是：,其中w(Si(x)是伴随式Si(x)的重量,若前面k位没有错误，则可用捕错译码实现,若前面k位也有错误，此时伴随式S(x)为：,若EI(x)和SI(x)已知，可由此得到EP(x)， 进而确定E(x)= EI(x) +EP(x)，即是修正捕错译码,修正的捕错译码,当循环码的信息比特数k等于n/t或比n/t稍大时，可采用某种方法，将大部分错误集中在n-k位上，而把个别错误集中在固定的某几位上，即可实现修正的捕错译码,修正捕错译码原理,修正捕错译码原理,因此，如果能找到一个k-1次多项式Q(x) ，使错误图样E(x)或E(x)的循环移位在前k位码段内与Q(x)一致，即可找到最终的错误图样,三、大数逻辑译码原理(P206),关于仿真程序的几个问题,产生信息序列,编码,通过信道,译码,与信息序列比较，判断是否有错,计算误比特率,中止,Yes,Gaussian Noise Program(1),long Seed = 17; double UniformRand(